A Funkce v matematice je speciální vztah mezi množinou vstupních hodnot a množinou výstupních hodnot. Ve funkci udává každá vstupní hodnota konkrétní výstupní hodnotu. Funkci v matematice reprezentujeme jako, y = f(x) kde X je vstupní hodnota a pro každou X dostaneme výstupní hodnotu jako y.

V tomto článku se dozvíme, funkce v matematice, jejich různé typy, příklady a další podrobně.

Obsah

• Co je funkce v matematice?
• Definice funkcí v matematice
• Příklady funkcí
• Podmínka pro funkci
• Reprezentace funkcí v matematice
• Identifikace funkce
• Typy funkcí
• Co je funkce v algebře?
• Doména a rozsah funkce
• Složení funkcí
• Algebra funkcí
• Co je funkce v grafu?
• Grafické funkce
• Společné funkce
• Aplikace funkcí
• Příklady na funkci
• Cvičte problémy o tom, co je funkce

Co je funkce v matematice?

Funkce v matematice je a vztah mezi vstupními hodnotami (doména) a výstupními hodnotami (rozsahem) daných množin tak, že žádné dvě proměnné z množin domén nejsou spojeny se stejnou proměnnou v sadě rozsahů. Jednoduchý příklad funkce v matematice je f(x) = 2x, která je definována na R→R, zde jakákoli proměnná v oboru souvisí pouze s jednou proměnnou v rozsahu.

Funkce v matematice má doménu, kodoménu a rozsah. Oblast je množina všech možných hodnot x a rozsah funkce je množina všech výstupních hodnot y. Rozsah je podmnožinou kodomény funkce. Můžeme také říci, že funkce v matematice je vztah s jedinečným výstupem a žádné dvě vstupní hodnoty nemají podobný výstup ve funkci, jako je tomu u vztahu.

Definice funkcí v matematice

Funkce je speciální vztah nebo metoda spojující každý člen množiny A s jedinečným členem množiny B prostřednictvím definovaného vztahu. Množina A se nazývá doména a množina B se nazývá kodoména funkce. Funkce v matematice z množiny A do množiny B je definována jako,

f = ∀ a ∈ A, b ∈ B

Každá funkce je relací, ale každá relace není funkcí. Kritéria pro to, aby byl jakýkoli vztah považován za funkci, protože ve funkci má každý prvek množiny A pouze jeden obraz v sadě B, zatímco ve vztahu může mít prvek množiny A více než jeden obraz v sadě B.

V matematice definujeme funkce z neprázdné množiny A do neprázdné množiny B tak, že:

multiplexování

(a, b) ∈ f, pak f(a) = b

kam jsme volali b jako obraz A definovaný pod vztahem F .

Každý prvek 'A' sada A má jedinečný obraz b “ v množině B je to funkce.

Příklady funkcí

Funkce v matematice f je definována jako, y = f(x) kde X je vstupní hodnota a pro každou vstupní hodnotu x získáme jedinečnou hodnotu y. Různé příklady funkcí v matematice definovaných na R→R jsou,

• y = f(x) = 3x + 4
• y = f(x) = sin x + 3
• y = f(x) = -3x²+ 3 atd

Podmínka pro funkci

Pro libovolné dvě neprázdné množiny A a B, funkce f: A→B to označuje F je funkce od A do B, kde A je doména a B je kodoména.

Pro libovolný prvek a ∈ A, jedinečný prvek, b ∈ B existuje takové, že (a,b) ∈ f. Jedinečný prvek b, který souvisí s a, se označí f(a) a čte se jako f z a. To lze lépe pochopit z obrázku níže:

Test svislé čáry

Test svislé čáry se používá k určení, zda je křivka funkcí nebo ne. Pokud jakákoli křivka protíná svislou čáru ve více než jednom bodě, pak křivka není funkcí.

Reprezentace funkcí v matematice

Funkci v matematice reprezentujeme jako,

y = f(x) = x + 3

Zde je množina hodnot x definičním oborem funkce a množina výstupních hodnot y kodoménou funkce. Zde je funkce definována pro všechna reálná čísla, protože dává jedinečnou hodnotu pro každé x, ale ne vždy je možné získat výstup pro každou hodnotu x v takovém případě definujeme funkci ve dvou částech, to lze chápat jako

• f(x) = 1/(x – 2), kde x ≠ 2
• f(x) = x²kde x ∈ {R}

Funkci v matematice můžeme definovat jako stroj, který přijímá nějaký vstup a dává jedinečný výstup. Funkce f(x) = x²je definován níže jako,

Funkci v matematice můžeme reprezentovat třemi metodami jako,

• Sada objednaných párů
• Formulář tabulky
• Grafická forma

Pokud například funkci reprezentujeme jako, f(x) = x³

Dalším způsobem, jak reprezentovat stejnou funkci, je jako sada objednaných párů tak jako,

f = {(1,1), (2,8), (3,27)}

Ve výše uvedené množině je definičním oborem funkce D = {1, 2, 3} a oborem funkce R = {1, 8, 27}

Identifikace funkce

Funkce je v matematice klasifikována jako speciální typ vztahu. Existují následující pravidla, která lze použít k identifikaci funkce:

• Relace, ve které je každý vstup mapovaný na jedinečný výstup funkcí. To vyvolalo funkci jedna ku jedné.
• Relace, ve které jsou dva vstupy (předobrazy) mapované na jeden výstup, jsou také funkcí. Toto je mnoho funkcí.
• Relace, ve které je jeden vstup mapován na dva různé výstupy, není funkcí.
• Vztah, ve kterém je mnoho vstupů mapováno na mnoho výstupů podle žádného specifického pravidla, není funkcí.

Typy funkcí

Odlišný Typy funkcí se používají k řešení různých typů matematických problémů, zejména souvisejících s křivkami a rovnicemi. V matematice existují tři hlavní typy funkcí, které jsou založeny na mapování prvků z množiny A do množiny B.

Injektivní funkce nebo funkce jedna ku jedné

Funkce, ve které má každý prvek domény odlišný obrázek v kodoméně, se nazývá Injektivní nebo Funkce One-to-One .

f: A → B se nazývá jedna ku jedné nebo injektivní, pokud jsou obrazy různých prvků A pod f odlišné, tj.

f(a ₁ ) = b ₁ , f(a ₂ ) = b ₂

kde₁, a₂∈ A a b₁, b₂∈ B

Surjektivní funkce nebo Onto Function

Surjective Function je funkce, ve které má každý prvek kodomény předobraz v doméně. Říká se tomu také Na Funkce což znamená, že každý prvek kodomény je spojen s každým prvkem domény. Žádný prvek kodomény by neměl mít prázdný vztah. Počet prvků kodomény a rozsah je stejný.

f: A → B se říká, že je na, jestliže každý prvek B je obrazem nějakého prvku A pod f, tj. pro každé b ϵ B existuje prvek 'a' v A takový, že f(a) = b.

Bijektivní funkce

Pokud má funkce vlastnosti jak Injektivní (jedna k jedné), tak Surjektivní (funkce Onto), pak se funkce nazývá Bijektivní funkce . V bijektivní funkci každý prvek domény souvisí s každým prvkem kodomény a také existuje vztah jedna ku jedné. To znamená, že počet prvků kodomény a rozsah jsou stejné a žádný prvek v doméně ani kodoméně nemá prázdný vztah.

Na základě výstupních hodnot jsou funkce klasifikovány jako liché a sudé funkce. Pojďme se na ně podívat

Liché funkce

Lichá funkce je typ funkce, která vykazuje symetrii ohledně původu. Konkrétně, pokud je f(x) lichá funkce, ukazuje, že f(-x) = -f(x)

Rovnoměrná funkce

Sudá funkce je typ funkce, která vykazuje symetrii kolem osy y. Konkrétně, pokud je f(x) sudá funkce, ukazuje, že f(-x) = f(x)

Co je funkce v algebře?

Funkce v algebra je rovnice, pro kterou jakékoli x, které lze do rovnice vložit, vytvoří přesně jeden výstup, jako je y z rovnice. Je reprezentován jako y = f(x), kde x je nezávislá proměnná a y je závislá proměnná.

Například:

• y = 2x + 1
• y = 3x – 2
• y = 4 roky
• y = 5/x

Doména a rozsah funkce

Doména a rozsah funkce jsou vstupní a výstupní hodnota funkce. Řekněme například, že máme funkci zadanou jako f(x) = x². Zde můžeme vzít všechna reálná čísla jako vstupní hodnotu x a výstupem bude vždy kladné reálné číslo. Jeho doménou je tedy množina všech reálných čísel reprezentovaných jako R, zatímco její rozsah je množina kladných reálných čísel reprezentovaných jako R⁺

Složení funkcí

Jestliže f: A → B a g: B → C jsou dvě funkce. Potom se složení f a g označí jako f(g) a je definováno jako funkce mlha = f(g(x)) pro x ∈ A.

Vezměme dvě funkce f(x) = x + 3 a g(x) = 2x²

mlha = f(g(x))

⇒ mlha = f(2x²)

⇒ zub = 2x²+ 3

Další informace Složení funkce

Algebra funkcí

Algebra funkcí zahrnuje algebraické operace prováděné mezi dvěma funkcemi. Níže jsou uvedeny algebraické operace pro dvě funkce f(x) a g(x) definované na reálné hodnotě x:

• (f + g) (x) = f(x) + g(x)
• (f – g) (x) = f(x) – g(x)
• (f.g) (x) = f(x).g(x)
• (k f(x)) = k (f(x)); {Protože k je reálné číslo}
• (f/g)(x) = f(x)/g(x); {Pro g(x) ≠ 0}

Co je funkce v grafu?

Funkci lze snadno znázornit v grafu. Jakákoli funkce na grafu představuje křivku (včetně přímky) v rovině x-y mapovanou pro její vstupní a odpovídající výstupní hodnoty.

Chcete-li vykreslit funkci na a, nejprve najděte nějaké body, které leží na funkci, a poté tyto body spojte podle místa funkce. Například pro zobrazení funkce (přímka) f(x) = y = 5x – 2 potřebujeme nějaký bod na grafu. Abychom našli bod, bod na grafu, vezmeme nejprve náhodné hodnoty x a poté najdeme jejich odpovídající hodnoty y, jako,

jak otevřít soubor json

f(x) = y = 5x-2

pokud x = 0, y = 5(0) – 2 = -2 ⇒ (x, y) = (0, -2)

pokud x = 1, y = 5(1) – 2 = 3 ⇒ (x, y) = (1, 3)

pokud x = 2, y = 5(2) – 2 = 8 ⇒ (x, y) = (2, 8)

Spojením těchto bodů získáme graf funkce y = 5x – 2

Grafické funkce

Znalost hodnot x umožňuje, aby funkce f(x) byla reprezentována v grafu. Protože y = f(x), můžeme najít přidruženou hodnotu y tak, že začneme hodnotami x. V důsledku toho můžeme vykreslit graf v souřadnicové rovině pomocí hodnot x a y. Zvažte následující scénář:

Předpokládejme, že y = x + 3

Když x = 0, y = 3

Podobně,

• x = -2, y = -2 + 3 = 1
• x = -1, y = -1 + 3 = 2
• x = 1, y = 1 + 3 = 4
• x = 2, y = 2 + 3 = 5
• x = 3, y = 3 + 3 = 6

V důsledku toho můžeme pomocí těchto hodnot vykreslit graf pro funkci x + 3.

Společné funkce

Některé běžné funkce, které se běžně používají v matematice, jsou popsány níže:

Skutečná funkce

Skutečná funkce v matematice odkazuje na funkci, jejíž doména a rozsah jsou podmnožiny reálných čísel (označené jako ℝ). Jednodušeji řečeno, reálná funkce je matematické pravidlo nebo vztah, který přiřazuje hodnotu reálného čísla každému vstupu reálného čísla.

Reálné funkce

Polynomiální funkce

Funkce, ve které jsou exponenty algebraických proměnných nezáporná celá čísla, se nazývá Polynomiální funkce . Je-li mocnina proměnné 1, nazývá se lineární funkce, je-li mocnina 2, nazývá se kvadratická funkce a je-li mocnina 3, nazývá se kubická funkce. Některé příklady polynomiálních funkcí jsou uvedeny níže:

• y = x²
• y = 2x + 3
• y = 3x³

Polynomiální funkce lze dále rozdělit do následujících typů:

Lineární funkce : Lineární funkce jsou funkce, ve kterých je maximální mocnina proměnné 1. Obecná forma Lineární funkce je y = mx + c

Kvadratická funkce : Kvadratická funkce je taková, ve které je maximální mocnina proměnné 2. Obecná forma kvadratická funkce je, sekera ² + bx + c = 0

Kubická funkce : Kubická funkce jsou ty, ve kterých je maximální mocnina proměnné 3. Obecná forma kubické funkce je dána jako sekera ³ + bx ² + cx + d = 0

Inverzní funkce

Inverzní funkce je funkce obsahující inverzi jiné funkce. Řekněme, že máme funkci y = f(x), pak její inverzní funkce bude x = f^-1(y). V y = f(x) je obor x a rozsah je y, zatímco v případě x = f^-1(y), doména je y a rozsah je x. Můžeme tedy říci, že definičním oborem původní funkce je obor její inverzní funkce a oborem původní funkce je oborem původní funkce. Některé příklady inverzních funkcí jsou např.

• y = tak^-1(X)
• y = x^-1

Funkce oblasti

Plošná funkce obvykle odkazuje na matematickou funkci, která vypočítává plochu geometrického tvaru nebo oblasti. Funkce area bere jeden nebo více parametrů jako vstup a vrací plochu odpovídajícího tvaru. Některé z funkcí oblasti jsou popsány níže:

Oblast funkce kruhu : Oblast kruhu (A) je funkcí jeho poloměru(r) tak, že

A = πr ²

Oblast funkce trojúhelníku : Oblast trojúhelníku (A) je funkcí jeho základny (b) a výšky (h) tak, že:

A = (bh)/2

Exponenciální funkce

Exponenciální funkce je ten, který je reprezentován jako f(x) = e^X. Často se používá k prokázání rychlého růstu nebo rozpadu.

Logaritmická funkce

Logaritmická funkce je matematická funkce, která představuje inverzní operaci umocňování. Je reprezentován jako f(x) = log x.

Funkce stropu

Stropní funkce , označované jako ⌈x⌉, zaokrouhluje reálné číslo x nahoru na nejbližší celé číslo, které je větší nebo rovno x. Jinými slovy, najde nejmenší celočíselnou hodnotu, která je větší nebo rovna x.

Funkce podlahy

Funkce dna, označovaná jako ⌊x⌋, zaokrouhluje reálné číslo x dolů na nejbližší celé číslo, které je menší nebo rovno x. Jinými slovy, najde největší celočíselnou hodnotu, která je menší nebo rovna x.

Modulová funkce

Modulová funkce , také známá jako funkce absolutní hodnoty, vrací velikost nebo velikost reálného čísla bez ohledu na jeho znaménko. Modulová funkce je označena jako ∣x∣, kde x je vstupní hodnota.

konverze typu a casting v jazyce Java

Funkce Signum

Funkce Signum , také známá jako funkce znaménka nebo funkce signum, je matematická funkce, která vrací znaménko reálného čísla. Označuje, zda je číslo kladné, záporné nebo nulové.

Goniometrické funkce

Goniometrické funkce jsou matematické funkce, které spojují úhly pravoúhlého trojúhelníku s délkami jeho stran. Šest primárních goniometrických funkcí jsou sinus (sin), kosinus (cos), tečna (tan), kosekans (cosec), sečna (sec) a kotangens (cot).

Komplexní funkce

Každá funkce, ve které je vstupní proměnná komplexní funkcí, se nazývá komplexní funkce. Komplexní číslo je číslo, které lze vykreslit v komplexní rovině. V komplexní číslo máme reálné číslo a imaginární číslo. Komplexní číslo (z) je reprezentováno jako, z= x + iy a komplexní funkce je reprezentována jako, f(z) = P(x, y) + iQ(x, y)

Aplikace funkcí

Když říkáme, že proměnná veličina y je funkcí proměnné veličiny x, naznačujeme, že y je závislé na x a že hodnota y je určena hodnotou x. Tuto závislost lze vyjádřit následovně: f = y (x).

• Poloměr kružnice lze použít k výpočtu plochy kružnice. Poloměr r ovlivňuje oblast A. Prohlásíme, že A je funkcí r v matematickém jazyce funkcí. Můžeme napsat A = f(r) =π×r²
• Objem koule V je funkcí jejího poloměru. V = f(r) = 4/3 x r³označuje závislost V na r.
• Síla je funkcí zrychlení tělesa o pevné hmotnosti m. F = g(a) = m×a.

Lidé také čtou:

• Vztah a funkce
  
• Doména a rozsah goniometrických funkcí
• Rozsah funkce
• Hyperbolická funkce

Příklady na funkci

Příklad 1: Pro dvě funkce jsou f a g definovány jako, f(x) = x ² a g(x) = ln(2x). Najít složenou funkci (gof)( x)

Řešení:

Vzhledem k tomu:

• f(x) = x²
• g(x) = ln(2x)

(gof )( x ) = g (f (x))

[g (f (x)] = ln(2f(x))

= ln(2x²)

= 2 ln (√2x)

kajal aggarwal

Tedy (gof)(x) = 2 ln(√2x)

Příklad 2: Najděte výstup funkce g(t)= 6t ² + 5 v

• (i) t = 0
• (ii) t = 2

Řešení:

Daná funkce,

g(t) = 6t²+ 5t

• (i) t = 0

g(0) = 6(0)²+5(0) = 0 + 0

g(0) = 0

• (ii) t = 2

g(2) = 6(2)²+5(2)

g(2) = 24 + 10

g(2) = 34

Příklad 3: Délka obdélníku je pětinásobkem jeho šířky, vyjádřete obsah obdélníku jako funkci jeho délky.

Řešení:

Nechť délka obdélníku je l a šířka obdélníku je b

Nyní,

• b = l/5

Plocha obdélníku(A) = l × l/5 = l²/5

Plocha obdélníku jako funkce jeho délky je tedy

A(l) = l ² /5

Cvičte problémy o tom, co je funkce

1. Je dána funkce f(x)=3x+5

• Najít f(2)
• Najít f(−1)
• Určete definiční obor a rozsah funkce.

2. Je dána funkce g(x)=x ² – 4x + 3

• Najděte kořeny funkce.
• Najděte g(3) a g(0).
• Určete vrchol funkce.

3. Jsou dány dvě funkce f(x)=x + 2 a h(x)=2x – 3

• Najděte složenou funkci (f ∘ h) (x)
• Vyhodnotit (f ∘ h)(2)

Shrnutí – Co je funkce

Funkce v matematice je speciální vztah mezi vstupními hodnotami (doména) a výstupními hodnotami (rozsah), kde je každý vstup spojen s jedinečným výstupem. Funkce reprezentované jako y = f(x) mají specifické vlastnosti a lze je vizualizovat pomocí uspořádaných dvojic, tabulek nebo grafů. Jsou nezbytné v různých matematických problémech a přicházejí v různých typech, včetně injektivních (one-to-one), surjektivních (onto) a bijektivních (obojí). Funkce lze testovat pomocí testu svislé čáry a dále se dělí na funkce polynomické, inverzní, exponenciální, logaritmické a goniometrické. Pochopení funkcí zahrnuje rozpoznání jejich domény, rozsahu a pravidel, která je definují. Příklady zahrnují jednoduché lineární funkce jako y = 2x + 1 a komplexní kompozice funkcí. Funkce hrají klíčovou roli v algebře, geometrii a počtu, pomáhají při reprezentaci a analýze matematických vztahů a jevů v reálném světě.

Často kladené otázky o tom, co je funkce

Jaká je definice funkce?

Relace f definovaná na množině A k jiné množině B se v matematice nazývá funkce, pokud každá hodnota A má jedinečnou hodnotu v množině B.

Jak napsat funkci v matematice?

Funkce f v matematice je reprezentována jako f: A → B a je definována jako, f(x) = x + 2. Zde pro každou jedinečnou hodnotu x máme jedinečnou hodnotu y.

Jak transformovat funkci?

Funkci můžeme snadno transformovat na jiné funkce jednoduchým provedením základních algebraických operací s funkcí. Různé transformace funkce jsou odraz, translace, rotace atd.

Co je to racionální funkce?

Zlomková funkce, kde čitatel a jmenovatel jsou polynomiální funkce, se nazývá racionální funkce. Některé příklady racionální funkce jsou např.

• f(x) = x ² /(2x + 3)
• g(x) = (6x + 3)/(x – 1), atd.

Co je to lineární funkce?

Algebraická funkce, ve které je každý člen funkce buď konstantní, nebo má mocninu jedné, se nazývá lineární funkce. Některé příklady lineární funkce jsou např.

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = x – 5 atd.

Co je doména a codoména funkce?

Pokud funkci definujeme jako, y = f(x). Potom doménou x jsou všechny hodnoty x, pro které y vede k jedinečné hodnotě. A co-doména y je množina všech hodnot y pro každou hodnotu x.

Jak poznáte funkci v matematice?

Pokud má jakákoliv vstupní hodnota (x) definičního oboru ve vztahu více než jeden obrázek (y), pak tento vztah nemůže být nikdy funkcí. Takže pokud se hodnota x opakuje v uspořádaném páru, pak to nikdy není funkce.