Funkce jedna ku jedné nebo One-One Function je jednou z typy funkcí definovaný přes doménu a kodoménu a popisuje specifický typ vztahu mezi doménou a kodoménou. Funkce jedna ku jedné se také nazývá injektivní funkce. One to One Function je matematická funkce kde každý prvek v doméně mapuje na jedinečný prvek v kodoméně .

Tento článek podrobně zkoumá koncept funkce One to One nebo One-One Function, včetně jeho definice a příkladů, které vám pomohou tento koncept snadno pochopit. Budeme také diskutovat o některých vzorových problémech a poskytneme vám některé praktické problémy, které můžete vyřešit. Pojďme se tedy dozvědět o tomto důležitém konceptu v matematice známém jako One to One Function.

Obsah

• Co je funkce One-to-One?
• Příklady funkcí one-to-one
• Vlastnosti funkcí One-to-One
• Funkce One to One a Onto Function
• Řešené příklady na funkci jedna ku jedné

Co je funkce One-to-One?

Funkce one-to-one, také známá jako injektivní funkce, je taková, kde různé prvky A mají různé prvky související s B nebo různé prvky A mají různé obrázky v B.

Pokud existují různé obrázky pro funkci, znamená to, že je možné pouze jeden k jednomu, pokud byly předobrazy odlišné, pokud B sada má různé prvky, to znamená, že je to možné pouze tehdy, když A sada měla různé prvky, pro které byly tyto předobrazy.

zapouzdření java

Definice funkce jedna ku jedné

Funkce „f“ z množiny „A“ do množiny „B“ je jedna ku jedné, pokud žádné dva prvky v „A“ nejsou mapovány na stejný prvek v „B“.

Podívejme se na tyto dva diagramy. U diagramu A si uvědomíme, že 10 map na 1, 20 map na 2 a 30 map na 3.

Nicméně pro diagram B je jasné, že 10 a 30 map na 3 a pak 20 map na 1.

Protože máme prvky v doméně odpovídající odlišným hodnotám v každé doméně pro diagram A, dělá funkci jedna ku jedné, tedy náš diagram B není jedna ku jedné.

To lze vyjádřit matematicky jako

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Příklad funkcí one-to-one

• Funkce identity: Funkce identity je jednoduchým příkladem funkce jedna ku jedné. Vezme vstup a vrátí stejnou hodnotu jako výstup. Pro jakékoli reálné číslo x je funkce identity definována jako:

f(x) = x

Každý odlišný vstup x odpovídá odlišnému výstupu f(x), což z něj činí funkci jedna ku jedné.

• Lineární funkce: Lineární funkce je taková, kde nejvyšší mocnina proměnné je 1. Například:

f(x) = 2x + 3

Toto je funkce jedna ku jedné, protože bez ohledu na to, jakou hodnotu x zvolíte, získáte jedinečnou hodnotu pro f(x).

• Funkce absolutní hodnoty: Funkce absolutní hodnoty f(x)=∣x∣ je také funkce jedna ku jedné. Pro jakékoli reálné číslo x vrátí funkce absolutní hodnoty nezápornou hodnotu a různé hodnoty x budou mít za následek různé absolutní hodnoty.

Ukažme si jeden takový příklad pro funkci jedna ku jedné.

Příklad: Dokažte, že funkce f(x) = 1/(x+2), x≠2 je jedna ku jedné.

Řešení:

Podle funkce jedna ku jedné to poznáme

f(a) = f(b)

a nahradit x a x b

f(a) = 1/(a+2), f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

křížem vynásobte výše uvedenou rovnici

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Nyní, protože a = b, funkce se nazývá funkce jedna ku jedné.

Vlastnosti Funkce One-to-One

Uvažujme, že f a g jsou dvě funkce jedna ku jedné, vlastnosti jsou následující:

• Jestliže f a g jsou obě jedna ku jedné, pak f ∘ g následuje injektivitu.
• Jestliže g ∘ f je jedna ku jedné, pak funkce f je jedna ku jedné, ale funkce g nemusí být.
• f: X → Y je jedna jedna, právě když jsou dány nějaké funkce g, h : P → X kdykoli f ∘ g = f ∘ h, pak g = h. Jinými slovy, funkce jedna jedna jsou přesně ty monomorfismy v kategorii množin.
• Jestliže f: X → Y je jedna-jedna a P je podmnožina X, pak f^-1(f(A)) = P. P lze tedy získat z jeho obrazu f(P).
• Jestliže f: X → Y je jedna-jedna a P a Q jsou obě podmnožiny X, pak f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Jsou-li X i Y omezeny stejným počtem prvků, pak f: X → Y je jedna-jedna, právě když f je surjektivní nebo na funkci.

Graf funkce jedna ku jedné

Podívejme se na jednu z grafových reprezentací funkce jedna ku jedné

Výše uvedený graf funkce f(x)= √x ukazuje grafickou reprezentaci funkce jedna ku jedné.

Test vodorovné čáry

Funkce je jedna ku jedné, pokud žádná vodorovná čára neprotíná graf ve více než jednom bodě.

Jako příklad použijeme lineární funkci. Řekněme tomu f(x) , takže f(x) má inverzní funkci. Chcete-li zjistit, zda má f(x) inverzní funkci, musíte prokázat, že jde o funkci jedna ku jedné, musíte prokázat, že prošla testem vodorovné čáry. Pokud tedy nakreslíme vodorovnou čáru a pokud se f(x) dotkne vodorovné čáry více než jednou, znamená to, že f(x) není funkce jedna ku jedné a nemá inverzní funkci.

Ve výše uvedeném příkladu protíná vodorovnou čáru pouze v jednom bodě. Takže f(x) je funkce jedna ku jedné, což znamená, že má inverzní funkci.

Inverzní funkce jedna ku jedné

Nechť f je funkce jedna ku jedné s definičním oborem A a rozsahem B. Potom inverzí k f je funkce s definičním oborem B a rozsahem A definovaným f^-1(y) =x tehdy a jen tehdy, když f(x)=y pro libovolné y v B. Vždy si pamatujte, že funkce má inverzi právě tehdy a jen tehdy, když je jedna ku jedné. Funkce je jedna ku jedné, pokud je nejvyšší exponent liché číslo. Ale pokud je nejvyšší číslo sudé číslo nebo absolutní hodnota, není to funkce jedna ku jedné.

Příklad: f(x)=3x+2 najděte inverzní funkci

Řešení:

zapište funkci ve tvaru y=f(x).

⇒ y=3x+2

umožňuje zaměnit proměnné y a x

⇒ x=3y+2

řešit y z hlediska x

⇒ x-2=3y

rozděl rovnici 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

Funkce One to One a Onto Function

Klíčové rozdíly mezi funkcemi One to One a Onto jsou uvedeny v následující tabulce:

Následující ilustrace ukazuje jasný rozdíl mezi funkcí one one a on:

Přečtěte si více,

• Funkce
• Typy funkcí
• Vztah a funkce

Vyřešené problémy s funkcí jedna ku jedné

Pojďme vyřešit některé problémy pro ilustraci funkcí jedna ku jedné:

Úloha 1: Určete, zda je následující funkce jedna ku jedné: f(x) = 3x – 1

Řešení:

Řešení 1: Abychom zjistili, zda je to jedna ku jedné, musíme ukázat, že žádné dvě odlišné hodnoty x se nemapují na stejnou hodnotu y.

Předpokládejme f(a) = f(b), kde a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Protože jediným způsobem pro f(a) = f(b) je, když a = b, je tato funkce skutečně jedna ku jedné.

Problém 2: Určete, zda je následující funkce jedna ku jedné: g(x) = x ²

Řešení:

Řešení 2: Použijeme test vodorovné čáry pomocí grafu funkce. Pokud nějaká vodorovná čára protíná graf více než jednou, není to jedna ku jedné.

Graf g(x) = x^2 je parabola otevírající se nahoru. Jakákoli vodorovná čára protíná graf pouze jednou, takže tato funkce není jedna ku jedné.

Procvičte si problémy s funkcemi jedna ku jedné

Problém 1: Určete, zda je následující funkce jedna ku jedné:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²- 1
• h(x) =³√x

Problém 2: Najděte funkci, která je jedna ku jedné z množiny reálných čísel do množiny reálných čísel.

Problém 3: Je dána funkce g(x) = x²+ 1, určit, zda je v celé své doméně jedna ku jedné.

Problém 4: Uvažujme funkci h(x) = e^X. Je to funkce jedna ku jedné?

Problém 5: Najděte inverzní funkci f(x) = 4x – 7 a určete její definiční obor.

Problém 6: Určete, zda je funkce p(x) = √x jedna ku jedné.

Problém 7: Je-li q(x) = x/2, najděte definiční obor a rozsah funkce.

Problém 8: Zkontrolujte, zda je funkce r(x) = sin (x) v intervalu [0, π] jedna ku jedné.

Problém 9: Uvažujme funkci s(x) = |x|. Je to funkce jedna ku jedné?

Problém 10: Určete, zda je funkce t(x) = 1/x jedna ku jedné a najděte její definiční obor.

One to One Functions – FAQ

1. Co je to funkce one-to-one?

Funkce one-to-one je matematická funkce, která mapuje každý prvek v jeho doméně na jedinečný prvek v jeho kodoméně. Jinými slovy, nemapuje dva různé prvky v doméně na stejný prvek v kodoméně.

2. Jak mohu určit, zda je funkce jedna ku jedné?

Můžete použít test vodorovné čáry. Pokud žádná vodorovná čára neprotíná graf funkce více než jednou, jedná se o funkci jedna ku jedné.

3. Jaký je rozdíl mezi funkcí jedna ku jedné a funkcí on?

Funkce one-to-one zajišťuje, že žádné dva odlišné prvky v doméně nemapují na stejný prvek v kodoméně, zatímco funkce on, známá také jako surjektivní funkce, zajišťuje, že každý prvek v kodoméně je mapován alespoň jeden prvek v doméně.

4. Jsou všechny lineární funkce jedna ku jedné?

Ne, ne všechny lineární funkce jsou jedna ku jedné. Například f(x) = 2x je jedna ku jedné, ale g(x) = 2x + 1 není, protože mapuje dvě různé hodnoty x na stejnou hodnotu y (např. g(1) = 3 a g(2) = 5).