Funkce v matematice lze považovat za prodejní automaty. Vzhledem k penězům ve formě vstupu dávají na oplátku nějaké plechovky nebo sušenky. Podobně funkce berou nějaká vstupní čísla a dávají nám nějaký výstup. Dá se říci, že v reálném životě lze pomocí funkcí formulovat a řešit Vše. Od návrhu budov a architektury až po mega mrakodrapy, matematický model téměř všeho v reálném životě vyžaduje funkce, proto se nelze vyhnout tomu, že funkce mají v našich životech obrovský význam. Doména a rozsah jsou jedním aspektem, jehož prostřednictvím lze funkci popsat.
Například: Předpokládejme, že je na horní straně stroje napsáno, že k nákupu lze použít pouze bankovky 20 a 50 rupií. Co když někdo používá bankovky Rs.10? Stroj nevydá žádný výstup. Doména tedy představuje, jaký druh vstupů můžeme mít ve funkci. V tomto případě jsou bankovky Rs.20 a Rs.50 doménou Vending Machine. Stejně tak nezáleží na tom, kolik peněz člověk do automatu vloží, nikdy z něj nedostane sendviče. Zde tedy vstupuje do hry koncept rozsahu, rozsah je možné výstupy, které může stroj poskytnout.
Rozsah a doména funkce
Doména funkce:
Doména jsou všechny hodnoty, které mohou vstoupit do funkce, pro kterou poskytuje platný výstup. Je to množina všech možných vstupů funkce.
Například: Na obrázku níže je f(x) = x2. Množina všech vstupů se nazývá Doména a množina všech výstupů se považuje za rozsah.
Jak najít doménu funkce?
Definiční obor funkce by měl obsahovat všechna reálná čísla kromě bodů, ve kterých je jmenovatel nula a členy pod odmocninou záporné. Chcete-li najít doménu, zkuste najít body nebo vstupní hodnoty, nad kterými není funkce definována.
Otázka 1: Najděte doménu
Odpovědět:
Tato funkce může poskytnout nedefinovaný výstup, když x = 1. Takže doména je R – {1} .
Otázka 2: Najděte doménu následující funkce:
Odpovědět :
Je důležité, aby funkce nebyla nekonečná nebo nedefinovaná, proto musíme vidět, jaké hodnoty domény mohou funkci učinit nedefinovanou nebo nekonečnou.
Když se podíváme na jmenovatele, je jasné, že hodnoty 3 a 5 dělají jmenovatele 0, takže funkce je nekonečná, což není žádoucí.
Proto sem nelze umístit hodnoty x=3 a x=5.
Doména bude R – {3,5}.
Otázka 3: Najděte hodnoty domény, pro které funkce Y = (2x 2 -1) a Z= (1-3x) jsou stejné.
Odpovědět :
Srovnání dvou funkcí:
2 x2– 1 = 1 – 3 x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x + 2) – 1 (x+2) = 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Proto jsou hodnoty domény {1/2, -2}.
Rozsah funkce
Rozsah funkce je množina všech jejích možných výstupů.
Příklad: Uvažujme funkci ƒ: A⇢A, kde A = {1,2,3,4}.
Prvky množiny Doména se nazývají předobrazy a prvky množiny Co-Doména, které jsou mapovány na předobrazy, se nazývají obrázky. Rozsah funkce je množina všech obrázků prvků v doméně. V tomto příkladu je rozsah funkce {2,3}.
Jak zjistit rozsah funkce?
Rozsah je rozpětí hodnot výstupu funkce. Pokud jsme schopni vypočítat maximální a minimální hodnoty funkce, můžeme si udělat představu o rozsahu funkce.
Otázka 1: Najděte rozsah. f(x) =
Odpovědět:
Nyní, protože funkce je odmocnina, nikdy nemůže dát záporné hodnoty jako výstup. Minimální hodnota tedy může být pouze 0 v x = 1. Maximální hodnota může jít až do nekonečna, jak neustále zvyšujeme x.
Rozsah funkce je tedy [0,∞).
Otázka 2: Definiční obor funkce ƒ definovaný pomocí f(x) =
řádek a sloupec
Odpovědět:
Je dáno, f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Při výběru sady domén je třeba zajistit dvě věci,
- Jmenovatel nikdy neklesne na nulu.
- Výraz uvnitř odmocniny se nestává záporným.
Rozšiřme to, co je napsáno uvnitř termínu, v rámci druhé odmocniny.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} V tomto případě nemůžeme zadat žádnou z hodnot, x ≥ 0 nebo x <0.
Proto f není definováno pro žádné x ∈ R. Takže definiční obor je prázdná množina.
Doména a rozsah kvadratických funkcí
Kvadratické funkce jsou funkce tvaru f(x) = ax2+ bx + c, kde a, b a c jsou konstanty a a ≠ 0. Graf kvadratické funkce je ve tvaru paraboly. Je to v podstatě zakřivený tvar otevírající se nahoru nebo dolů.
Podívejme se, jak znázornit kvadratické funkce,
Takže v naší kvadratické funkci
- je-li a> 0, parabola se otevírá směrem nahoru.
- pokud a <0, parabola se otevírá směrem dolů.
Nyní je vrchol nejvyšším nebo nejnižším bodem naší křivky v závislosti na grafu kvadratické funkce. Najít vrchol grafu obecného kvadratického výrazu.
Ve standardním kvadratickém tvaru je vrchol dán
Poznámka: Každá křivka je symetrická kolem své svislé osy.
Podívejme se na několik příkladů,
Otázka: Nakreslete graf f(x) = 2x 2 + 4x + 2.
Odpovědět:
Porovnání této rovnice s obecnou rovnicí kvadratické funkce. a = 2, b = -4 a c = 2.
Od a> 0 se tato parabola otevře směrem nahoru.
- Vertex x-hodnota =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Hodnota y vrcholu = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Takže vrchol je na (-1,0). Protože se parabola otevírá směrem nahoru, musí to být minimální hodnota funkce.
Bod, kde graf protíná osu y, je (0,2).
Rozsah a doménu kvadratických funkcí lze snadno zjistit vynesením grafu. Není vždy nutné vykreslit celý graf, pro rozsah by měl být znám pouze směr paraboly (nahoru nebo dolů) a hodnota paraboly ve vrcholu. Hodnota ve vrcholu je vždy buď minimum/maximum v závislosti na směru paraboly. Definičním oborem takových funkcí jsou vždy celá reálná čísla, protože jsou definována všude, tzn. neexistuje žádná hodnota vstupu, která by mohla způsobit, že budou jako výstup uvedeny nedefinované.
Podívejme se na další příklad týkající se domény a rozsahu paraboly.
Otázka: Nakreslete graf a najděte definiční obor a obor dané funkce, f(x) = -x 2 + 4.
Odpovědět:
Protože a = -1. Parabola se bude otevírat směrem dolů, tj. nebude žádná minimální hodnota, bude sahat do nekonečna. Ale bude existovat maximální hodnota, která se objeví ve vrcholu.
K nalezení polohy vrcholu lze použít předchozí vzorec. Vrchol je na pozici (0,4).
Hodnota ve vrcholu (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
Maximální hodnota je tedy 4 a minimální hodnota je záporná od nekonečna.
Rozsah funkce – (-∞, 4] a definiční obor je R .
