Komplexní čísla jsou přirozeným pokračováním reálných čísel. V moderní době se komplexní čísla používají v mnoha oblastech, jako je digitální zpracování signálu, kryptografie a mnoho počítačových oborů.

V tomto článku se dozvíme o imaginárních číslech, komplexních číslech a jejich typu, různých operacích s komplexními čísly, vlastnostech komplexních čísel, aplikaci komplexních čísel atd.

Definice komplexních čísel

Komplexní čísla jsou čísla formuláře (a + i b) kde A & b jsou skutečná čísla a i je imaginární jednotka zvaná iota, která představuje √-1. Například 2 + 3i je komplexní číslo, ve kterém 2 je reálné číslo a 3i je imaginární číslo. Komplexní čísla lze zapsat jako a + ib, kde aab jsou racionální čísla, která mohou být reprezentována na číselné ose rozšiřující se až nekonečno .

Modul komplexního čísla

Modul komplexního čísla je absolutní hodnota a představuje vzdálenost mezi počátkem a daným bodem. Je také známá jako velikost komplexního čísla. Uvažujme komplexní číslo z = a + ib, pak modul z je definován jako:

|z| = √(a ² + b ² )

kde,

• A je reálná část komplexního čísla z a
• b je imaginární část komplexního čísla z.

Argument komplexního čísla

Úhel mezi vektorem poloměru komplexního čísla a kladnou osou x se nazývá argument komplexního čísla. Pro komplexní číslo z = a + ib je matematicky dáno:

θ = tan ^-1 (b/a)

kde,

• A je reálná část komplexního čísla z a
• b je imaginární část komplexního čísla z.

Síla i(iota)

i(iota) je definována jako druhá odmocnina z -1. Jakákoli mocnina i může být tedy vyjádřena jako opakované násobení i samo sebou, tj.

• i = √(-1)
• i²= -1
• i³= – i
• i⁴= 1
• i⁵= i
• i⁶= – 1
• a tak dále..

Potřeba komplexních čísel

V dávných dobách měli lidé znalosti pouze o přirozených číslech jako tato čísla jsou ve své podstatě nejvíce intuitivní, protože lidský mozek je již chápe pomocí vizuálních prvků věcí, jako jsou ovce a jídlo. Máme tedy pouze množinu přirozených čísel ( N ), ale v přirozených číslech neexistuje řešení rovnice x + a = b (a> b) a a, b ∈ N. Vzniklo tak rozšíření přirozených čísel, tj. celá čísla( já ).

Nyní opět v této množině čísel neexistuje řešení rovnice ax = b (a ≠ 0) a a, b ∈ I, kde a a b jsou obě celá čísla. Množina celých čísel (I) je tedy rozšířena na množinu racionálních čísel ( Q ).

V této množině racionálních čísel opět neexistuje řešení rovnice x²= a (a> 0) a a ∈ Q. Q je rozšířen o čísla taková, že x²= a(pro a> 0) tj. iracionální čísla. Tato sada se jmenuje Reálná čísla a je reprezentována R .

Nyní se dlouho myslelo, že tuto sadu reálných čísel nemusíme rozšiřovat, abychom vytvořili další větší sadu, protože tato sbírka čísel se zdá být kompletní. Ale v této množině čísel opět vyvstal nový problém, tj. neexistuje žádné reálné číslo takové, že x²= a (a <0) a a ∈ R. Množina reálných čísel je tedy dále rozšířena tak, aby zahrnovala všechna takto oceněná a pojmenovaná tato množina komplexních čísel a je reprezentována C .

Klasifikace komplexních čísel

Jak víme, standardní tvar komplexního čísla je z = (a + i b) kde a, b ∈ R, a i je iota (imaginární jednotka). Takže v závislosti na hodnotách a (nazývaná reálná část) a b (nazývaná imaginární část) jsou komplexní čísla klasifikována do čtyř typů:

• Nulové komplexní číslo
• Čistě reálná čísla
• Čistě imaginární čísla
• Imaginární čísla

Pojďme se o těchto typech podrobně dozvědět.

Nulové komplexní číslo

Pro libovolné komplexní číslo z = a + ib, pokud a = 0 & b = 0, pak se komplexní číslo nazývá nulové komplexní číslo. Například jediný příklad tohoto je 0.

Čistě reálná čísla

Pro libovolné komplexní číslo z = a + ib, pokud a ≠ 0 & b = 0, pak se komplexní číslo nazývá čistě reálné číslo, tj. číslo bez imaginární části. Všechna reálná čísla jsou příkladem toho, že 2, 3, 5, 7 atd.

Čistě imaginární čísla

Pro jakékoli komplexní číslo z = a + ib, pokud a = 0 & b ≠ 0, se komplexní číslo nazývá čistě imaginární číslo, tj. číslo bez reálné části. Všechna čísla bez reálných částí jsou příklady tohoto typu čísel, tj. -7i, -5i, -i, i, 5i, 7i atd.

Imaginární čísla

Pro libovolné komplexní číslo z = a + ib, pokud a ≠ 0 & b ≠ 0, se komplexní číslo nazývá imaginární číslo . Například (-1 – i), (1 + i), (1 – i), (2 + 3i) atd.

Různé formy komplexních čísel

Existují různé formy komplexních čísel,

• Obdélníkový tvar
• Polární forma
• Exponenciální forma

Nyní se o nich dozvíme podrobně.

Obdélníkový tvar

Obdélníkový tvar je také zvaný Standardní forma a je reprezentován (a + ib), kde aab jsou reálná čísla.

Například: (5 + 5i), (-7i), (-3 – 4i) atd.

Polární forma

Polární forma je reprezentace komplexního čísla, kde polární souřadnice [kde souřadnice jsou reprezentovány jako (r, θ), kde r je vzdálenost od počátku a θ je úhel mezi přímkou ​​spojující bod a počátek a kladnou osou x) se používají k reprezentaci komplexního čísla. Jakékoli komplexní číslo je reprezentováno jako r [cos θ + i sin θ].

Například: [cos π/2 + i sin π/2], 5[cos π/6 + i sin π/6] atd.

Exponenciální forma

Exponenciální tvary komplexních čísel je reprezentace komplexních čísel pomocí Eulerova vzorce a v této podobě je komplexní číslo reprezentováno reⁱ, kde r je vzdálenost bodu od počátku a θ je úhel mezi kladnou osou x a vektorem poloměru.

Například: eⁱ⁽⁰⁾, To je^i(π/2), 5.e^i(π/6), atd.

Poznámka: Všechny tři výše popsané formy komplexních čísel jsou vzájemně konvertibilní, to znamená, že je lze velmi snadno převést z jedné formy do druhé.

typy sítí

Operace s komplexními čísly

S komplexními čísly lze provádět následující operace:

• Přidání
• Odčítání
• Násobení
• Divize
• Časování

Sčítání komplexních čísel

Můžeme sečíst dvě komplexní čísla jednoduchým sečtením jejich skutečné a imaginární části zvlášť.

Například (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i.

Odečítání komplexních čísel

Můžeme odečíst dvě komplexní čísla jednoduchým odečtením jejich skutečné a jejich imaginární části odděleně.

Například (3 + 2i) – (1 + 4i) = 2 – 2i.

Násobení komplexních čísel

Můžeme vynásobit dvě komplexní čísla pomocí distributivní vlastnosti a skutečnosti, že i²= -1.

Například (3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i²= 3 + 14i – 8 = -5 + 14i.

Dělení komplexních čísel

Jedno komplexní číslo můžeme dělit druhým tak, že jednoduše vynásobíme čitatel i jmenovatel komplexním sdruženým číslem jmenovatele a výraz dále zjednodušíme.

Například (3 + 2i)/(1 + 4i) = (3 + 2i)(1 – 4i)/(1 + 4i)(1 – 4i) = (11 – 10i)/17.

Konjugace komplexních čísel

Můžeme snadno najít konjugát komplexního čísla, pouhou změnou znaménka jeho imaginární části. Konjugát komplexního čísla se často označuje čárkou nad číslem, například z̄.

Například konjugát 3 + 2i je 3 – 2i.

Identity pro komplexní čísla

Pro libovolná dvě komplexní čísla z₁a z₂lze zadat následující algebraické identity:

• (S ₁ + z ₂ ) ² = (z ₁ ) ² + (z ₂ ) ² + 2 z ₁ × z ₂
• (S ₁ - S ₂ ) ² = (z ₁ ) ² + (z ₂ ) ² – 2 z ₁ × z ₂
• (S ₁ ) ² - (S ₂ ) ² = (z ₁ + z ₂ )(S ₁ - S ₂ )
• (S ₁ + z ₂ ) ³ = (z ₁ ) ³ + 3(z ₁ ) ² S ₂ +3(z ₂ ) ² S ₁ + (z ₂ ) ³
• (S ₁ - S ₂ ) ³ = (z ₁ ) ³ – 3 (z ₁ ) ² S ₂ +3(z ₂ ) ² S ₁ - (S ₂ ) ³

Vzorce související s komplexními čísly

Existuje několik vzorců souvisejících s komplexními čísly, z nichž některé jsou následující:

Eulerova formule

Eulerův vzorec ukazuje vztah mezi imaginární mocninou exponentu a trigonometrického poměru sin a cos a je dán vztahem:

to je ^ix = cos x + i sin x

De Moivreova formule

De Moivreova formule vyjadřuje n^čtmocnina komplexního čísla v polárním tvaru a je dána vztahem:

(cos x + i hřích x) ⁿ = cos(nx) + i sin(nx)

Komplexní letadlo

Rovina, na které jsou komplexní čísla jednoznačně reprezentována, se nazývá komplexní rovina nebo Argandova rovina nebo Gaussova rovina.

Komplexní rovina má dvě osy:

• X-osa nebo skutečná osa
• Y-osa nebo imaginární osa

X-osa nebo skutečná osa

• Všechna čistě reálná komplexní čísla jsou jednoznačně reprezentována tečkou.
• Reálná část Re(z) všech komplexních čísel je vynesena s ohledem na ni.
• Proto se také nazývá osa X Skutečná osa .

Y-osa nebo imaginární osa

• Všechna čistě imaginární komplexní čísla jsou jednoznačně reprezentována tečkou.
• Imaginární část Im(z) všech komplexních čísel je vynesena vzhledem k ní.
• Proto se také nazývá osa Y Pomyslná osa .

Geometrické znázornění komplexních čísel

Jak víme, každé komplexní číslo (z = a + i b) je reprezentováno jedinečným bodem p(a, b) v komplexní rovině a každý bod v komplexní rovině představuje jedinečné komplexní číslo.

Chcete-li reprezentovat libovolné komplexní číslo z = (a + i b) v komplexní rovině, postupujte podle těchto konvencí:

• Reálná část z (Re(z) = a) se stane X-ovou souřadnicí bodu p

• Imaginární část z (Im(z) = b) se stává Y-ovou souřadnicí bodu p

A nakonec z (a + i b) ⇒ p (a, b), což je bod v komplexní rovině.

Vlastnosti komplexních čísel

Komplexní čísla mají různé vlastnosti, z nichž některé jsou následující:

• Pro libovolné komplexní číslo z = a + ib, pokud z = 0, pak a = 0 a také b = 0.
• Pro 4 reálná čísla a, b, c a d taková, že z₁= a + ib a z₂= c + id. Pokud z₁= z₂potom a = c a b = d.
• Sečtením komplexního čísla s jeho konjugátem vznikne čistě reálné číslo, tj. z + z̄ = reálné číslo.

Nechť z = a + ib,

z + z̄ = a + jedna + a – jedna

⇒ z + z̄ = 2a (což je čistě reálné)

• Součin komplexního čísla s jeho konjugovanými výsledky je také čistě reálné číslo, tj. z × z̄ = reálné číslo

Nechť tedy z = a + ib

z × z̄ = (a + jedna) × (a – jedna)

⇒ z × z̄= a²– i²b²

⇒ z × z̄ = a²+ b²(což je čistě skutečné)

• Komplexní čísla jsou komutativní při operaci sčítání a násobení. Uvažujme dvě komplexní čísla z₁a z₂, a pak

S ₁ +z ₂ = z ₂ +z ₁

S ₁ × z ₂ = z ₂ × z ₁

• Komplexní čísla jsou asociativní s operací sčítání a násobení. Uvažujme tři komplexní čísla z₁, S₂a z₃pak

(S ₁ +z ₂ ) +z ₃ = z ₁ + (z ₂ +z ₃ )

(S ₁ ×z ₂ )×z ₃ = z ₁ ×(z ₂ ×z ₃ )

• Komplexní čísla drží distribuční vlastnictví také násobení nad sčítáním. Uvažujme tři komplexní čísla z₁, S₂a z₃pak

S ₁ ×(z ₂ +z ₃ ) = z ₁ ×z ₂ + z ₁ ×z ₃

Přečtěte si více,

• Dělení komplexních čísel
• Z Bar v komplexních číslech

Příklady komplexních čísel

Příklad 1: Vykreslete tato komplexní čísla z = 3 + 2i v komplexní rovině.

Řešení:

Vzhledem k tomu:

S = 3 + 2 i

Takže bod je z(3, 2). Nyní vyneseme tento bod do níže uvedeného grafu, zde v tomto grafu osa x představuje skutečnou část a osa y představuje imaginární část.

Příklad 2: Vykreslete tato komplexní čísla z ₁ = (2 + 2 i), z ₂ = (-2 + 3 i), z ₃ = (-1 – 3 i), z ₄ = (1 – i) v komplexní rovině.

Řešení:

Vzhledem k tomu:

S₁= (2 + 2 i)

S₂= (-2 + 3 i)

S₃= (-1 – 3 i)

S₄= (1 – i)

Takže body jsou z₁(2, 2), z₂(-2, 3), z₃(-1, -3) az₄(1, -1). Nyní vyneseme tyto body do níže uvedeného grafu, zde v tomto grafu osa x představuje skutečnou část a osa y představuje imaginární část.

Časté dotazy ke komplexním číslům

Definujte komplexní čísla.

Čísla ve tvaru a+ib se nazývají komplexní číslo, kde aab jsou reálné číslo a i je imaginární jednotka, která představuje druhou odmocninu z -1.

Jaký je rozdíl mezi reálným číslem a komplexním číslem?

Rozdíl mezi reálnými a komplexními čísly je ten, že k reprezentaci jakéhokoli reálného čísla potřebujeme pouze jedno číslo, ale k reprezentaci jakéhokoli komplexního čísla potřebujeme dvě reálná čísla.

Jaká je skutečná a imaginární část komplexního čísla?

V komplexním čísle a + ib je a reálná část komplexního čísla a b se nazývá imaginární část komplexního čísla.

Co je komplexní sdružená hodnota komplexního čísla?

Pro komplexní číslo a + ib se a – ib nazývá jeho komplexní konjugát. Složité konjugáty lze nalézt jednoduchou změnou znaménka imaginární části.

Jaký je modul komplexního čísla?

Vzdálenost mezi počátkem a bodem reprezentovaným komplexním číslem v argandové rovině se nazývá modul tohoto úplného čísla a pro z = a + ib je matematicky dán vztahem:

|z| = √(a ² + b ² )

Jaký je argument komplexního čísla?

Úhel mezi vektorem poloměru komplexního čísla a kladnou osou x se nazývá argument komplexního čísla a pro z = a + ib je matematicky dán vztahem:

θ = tan ^-1 (b/a)

Jaká je polární forma komplexního čísla?

Pro libovolné komplexní číslo, z = a + ib, je jeho polární forma daná vztahem:

r [cos θ + i sin θ]

Jaký je Eulerův vzorec?

Eulerův vzorec ukazuje vztah mezi imaginární mocninou exponentu a trigonometrického poměru sin a cos a je dán vztahem:

to je ^ix = cos x + i sin x