V tomto článku budeme diskutovat o symetrickém rozdílu mezi dvěma sadami. Zde také probereme vlastnosti symetrického rozdílu mezi dvěma množinami.
Doufám, že vám tento článek pomůže, abyste pochopili symetrický rozdíl mezi dvěma sadami.
Co je symetrický rozdíl?
Další variantou rozdílu je symetrický rozdíl. Předpokládejme, že existují dvě množiny, A a B. Symetrický rozdíl mezi oběma množinami A a B je množina, která obsahuje prvky přítomné v obou množinách kromě společných prvků.
Symetrický rozdíl mezi dvěma množinami se také nazývá jako disjunktivní unie . Symetrický rozdíl mezi dvěma množinami je množina prvků, které jsou v obou množinách, ale nejsou v jejich průniku. Symetrický rozdíl mezi dvěma množinami A a B je reprezentován A D B nebo A ? B .
Můžeme to pochopit na příkladech.
Příklad1 Předpokládejme, že existují dvě sady s nějakými prvky.
Sada A = {1, 2, 3, 4, 5}
Sada B = {3, 5}
Takže symetrický rozdíl mezi danými množinami A a B je {1, 2, 4}
Nebo to můžeme říct A Δ B = {1, 2, 4} .
Příklad2 Předpokládejme, že existují dvě sady s nějakými prvky.
Sada A = {a, b, c, k, m, n}
Sada B = {c, n}
Takže symetrický rozdíl mezi danými množinami A a B je {a, b, k, m}
Nebo to můžeme říct A Δ B = {a, b, k, m} .
Na níže uvedeném Vennově diagramu můžete vidět symetrický rozdíl mezi těmito dvěma sadami.
Část vystínovaná barvou kůže ve výše uvedeném Vennově diagramu je symetrický rozdíl mezi danými sadami, tj. A D B .
Podívejme se na některé vlastnosti symetrického rozdílu mezi dvěma množinami.
Vlastnosti
Existují některé vlastnosti symetrického rozdílu, které jsou uvedeny následovně;
- Symetrický rozdíl lze znázornit jako spojení obou relativních doplňků, tj.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Symetrický rozdíl mezi dvěma množinami lze také vyjádřit jako spojení dvou množin mínus průsečík mezi nimi -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Symetrický rozdíl je komutativní i asociativní -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Prázdná množina je neutrální (v matematice se o neutrálním prvku říká, že je to speciální typ prvku, který, když je zkombinován s jakýmkoli prvkem v množině za účelem provedení binární operace, ponechá prvek nezměněný. Je také známý jako Prvek identity ).
A ∅ = A
A Δ A = ∅ - Pokud je množina A rovna množině B, pak symetrický rozdíl mezi oběma množinami je -
A Δ B = ∅ {když A = B}
'Symetrický rozdíl mezi dvěma množinami' v/s 'Rozdíl mezi dvěma množinami'
Rozdíl mezi dvěma sadami
Rozdíl mezi dvěma množinami A a B je množina všech prvků, které patří do A, ale nepatří do B a značí se A – B .
Příklad: Nechť A = {1, 2, 3, 4}
a B = {3, 4, 5, 6}
pak A – B = {3, 4} a B – A = {5, 6}
Symetrický rozdíl mezi dvěma sadami
Symetrický rozdíl mezi dvěma množinami, A a B, je množina obsahující všechny prvky, které jsou v A nebo B, ale ne v obou. Je zastoupena A D B nebo A ? B .
Příklad: Nechť A = {1, 2, 3, 4}
a B = {3, 4, 5, 6}
pak A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Nyní se podívejme na několik příkladů, abychom jasněji pochopili symetrický rozdíl mezi dvěma množinami.
Otázka 1 - Předpokládejme, že máte množiny A = {10, 15, 17, 19, 20} a B = {15, 16, 18}. Zjistěte rozdíl mezi oběma množinami A a B a zjistěte také symetrický rozdíl mezi nimi.
Řešení - vzhledem k tomu,
kontrola java je nulová
A = {10, 15, 17, 19, 20}
a B = {15, 16, 18}
Rozdíl mezi oběma sadami je -
A – B = {10, 15, 17, 19, 20} – {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Symetrický rozdíl mezi oběma sadami je -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} – {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Otázka 2 - Předpokládejme, že máte množiny A = {2, 4, 6, 8} a B = {2, 5, 7, 8}. Zjistěte symetrický rozdíl B Δ A. Nakreslete také Vennův diagram, který bude reprezentovat symetrický rozdíl mezi oběma danými množinami.
Řešení - Dáno, A = {2, 4, 6, 8} a B = {2, 5, 7, 8}
Víme, že B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Pokusme se otázku vyřešit krok za krokem. Takže prvním krokem je najít spojení množiny A a množiny B.
Proto (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Poté musíme vypočítat průsečík mezi oběma množinami.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Nyní musíme najít rozdíl mezi sjednocením a průnikem množin A a B, jak je uvedeno ve vzorci,
Takže (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Proto B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Což se bude rovnat A Δ B, jak je uvedeno výše, 'Symetrický rozdíl je komutativní'. Nyní si ukážeme symetrický rozdíl mezi oběma množinami pomocí Vennova diagramu.
Ve Vennově diagramu nejprve nakreslíme dvě kružnice představující množiny A a B. Jak jsme vypočítali výše, průsečík mezi oběma množinami je {2, 8}, takže jsme tyto prvky uvedli v oblasti protínání. Poté vypíšeme zbývající prvky v jejich příslušných kružnicích sady, tj. {4, 6} v sadě A a {5, 7} v sadě B. Po uspořádání prvků bude Vennův diagram -
Když se podíváme na výše uvedený Vennův diagram, existuje Univerzální množina U. Obě množiny A i B jsou podmnožinou univerzální množiny U. Prvky {2, 8} jsou protínající se prvky, takže jsou reprezentovány v oblasti protínání. Oblast se světle oranžovou barvou je spojením množin s výjimkou oblasti protínající se. Tato oblast je symetrickým rozdílem mezi oběma sadami A a B a bude reprezentována jako -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Otázka 3 - Předpokládejme, že máte množiny A = {5, 6, 8, 9, 10} a B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Pomocí daných množin dokažte, že symetrický rozdíl je komutativní.
Řešení - Dáno, A = {5, 6, 8, 9, 10} a B = {2, 7, 8, 9, 10}
Dokázat: A Δ B = B Δ A
Vezměte LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Takže A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Nyní vezměte RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Takže B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Proto A Δ B = B Δ A
Symetrický rozdíl je tedy komutativní.