logo

TechCodeview

Doména a rozsah funkce

Doména a rozsah funkce: Doména a rozsah jsou vstupní a výstupní hodnoty funkce. A funkce je definován jako vztah mezi sadou vstupů a jejich výstupy, kde vstup může mít pouze jeden výstup, tj. doména může poskytnout určitý rozsah. Zobrazuje vztah mezi nezávisle proměnnou a závisle proměnnou.

Funkce se obvykle označuje y = f(x), kde x je vstup. Funkce je relace f z množiny X do jiné množiny Y, kde každý prvek v X má právě jeden výstup v Y a je reprezentován jako f: X→Y. Zde je množina X známá jako definiční obor funkce a množina Y se nazývá kodoména funkce. Každá funkce má doménu, kodoménu a rozsah, které pomáhají při definování funkce.



V tomto článku se dozvíme o definičním oboru a rozsahu funkce, o tom, jak vypočítat definiční obor a rozsah funkce, o definičním oboru a rozsahu pracovního listu funkce, o definičním oboru a rozsahu funkce, příklady, definiční obor a rozsah funkce funkční graf a další podrobně.

Obsah

Co je doména a rozsah?

Doména a funkce je definován jako množina všech možných hodnot, pro které lze funkci definovat. Rozsah je výstup daný funkcí pro konkrétní doménu. Ko-doména funkce je množina možných výsledků, zatímco rozsah nebo obraz funkce je podmnožinou kodomény a je množinou obrázků prvků v doméně. Například na obrázku níže je f(x) = x3je funkce, jejíž doménou je množina X a její kodoménou je množina Y, zatímco její rozsah je {1, 8, 27, 64}.



Doména a rozsah

Doména a Vztah lze také nalézt pomocí stejných metod. Relace je typ funkce, ve které je jeden objekt v oblasti domény mapován na více než jeden objekt v oblasti rozsahu.

Pro danou funkci f(x) = x3



  • f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
  • Doména = {1, 2, 3, 4}
  • Co-doména = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 23, 27, 64}
  • Rozsah = {1, 8, 27, 64}

Intervalový zápis domény a rozsahu

Doménu a rozsah libovolné funkce lze snadno zapsat do intervalového zápisu. Předpokládejme, že máme libovolnou funkci f(x) = sin x, pak její definiční obor a rozsah jsou zapsány jako,

  • Doména f(x) = (-∞, +∞)
  • Rozsah f(x) = [-1, 1]

Podobně pomocí intervalový zápis můžeme reprezentovat doménu a rozsah libovolné funkce.

Jak napsat doménu a rozsah

Doménu a rozsah jakékoli funkce lze snadno znázornit pomocí zápisu intervalu, jak je uvedeno výše. Tímto způsobem používáme závorky k popisu sady čísel. K reprezentaci domény a rozsahu funkce používáme {}, [] a ().

Co-doména a rozsah

Codomain je množina hodnot včetně rozsahu funkce a může mít ještě nějaké další hodnoty. Rozsah je podmnožinou kodomény. To je vysvětleno na příkladu,

Daná funkce, f(x) = cos x, takže f:R→R, tedy

  • Kodoména f(x) = R
  • Rozsah R = (-1, 1)

Doména funkce

Definiční obor funkce je definován jako množina všech možných hodnot, pro které lze funkci definovat. Pojďme si projít domény různých funkcí.

  • Definičním oborem libovolné polynomiální funkce jako je lineární funkce, kvadratická funkce, kubická funkce atd. je množina všech reálných čísel (R).
  • Definiční obor logaritmické funkce f(x) = log x je x> 0 nebo (0, ∞).
  • Definiční obor funkce odmocniny f(x) = √x je množina nezáporných reálných čísel, která je reprezentována jako [0, ∞).
  • Definiční obor exponenciální funkce je množina všech reálných čísel (R).
  • Racionální funkce je definována pouze pro nenulové hodnoty jejího jmenovatele. Chcete-li tedy určit definiční obor racionální funkce y = f(x), nastavte jmenovatele ≠ 0.

Pravidla hledání domény funkce

Různá pravidla pro hledání definičního oboru funkce.

  • Oblastí funkce polynomiálních funkcí (lineární, kvadratické, kubické atd.) je R (všechna reálná čísla).
  • Oblast funkce odmocniny √x je x ≥ 0.
  • Doména exponenciální funkce je R.
  • Doména logaritmické funkce je x> 0.
  • Víme, že definiční obor racionální funkce y = f(x), jmenovatel ≠ 0.

Jak najít doménu funkce?

Chcete-li najít doménu funkce, použijte následující kroky:

Krok 1: Nejprve zkontrolujte, zda daná funkce může obsahovat všechna reálná čísla.

Krok 2: Poté zkontrolujte, zda má daná funkce ve jmenovateli zlomku nenulovou hodnotu a ve jmenovateli zlomku nezáporné reálné číslo.

Krok 3: V některých případech podléhá definiční obor funkce určitým omezením, tj. tato omezení jsou hodnoty, kde nelze danou funkci definovat. Například , definičním oborem funkce f(x) = 2x + 1 je množina všech reálných čísel (R), ale definičním oborem funkce f(x) = 1/ (2x + 1) je množina všech reálných čísel. kromě -1/2.

Krok 4: Někdy je interval, ve kterém je funkce definována, uveden spolu s funkcí. Například, f (x) = 2x2+3, -5

Po provedení všech výše uvedených kroků je množina čísel, která nám zůstala, považována za doménu funkce.

Příklad domény

Najděte definiční obor f(x) = 1/(x 2 - 1)

Řešení:

vzhledem k tomu,

  • f(x) = 1/(x2- 1)

Nyní vložíme x = -1, 1 do f(x)

  • f(-1) = 1/{(-1)2– 1} = 1/0 = ∞
  • f(1) = 1/{(1)2– 1} = 1/0 = ∞

Tedy na -1 a 1 je funkce f(x) nedefinovaná a kromě toho, že ve všech bodech je f(x) definována. Tedy definiční obor f(x) je R – {-1, 1}

Rozsah funkce

Rozsah funkce je množina všech výstupů funkce. Pro libovolnou funkci f: A→ B jsou množiny hodnot v B rozsahem funkce. jestliže f: A→ B je funkce taková, že f(x) = x2a A je množina všech celých čísel, pak rozsah funkce je množina Rozsah = {1, 4, 9, 16, ….}. Musíme poznamenat, že rozsah funkce je podmnožinou Co-Domain funkce.

Pravidla hledání rozsahu funkce

Pravidla pro nalezení rozsahu funkce jsou,

  • Pro lineární funkci je rozsah R.
  • Pro kvadratickou funkci y = a(x – h)2+ k rozsah je:
    • y ≥ k, pokud a> 0
    • y ≤ k, pokud a <0
  • Pro funkci druhé odmocniny je rozsah y ≥ 0.
  • Pro exponenciální funkci je rozsah y> 0.
  • Pro logaritmickou funkci je rozsah R.

Jak zjistit rozsah funkce?

Rozsah nebo obrázek funkce je podmnožinou kodomény a je souborem obrázků prvků v doméně.

dfs algoritmus

Chcete-li najít rozsah funkce, použijte následující kroky

Uvažujme funkci y = f(x).

Krok 1: Napište danou funkci v jejím obecném reprezentačním tvaru, tj. y = f(x).

Krok 2: Vyřešte to pro x a zapište získanou funkci ve tvaru x = g(y).

Krok 3: Nyní bude definičním oborem funkce x = g(y) obor funkce y = f(x).

Vypočítá se tedy rozsah funkce.

Příklad rozsahu

Najděte obor funkce f(x) = 1/ (4x − 3).

Řešení:

vzhledem k tomu,

  • f(x) = 1/ (4x − 3)

Nechť funkce je f(x) = y = 1/ (4x − 3)

y(4x − 3) = 1

4xy – 3y = 1

4xy = 1 + 3y

x = 4 roky / (1 + 3 roky)

Zde pozorujeme, že x je definováno pro všechny hodnoty kromě y pro y = −1/3, protože na y = -1/3 dostaneme nedefinovanou hodnotu x.

Takže rozsah f(x) = 1/ (4x − 3) je (−∞, −1/3) IN (1/3, ∞)

Jak najít doménu a rozsah

Chcete-li nyní vypočítat doménu a rozsah jakékoli dané funkce, pečlivě si prostudujte následující příklad:

Pro X = {1, 2, 3, 4, 5} a Y = {1, 2, 4, 5, …, 45, 46, 47, 48, 49, 50} a funkci definovanou jako f: X → Y , f(x) = x2najděte definiční obor a rozsah následující funkce f(x)

Doména = Všechny vstupní hodnoty = X

Rozsah = {1, 4, 9, 16, 25} = podmnožina Y

Výpočet domény a rozsahu funkce

Definiční obor funkce je vstupní hodnota, kterou můžeme pro funkci vzít, a rozsah funkce je množina všech výstupních hodnot, kterých funkce dosáhne. Nyní je doména a rozsah funkce nalezeny pomocí příkladu přidaného níže,

Pokud například dostaneme funkci F: X → Y, takže F(x) = y + 1 a X = {1, 2, 3, 4, 5} a Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tady,

  • Doména F(x) = X = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Rozsah F(x) = {2, 3, 4, 5, 6}

Y je kodoména F(x), ale ne rozsah.

Doména a rozsah různých typy funkcí jsou diskutovány v dalších částech.

Příklady domény a rozsahu funkce

  • Lineární funkce : Prof(x)=2x+3, doména a rozsah jsou všechna reálná čísla, protože pro x a f(x) neexistují žádná omezení.
  • Kvadratické funkce : Pro g(x)=x^2−4, doménou jsou všechna reálná čísla, ale rozsah jey≥−4protože výstup nemůže být menší než -4.
  • Racionální funkce : Pro ℎ(x)=1/x-2​, definiční obor je x≠2 (všechna reálná čísla kromě 2) a rozsah jsou také všechna reálná čísla kromě případů, kde ℎ(x)=0.

Kvadratická doména a rozsah

Kvadratická funkce je polynomiální funkce se stupněm 2, tj. f(x): ax2+ bx = c = 0 je kvadratická funkce. A doména a rozsah kvadratické funkce je:

Doména f(x): Množina reálných čísel = R

Rozsah f(x):

  • y ≥ k, je-li a> 0, kde k je libovolná konstanta
  • y ≤ k, je-li a <0, kde k je libovolná konstanta

Doména a rozsah exponenciálních funkcí

The exponenciální funkce je definován jako:

f: R → R, f(x) = a X

Definičním oborem exponenciální funkce jsou všechna reálná čísla, a protože exponenciální funkce vždy dává kladný výstup, rozsah je množina všech kladných reálných čísel.

slučovací druh
  • Doména = R
  • Rozsah = R+

Doména a rozsah goniometrických funkcí

Pro goniometrické funkce definiční obor je množina všech reálných čísel (kromě některých hodnot v některých funkcích) a rozsah goniometrických funkcí se mění s různými goniometrickými funkcemi, např.

  • Rozsah funkce sinus = [-1, 1]
  • Rozsah funkce kosinus = [-1, 1]
  • Rozsah funkce kosekantu = (−∞,−1]∪[1,+∞)
  • Rozsah funkce Secant = (−∞,−1]∪[1,+∞)

Rozsah funkcí tangens a kotangens je odlišný,

  • Rozsah funkce tečny = [-∞, ∞]
  • Rozsah funkce kotangens = [-∞, ∞]

To lze shrnout v tabulce níže:

Goniometrické funkce

Doména

Rozsah

hřích iR[-jedenáct]
cos θR[-jedenáct]
tan θR – (2n + 1)π/2R
sek θR – (2n + 1)π/2(−∞,−1]∪[1,+∞)
cosec θR – nπ(−∞,−1]∪[1,+∞)
dětská postýlka iR – nπR

Doména a rozsah inverzních goniometrických funkcí

Funkce inverzní sinus

Doména: [-1, 1] & Rozsah: [- Pí /2 , Pí /2]

Funkce inverzní kosinus

Doména: [-1, 1] & Rozsah: [0 , Pí ]

Funkce inverzní tečny

Doména: (-infty, infty) & Rozsah: (-π/2 ,π/2)

Inverzní funkce kotangens

Doména: (-infty, infty) & Rozsah: (0 , Pí )

Doména a rozsah funkce absolutní hodnoty

Absolutní funkce nazývané také modulová funkce jsou funkce, které jsou definovány pro všechna reálná čísla, ale jejich výstupem jsou pouze kladná reálná čísla, absolutní funkce dává pouze kladný výstup.

Absolutní funkce je definována jako:

f: R → R, f(x) = |ax + b|

Funkce domény a rozsahu absolutní hodnoty je tedy:

  • Doména = R
  • Rozsah = R+

Doména a rozsah funkce druhé odmocniny

Pro funkci druhé odmocniny se doména a rozsah vypočítá takto:

Předpokládejme, že funkce druhé odmocniny je, f(x) = √(ax + b)

Víme, že druhá odmocnina záporného čísla není definována, takže definiční obor funkce druhé odmocniny je,

  • Doména = x ≥ -b/a = [-b/a,∞)

Nyní pro rozsah funkce druhé odmocniny víme, že absolutní odmocnina dává pouze kladné hodnoty, takže rozsah jsou všechna kladná reálná čísla.

  • Rozsah = R+

Doména a rozsah racionální funkce

A racionální funkce je funkce, která je reprezentována jako, P(x)/Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomiální funkce a Q(x) není nikdy nula. definičním oborem racionální funkce jsou hodnoty x, pro které Q(x) není nikdy nula. A rozsah racionální funkce jsou hodnoty y, které se nalézají pomocí různých hodnot x, v y = P(x)/Q(x).

Log Function Domain and Range

Log funkce nebo Logaritmická funkce jsou funkcí formuláře, y = ln x a doména nd rozsah funkce log je:

  • Doména funkce Log: (0, ∞)
  • Rozsah funkce Log: (-∞, +∞)

Doména a rozsah funkce největšího celého čísla

Funkce největšího celého čísla se také nazývá kroková funkce a je to funkce, která dává výstup jako nejbližší celé číslo menší nebo rovné danému číslu.

  • Doména největší intergerové funkce: R
  • Rozsah největších intergerových funkcí: Z

Doména a rozsah funkčního grafu

Pokud je uveden graf jakékoli funkce, pak je nalezení domény a rozsahu velmi snadný úkol. Předpokládejme, že máme libovolnou křivku, pak je naší první prioritou zjistit, zda je křivka funkční nebo ne, a to se zjistí pomocí test svislé čáry . Pokud je pak křivka dána ve tvaru y = f(x), pak projekce na grafu na ose x udává obor funkce a projekce grafu na ose y udává rozsah funkce .

Doména a rozsah pracovního listu funkcí

  1. Zvažte funkci F ( X )=√( X -2). Určete doménu a rozsah této funkce.
  2. Vzhledem k funkci G ( X )=1/( X +3)​, najděte jeho doménu a rozsah.
  3. Pro funkci h ( X )=( X 2−4)/ X −2, určete doménu a rozsah.
  4. Prozkoumejte funkci k ( X )=bez( X ). Jaký je definiční obor a rozsah této goniometrické funkce?
  5. Prozkoumejte funkci m ( X )= to je X . Identifikujte jeho doménu a rozsah.

Doména a rozsah Pracovní list PDF

Stažení

Články související s doménou a rozsahem funkce

Graf goniometrických funkcí

Vztah a funkce

Rozsah funkcí

Doména a rozsah vztahu

Časté dotazy k doméně a rozsahu

Co je doména a rozsah funkce?

Doména jsou vstupní hodnoty, které funkce přijímá a je definována, a rozsah funkce je hodnota pro tuto doménu

dynamické programování

Co je to funkce?

V matematice je funkce definována jako vztah mezi množinou vstupů a jejich výstupy, přičemž vstup může mít pouze jeden výstup.

Jak je funkce reprezentována v matematice?

Funkce je relace f z množiny X do jiné množiny Y, kde každý prvek v X má právě jeden výstup v Y a je reprezentován jako f: X→Y . Funkce se obvykle označuje y = f(x), kde x je vstup.

Jaká je doména v příkladu Maths?

Definiční obor funkce je definován jako množina všech možných hodnot, pro které lze funkci definovat. Definičním oborem libovolné polynomiální funkce jako je lineární funkce, kvadratická funkce, kubická funkce atd. je množina všech reálných čísel (R).

Jaká je kodoména a rozsah funkce?

Ko-doména funkce je množina možných výsledků, zatímco rozsah nebo obraz funkce je podmnožinou kodomény a je množinou obrázků prvků v doméně.

Jaká je doména a rozsah?

Hodnoty, které zadáváme do funkce, se nazývají definiční obor funkce a rozsah výstupní hodnoty se nazývá obor funkce.

Jak zjistíte doménu a rozsah?

Oblast funkce se najde tak, že se vezme množina všech vstupních hodnot funkce a rozsah funkce je množina všech hodnot, které jsou ve výstupním rozsahu funkce.

Jaká je doména a rozsah sady?

Doména libovolné funkce je množina hodnot, které mohou být použity místo nezávislé proměnné, a rozsahem funkce jsou všechny hodnoty nezávislé proměnné.