Na nově přepracovaném SAT 2016 je obsah matematické sekce rozdělen do čtyř kategorií College Board: Srdce algebry, Řešení problémů a analýza dat, Passport to Advanced Math a Additional Topics in Math. Srdce algebry tvoří největší část matematické sekce SAT (33 % testu) , takže je třeba se na to dobře připravit. V tomto příspěvku budu diskutovat o obsahu této kategorie a typech otázek, propracuji se s praktickými problémy a poskytnu tipy, jak tyto otázky vyřešit.

Srdce algebry: Přehled

Obsah pokrytý

Jak název napovídá, Heart of Algebra pokrývá obsah algebry, ale jaký konkrétně obsah algebry? Tyto otázky se týkají:

• Lineární rovnice
• Systém rovnic
• Absolutní hodnota
• Grafy lineárních rovnic
• Lineární nerovnosti a soustavy nerovnic

Níže se ponořím do každé z těchto oblastí obsahu. Vysvětlím vám přesně to, co potřebujete vědět v každé oblasti, a provedu vás některými praktickými problémy.

POZNÁMKA: Všechny praktické problémy v tomto článku pocházejí z a skutečný cvičný test College Board SAT (Cvičný test č. 1).

Doporučuji, abyste tento článek nečetli, dokud neuděláte praktický test #1 (abych vám to nezkazil!). Pokud jste neabsolvovali Practice Test #1, uložte si tento článek do záložek a vraťte se, až ho dokončíte. Pokud jste již absolvovali praktický test č. 1, čtěte dále!

Rozdělení otázek srdce algebry

Jak jsem zmínil na začátku článku, Heart of Algebra tvoří 33 % matematické části, což 19 otázek. V části 3 (test z matematiky mimo kalkulačku) jich bude osm a v části 4 (test z matematiky na kalkulačce) 11.

Otázky Srdce algebry se liší v prezentaci. Protože je jich tolik, musela College Board zamíchat, jak vám tyto otázky kladou. Uvidíte otázky s více možnostmi a mřížkou v srdci algebry. Můžete jednoduše být předložen s rovnicí (rovnicemi) a je třeba je vyřešit nebo můžete dostat scénář ze skutečného světa jako slovní úlohu a je třeba vytvořit rovnici (rovnice), abyste našli odpověď.

Matematická část SAT uvádí otázky v pořadí podle obtížnosti (definované podle toho, jak dlouho průměrnému studentovi trvá vyřešení problému, a podle procenta studentů, kteří na otázku odpověděli správně). Otázky Srdce algebry uvidíte v celé sekci : ty jednoduché, „snadné“ se objeví na začátku vícenásobného výběru a mřížky, zatímco ty náročnější, které vyžadují vytvoření rovnice nebo rovnic k vyřešení, se objeví na konci.

Uvedu příklady každého typu otázek (snadných a obtížných), když se v další části dozvíme o jednotlivých oblastech obsahu.

Jsme na cestě k dobytí algebry!

Rozdělení oblastí obsahu

Lineární rovnice

Otázky lineární rovnice mohou být prezentovány několika způsoby. Jednodušší otázky týkající se lineární rovnice vás požádají o vyřešení lineární rovnice, která vám byla dána. Těžší otázky týkající se lineárních rovnic vás požádají o napsání lineární rovnice, která bude reprezentovat danou situaci.

Žádné problémy s procvičováním kalkulačky

Tato otázka zní jedna z nejjednodušších, nejjednodušších a nejpřímějších otázek Srdce algebry že uvidíš. Tato otázka vás pouze žádá, abyste vyřešili lineární rovnici, aniž byste ji situovali do situace reálného světa, která by vyžadovala, abyste rozuměli kontextu i rovnici.

Vysvětlení odpovědi:

Protože $k=3$, lze za k v rovnici dosadit 3, což dává ${x-1}/{3}=3$. Vynásobením obou stran ${x-1}/{3}=3$ 3 dostaneme $x-1=9$, a pokud ke každé straně přidáte 1, výsledek je $x=10$. D je správná odpověď.

Spropitné:

Pokud jste se s touto otázkou potýkali, můžete ji také vyřešit tak, že zapojíte možnosti odpovědí pro x a uvidíte, která z nich funguje. Zapojení bude fungovat, ale zabere vám více času než pouhé řešení rovnice.

Pokud vyřešíte rovnici, abyste našli x, můžete svou odpověď zkontrolovat tak, že ji zapojíte. Pokud zapojíte svou volbu odpovědi pro x a obě strany rovnice jsou stejné, víte, že máte správnou odpověď!

Následující otázka zní trochu náročnější protože vás požádá o vytvoření lineární rovnice, která bude reprezentovat scénář reálného světa, který představuje.

Vysvětlení odpovědi:

K tomuto problému lze přistupovat dvěma způsoby.

Přístup 1: Celkový počet zpráv odeslaných Armandem se rovná jeho rychlosti textových zpráv (m textů/hodinu) vynásobené 5 hodinami, které strávil psaním SMS: m textů/hodinu × 5 hodin = 5 milionů $ textů. Podobně se celkový počet zpráv odeslaných Tyronem rovná jeho rychlosti textových zpráv (p textů/hodinu) vynásobené 4 hodinami, které strávil psaním SMS: p textů/hodinu × 4 hodiny = $4p$ textů. Celkový počet zpráv odeslaných Armandem a Tyronem se rovná součtu celkového počtu zpráv odeslaných Armandem a celkového počtu zpráv odeslaných Tyronem: $5 mil.+4p$. C je správná odpověď.

Přístup 2: Vyberte čísla a zapojte je. Například, vyberu čísla a řeknu, že Armand posílá 3 SMS za hodinu a Tyrone posílá 10 SMS za hodinu. Na základě uvedených informací, pokud Armand posílá SMS po dobu 5 hodin, Armand odeslal (3 SMS za hodinu) (5 hodin) texty nebo 15 SMS; pokud Tyrone posílá SMS po dobu 4 hodin, Tyrone odeslal (10 textů za hodinu) (4 hodiny) texty nebo 40 textů. Proto je celkový počet textů zaslaných Armandem a Tyronem $15+40=55$ textů. Nyní vložím čísla, která jsem zvolil, k možnostem odpovědí a zjistím, zda počet textů odpovídá 55 textům, takže pro odpověď C platí $5(3) +4(10)=15+40=55$ textů. Proto je C správná odpověď. POZNÁMKA: u této otázky byla tato strategie pomalejší, ale u složitějších otázek to může být rychlejší a jednodušší přístup.

Spropitné:

Vezměte tyto problémy krok za krokem. Zjistěte celkový počet Armandových textových zpráv, pak zjistěte celkový počet Tyronových textových zpráv a poté je spojte do jednoho výrazu. Nespěchejte, abyste skočili na konečnou odpověď. Cestou můžete udělat chybu.

Systémy rovnic

Otázky soustavy rovnic budou prezentovány podobným způsobem jako otázky lineárních rovnic; nicméně, jsou obtížnější protože nyní musíte udělat více kroků a/nebo vytvořit druhou rovnici.

The jednodušší systém rovnic rovnic Když dostanete dvě rovnice se dvěma proměnnými, požádá vás o vyřešení jedné proměnné.

The těžší systém rovnic rovnic bude vyžadovat, abyste napsali soustavu rovnic reprezentujících danou situaci a poté vyřešili jednu proměnnou pomocí rovnic, které jste vytvořili.

Žádné problémy s procvičováním kalkulačky

Tato otázka je pravděpodobně nejjednodušší, nejjednodušší a nejpřímější soustavy rovnic rovnic že uvidíš. Nastaví rovnice za vás a jednoduše vás požádá o řešení pro x.

Vysvětlení odpovědi:

Odečtením levé a pravé strany $x+y=−9$ od odpovídajících stran $x+2y =−25$ dostaneme $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , což je ekvivalent $y=−16$. Dosazením $−16$ za $y$ v $x+y=−9$ dostaneme $x+(−16)=−9$, což je ekvivalentní $x=−9−(−16) =7$. Správná odpověď je 7.

Spropitné:

Zapojení může být dobrou volbou, pokud dostanete tuto otázku ve vícenásobné volbě (což zde není tento případ). Mohli jste však také zapojit svou odpověď a zkontrolovat svou práci!

Zde je další poměrně přímočarý systém otázek rovnic, ale je trochu obtížnější protože musíte poskytnout odpověď pro x i y (což vytváří větší potenciál pro chyby).

Vysvětlení odpovědi:

Přidáním x a 19 na obě strany $2y−x=−19$ dostaneme $x=2y+19$. Pak dosazením $2y+19$ za x v $3x+4y=−23$ dostaneme $3(2y + 19)+4y=−23$. Tato poslední rovnice je ekvivalentní $10y+57=−23$. Řešením $10y+57=−23$ dostaneme $y=−8$. Nakonec dosazením −8 za y v $2y−x=−19$ dostaneme $2(−8)−x=−19$, neboli $x=3$. Řešením $(x, y)$ dané soustavy rovnic je tedy $(3, −8)$.

Spropitné:

Zapojení by bylo také rychlý způsob, jak tento problém vyřešit! Když budete požádáni o vyřešení obou proměnných v systému rovnice, vždy zkuste zapojit!

Následuje a trochu obtížnější. I když jste dostali rovnice, stále musíte určit, na co se vás otázka ptá (kterou proměnnou musíte vyřešit), což je o něco náročnější, protože vám to položí otázku pomocí scénáře reálného světa. Také to musíte vyřešit pomocí mentální matematiky (protože je v sekci bez kalkulačky).

Vysvětlení odpovědi:

Chcete-li určit cenu za libru hovězího masa, když se rovnala ceně za libru kuřete, určete hodnotu x (počet týdnů po 1. červenci), kdy byly obě ceny stejné. Ceny byly stejné, když $b=c$; to znamená, když 2,35 $ + 0,25 x = 1,75 + 0,40 x $. Tato poslední rovnice je ekvivalentní $0,60=0,15x$, takže $x={0,6}/{0,15}=4$. Poté, abyste určili $b$, cenu za libru hovězího masa, nahraďte 4 za $x$ v $b=2,35+0,25x$, což dává $b=2,35+0,25(4)=3,35 $ dolarů za libru. Proto je D správná odpověď.

Spropitné:

Udělejte si čas na každý krok. Je snadné udělat malou chybu a dostat špatnou odpověď.

Problém praxe s kalkulačkou

Následuje jedna z nejtěžších otázek Srdce algebry. Na základě skutečného scénáře, který je uveden v otázce, musíte vytvořit dvě rovnice a poté je vyřešit.

Vysvětlení odpovědi:

Chcete-li zjistit počet prodaných salátů, napište a vyřešte soustavu dvou rovnic. Nechť $x$ se rovná počtu prodaných salátů a $y$ se rovná počtu prodaných nápojů. Protože počet salátů plus počet prodaných nápojů se rovná 209, musí platit rovnice $x+y=209$. Protože každý salát stál 6,50, každá sodovka 2,00 a celkový příjem byl 836,50, rovnice 6,50 x + 2,00 y = 836,50 $ musí také platit. Rovnice $x+y=209$ je ekvivalentní $2x+2y=418$ a odečtením každé strany $2x+2y=418$ od příslušné strany $6,50x+2,00y=836,50$ dostaneme $4,5x=418,50 $. Počet prodaných salátů x tedy byl $x={418,50}/{4,50}=93$. Proto je B správná odpověď.

Spropitné:

Vezměte tyto problémy krok za krokem. Napište rovnici pro celkový počet prodaných salátů a nápojů, pak vypočítejte rovnici pro příjem a poté vyřešte. Nespěchejte, jinak byste mohli udělat chybu.

Absolutní hodnota

Obvykle bude existovat pouze jedna otázka Absolutní hodnoty v sekci matematiky SAT. Otázka je obvykle docela snadná a přímočará, ale ke správnému zodpovězení vyžaduje, abyste znali pravidla absolutní hodnoty. Cokoli, co je absolutní hodnotou, bude označeno znaky absolutní hodnoty, které vypadají takto: || Například $|-4|$ nebo $|x-1|$

Absolutní hodnota je vyjádření vzdálenosti podél číselné osy, dopředu nebo dozadu.

Tohle znamená tamto cokoli je ve znaménku absolutní hodnoty, bude kladné protože představuje vzdálenost podél číselné osy a není možné mít zápornou vzdálenost. Například na výše uvedené číselné ose je -2 2 od 0. Cokoli uvnitř absolutní hodnoty se stane kladným.

To také znamená, že rovnice absolutní hodnoty bude mít vždy dvě řešení . Například $|x-1|=2$ bude mít dvě řešení $x-1=2$ a $x-1=-2$. Potom vyřešíte každou samostatnou rovnici, abyste našli dvě řešení, $x=3,-1$.

Když pracujete na problémech absolutní hodnoty, nezapomeňte, že musíte vytvořit dvě samostatná řešení, pozitivní a negativní, jak jsme to udělali výše.

Problém praxe s kalkulačkou

Vysvětlení odpovědi:

Pokud je hodnota $|n−1|+1$ rovna 0, pak $|n−1|+1=0$. Odečtením 1 od obou stran této rovnice dostaneme $|n−1|=−1$. Výraz $|n−1|$ na levé straně rovnice je absolutní hodnota $n−1$, a jak jsem právě zmínil, absolutní hodnota nemůže být nikdy záporné číslo, protože představuje vzdálenost. $|n−1|=−1$ tedy nemá řešení. Proto neexistují žádné hodnoty pro n, pro které by hodnota $|n−1|+1$ byla rovna 0. D je správná odpověď.

Spropitné:

Pamatujte na pravidla absolutní hodnoty (vždy je pozitivní!). Pokud si pamatujete pravidla, měli byste správně odpovědět na otázku!

Grafy lineárních rovnic

Tyto otázky otestují vaši schopnost číst graf a interpretovat jej do tvaru $y=mx+b$. Rychlé obnovení, $y=mx+b$ je rovnice úsečky úsečky se sklonem, kde m představuje sklon ab představuje průsečík y.

V těchto otázkách se vám obvykle zobrazí graf přímky a budete muset určit, jaký je sklon a průsečík y, abyste mohli napsat rovnici přímky.

Problém praxe s kalkulačkou

Vysvětlení odpovědi:

Vztah mezi h a C je reprezentován libovolnou rovnicí dané přímky. C-průsečík přímky je 5. Protože body $(0, 5)$ a $(1, 8)$ leží na přímce, je sklon přímky ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Proto vztah mezi h a C může být reprezentován $C=3h+5$, rovnicí úsečky se sklonem přímky. C je správná odpověď.

Spropitné:

Mějte nazpaměť tvar průsečíku sklonu ($y=mx+b$) a rovnici sklonu $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Vědět, co každá proměnná v rovnicích znamená. Pokud toto všechno znáte, měli byste být schopni zvládnout jakýkoli problém s grafickou lineární rovnicí, který jste dostali.

Lineární nerovnosti a systémy lineárních nerovností

Tyto jsou pravděpodobně nejnáročnější otázky Srdce algebry protože mnoho studentů bojuje, když jsou proměnné kombinovány s nerovnostmi. Pokud potřebujete rychlé, ale hloubkové osvěžení nerovností, podívejte se na našeho průvodce nerovnostmi .

Tyto otázky se obvykle objevují na konci vícenásobné volby a mřížky v každé sekci. Tyto otázky budou prezentovány jako přímočaré již nastavené nerovnosti (nebudete požádáni, abyste vytvořili nerovnosti, ani vám nebude předložen reálný scénář využívající nerovnosti). I když jsou tyto otázky prezentovány přímočaře, jsou náročné a je snadné udělat chybu, takže si nespěchejte!

Praktické problémy s kalkulačkou

Vysvětlení odpovědi:

Odečtením $3x$ a přičtením 3 k oběma stranám $3x−5≥4x−3$ dostaneme $−2≥x$. Proto x je řešením $3x−5≥4x−3$ právě tehdy, když x je menší nebo rovno −2 a x NENÍ řešením $3x−5≥4x−3$ právě tehdy, když x je větší než -2. Z uvedených možností je pouze −1 větší než −2, a proto nemůže být hodnotou x. A je správná odpověď.

Můžete také zkusit odpovědět tak, že zapojíte možnosti odpovědí a uvidíte, která z nich nefungovala. Pokud zapojíte A do nerovnosti, dostanete $3(-1)-5≥4(-1)-3$. Zjednodušením nerovnosti byste dostali -8≥-7, což není pravda, takže A je správná odpověď.

Spropitné

Pamatujte na pravidla nerovností! Udělejte si čas a propracujte se každým krokem, abyste neudělali žádné chyby. Nezapomeňte také zkusit zapojit možnosti odpovědí, abyste našli správnou odpověď!

Podívejme se na další příklad.

Vysvětlení odpovědi:

Protože (0, 0) je řešením soustavy nerovnic, dosazením 0 za x a 0 za y v dané soustavě musí vzniknout dvě skutečné nerovnosti. Po tomto nahrazení y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Proto je a kladné a b záporné. Proto a > b. Volba A je správná.

Spropitné:

Zacházejte s tímto systémem nerovností se čtyřmi proměnnými stejně, jako byste zacházeli se systémem nerovností se dvěma proměnnými. Pamatujte, že pokud (0,0) je řešení, znamená to, že když x=0, y=0.

4 klíčové strategie pro srdce algebry

Strategie pro řešení těchto otázek jsem proložil celým tímto článkem v sekcích „tip“, ale nyní je zde shrnu.

Strategie č. 1: Zapamatujte si pravidla a vzorec

Abyste správně odpověděli na tyto typy algebrických otázek, musíte znát pravidla nerovnic , pravidla absolutní hodnoty a vzorec pro verzi se sklonem úsečky ($y=mx+b$). Bez pravidel a vzorců jsou tyto otázky v podstatě nemožné.

Pokud potřebujete další pomoc s některým z konceptů, prohlédněte si naše podrobné průvodce lineárními rovnicemi, soustavami rovnic , absolutní hodnotou , tvarem průsečíku sklonu a lineárními nerovnostmi a systémy nerovnic.

Strategie č. 2: Zapojování odpovědí

U otázek s více možnostmi byste měli vždy zkontrolujte, zda můžete připojit možnosti odpovědí k dané rovnici (rovnicím) nebo nerovnosti, abyste našli správnou odpověď . Někdy bude tento přístup mnohem jednodušší než pokus o vyřešení rovnice.

I když zjistíte, že vás zapojování odpovědí zpomaluje, měli byste alespoň zvážit jeho použití ke kontrole vaší práce. Zapojte odpověď, kterou najdete, a zjistěte, zda výsledkem je vyvážená rovnice nebo správné nerovnosti. Pokud ano, víte, že máte správnou odpověď!

Zapoj to! Zapoj to!

Strategie č. 3: Zapojování čísel

Pokud vložení odpovědí není možné, je často možné vložit čísla, jako v otázce 2 výše. Když vybíráte čísla, která chcete zapojit, obecně nedoporučuji používat -1, 0 nebo 1 (protože mohou vést k nesprávným odpovědím) a nezapomeňte si přečíst otázku, abyste viděli, jaká čísla byste měli vybrat. Například v otázce 2 čísla představovala počet odeslaných textových zpráv, takže byste k vyjádření počtu textových zpráv neměli používat záporné číslo, protože není možné odeslat záporný počet textových zpráv.

U nerovností je to obzvláště důležité, často otázka zní 'následující platí pro všechny $x>0$.' Pokud je tomu tak, nemůžete zapojit 0 nebo -5; můžete připojit pouze čísla větší než 0, protože to je parametr nastavený v otázce.

Strategie č. 4: Pracujte krok za krokem

U otázek Srdce algebry si musíte dát na čas propracováním každého kroku. Tyto otázky mohou zahrnovat 5, 10, 15 kroků a musíte si dát čas, abyste se ujistili, že v kroku 3 neuděláte malou chybu, která bude mít za následek nesprávnou odpověď. Víte své věci, tak nenechte, aby vás malé chyby stály body!

Co bude dál?

Nyní, když víte, co můžete v otázkách Heart of Algebra očekávat, ujistěte se, že jste na to připraveni všechna ostatní matematická témata uvidíš na SAT. Všechny naše matematické příručky vás provedou strategiemi a praktickými problémy pro všechna témata obsažená v matematické sekci, od celých čísel po poměry, kružnice po mnohoúhelníky (a další!).

Máte obavy z testovacího dne? Ujistěte se, že přesně víte, co máte dělat, abyste si uklidnili mysl a uklidnili nervy, než nastane čas na SAT.

Dochází vám čas v matematické sekci SAT? Nehledejte nic jiného než náš průvodce, který vám pomůže překonat čas a maximalizovat vaše SAT matematické skóre.

Rybaření, abyste získali perfektní skóre? Podívejte se na naše návod k získání perfektních 800 , napsaný perfektním střelcem.