a Funkce kosinus nebo cos funkce je zkrátka jednou ze šesti Goniometrické funkce základ trigonometrie. Kosinus v trigonometrii je dán jako poměr základny k přeponě pravoúhlého trojúhelníku. Kosinová funkce je reprezentována jako Cos x, kde x je úhel, pro který je vypočítán kosinusový poměr. Z hlediska funkce můžeme říci, že x je vstupem nebo definičním oborem funkce kosinus.

Je široce používán v široké škále předmětů, jako je fyzika, geometrie a inženýrství, mimo jiné obecně tím, že využívá jeho periodickou povahu. Používá se například k definování vlnové povahy zvukových vln, výpočtů elektrického toku rovinnou plochou atd. V tomto článku se podrobně seznámíme s tím, co je funkce kosinus, tzv. doména a rozsah funkce kosinus, perioda a graf funkce kosinus.

Obsah

• Co je funkce kosinus?
• Cos v Unit Circle
• Graf funkce kosinus
• Inverzní funkce kosinus
• Funkce kosinus v kalkulu
• Identity funkce Cos

Co je funkce kosinus?

Kosinová funkce je goniometrická funkce, která je v podstatě periodická. Funkce kosinus je vyjádřena jako cos x, kde x je jeden z ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku. Kosinová funkce najde poměr báze a přepony pro danou hodnotu x. Funkce kosinus je zkrácena jako cos(x) nebo cos(θ), kde x je úhel v radiánech a theta θ je úhel v stupně obvykle. Funkci kosinus lze definovat pomocí jednotkové kružnice, tj. kružnice o jednotkovém poloměru, jak uvidíme dále v tomto článku. Má periodickou povahu a opakuje své hodnoty po každém úplném otočení úhlů. Na kartézské rovině ji lze označit jako vektorovou složku přepony rovnoběžné s osou x.

Definice funkce kosinus

Funkce kosinus je definována v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr délky strany přiléhající k příslušnému úhlu k délce přepony. Matematicky Kosinová funkce je dána jako

Cos x = Cos θ = Délka základny/délka přepony = b/h = OB/OA

kde X je úhel v radiánech a θ je ekvivalentní úhel ve stupních.

Funkce domény a rozsahu Cos

Víme, že pro funkci je doména přípustné vstupní hodnoty a rozsah je výstupní hodnota pro tento konkrétní vstup nebo hodnotu domény. Můžeme tedy předpokládat, že funkce se chová jako procesor, který přijímá vstup, zpracovává jej a dává konkrétní výstup. Doména a rozsah funkce cos jsou popsány níže:

• Doména funkce kosinus: R tj. množina všech reálných čísel.
• Rozsah funkce kosinus: [-1, 1], tj. výstup se mění mezi všemi reálnými čísly mezi -1 a 1.

Období funkce kosinus

The funkce má periodickou povahu, tj. opakuje se po 2π nebo 360°. Jinými slovy, opakuje se po každém úplném otočení. Perioda funkce kosinus je tedy úplná rotace nebo úhel 360° (neboli 2π).

Reciproká funkce kosinus

Převrácená hodnota funkce kosinus je známá jako sečna funkce popř sek ve zkratce. Matematicky je převrácená hodnota funkce kosinus dána jako

velbloudí krajta

sek(θ) = 1/cos(θ)

Podle pravidel Reciproční , pokud vynásobíme Cos x s Sec x, součin bude vždy 1.

Graf funkce kosinus

Graf funkce sinus se podobá grafu funkce sinus se základním rozdílem, že pro x = 0 graf funkce sin přechází od počátku, zatímco v x = 0 graf funkce kosinus přechází z (0, 1) na y-aix. Následuje graf hodnoty funkce kosinus, tj. y = cos x

Vlastnosti diskutované výše lze vidět v grafu, jako je periodická povaha funkce.

Variace funkce kosinus v grafu

Protože rozsah funkce kosinus je [-1, 1], mění se v grafu od -1 do 1. Projevuje svou periodickou povahu, protože graf se opakuje po každé délce 2π na ose x. To odráží, že funkce kosinus má periodu 2π (neboli 360°).

Cos v Unit Circle

Kosinovou funkci lze definovat pomocí jednotkové kružnice. Pojďme pochopit, jak můžeme definovat funkci kosinus z hlediska jednotkového kruhu.

Uvažujme úsečku OA rotující kolem bodu O, kde O je počátek kartézské roviny. Rotace OA tedy popisuje jednotkovou kružnici (kružnici o jednotkovém poloměru) se středem v počátku O a bod A vždy leží na této kružnici. Pokud pustíme kolmici z A na osu x a nazveme průsečík B a θ je úhel, který OA svírá s kladným směrem osy x, pak cos(θ) = projekce přepony na x -osa = OB/|OA| = OB (protože |OA| = 1 jednotka).

Všimněte si, že směr OB je důležitý, jak je vidět na následujících obrázcích. Zelený segment označuje délku/velikost a šipka směr (+ve nebo -ve) cos(θ)

Všimněte si, že hodnota cos(θ) je kladná pro θ patřící do prvního a čtvrtého kvadrantu, zatímco záporná pro θ patřící do druhého a třetího kvadrantu.

Inverzní funkce kosinus

Inverzní funkce kosinus známé jako oblouk-kosinus funkce a zkráceně jako arccos(x) nebo cos ^-1 (X) je definován následovně

cos(x) = y

⇒ cos ^-1 (y) = x

Doména a rozsah inverzní kosinové funkce

Doména a rozsah inverzní kosinové funkce jsou uvedeny níže:

• Doména inverzní kosinové funkce: Všechna reálná čísla v rozsahu [-1, 1]
• Rozsah inverzní kosinové funkce: Všechna reálná čísla v rozsahu [0, π]

Hyperbolická kosinová funkce

Hyperbolické funkce jsou analogovým ekvivalentem goniometrické funkce, jejíž algebraické vyjádření je v podmínkách exponenciální funkce. Hyperbolická funkce kosinus zkráceně jako cosh(x) kde X je hyperbolický úhel je pojem hyperbolické geometrie. Stejně jako (cos(x), sin(x)) představuje bod na jednotkové kružnici, (cosh(x), sinh(x)) představuje bod na jednotkové hyperbole, tj. xy = 1, kde sinh(x) představuje hyperbolický sinusová funkce. Algebraický rozvoj hyperbolické funkce cos je dán jako

cosh(x) = (např ^X + a ^-X )/2

Další podrobnosti o hyperbolických funkcích jsou mimo rámec tohoto článku, ale můžete se na ně obrátit tento článek .

Funkce kosinus v kalkulu

Odvětví počtu v matematice se zabývá diferenciace a integrace dané funkce. Diferenciace funkce je rychlost změny funkce vzhledem k nezávislé proměnné, zatímco integrace je opačný proces diferenciace, který se zabývá hledáním integrálu funkce, jejíž derivace existuje.

Derivace funkce kosinus

The derivát funkce kosinus se rovná záporu funkce sinus. Matematicky

d(cos(x))/dx = -sin(x)

Integrace funkce kosinus

The neurčitý integrál funkce kosinus se rovná funkci sinus. Matematicky -

∫cos(x)dx = sin(x) + C, kde C je integrační konstanta.

Funkce sinus a kosinus

Následující graf představuje klíčový rozdíl mezi funkcí sinus a kosinus:

Rozdíl mezi funkcemi sinus a kosinus

Následující tabulka uvádí rozdíly mezi funkcí sinus a kosinus –

Tabulka hodnot Cos

Následující tabulka uvádí hodnoty funkce kosinus pro některé společné úhly v prvním kvadrantu kartézské roviny –

Pomocí těchto hodnot můžeme snadno vypočítat hodnoty dalších běžných úhlů jako 15°, 75°, 195°, -15° atd. pomocí vzorců cos (x + y) a cos (x – y) popsaných dále v tomto článek.

Šek, Trigonometrický stůl

Identity funkce Cos

Níže jsou uvedeny základní trigonometrické identity související s funkcí kosinus:

• bez²(x) + cos²(x) = 1
• cos(x + y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
• cos(-x) = cos(x)
• cos(x) = 1/s(x)
• cos 2x = cos²x – hřích²x = 1 – 2 sin²x = 2 cos²x – 1 = (1 – tan²x/1 + tan²X)
• cos 3x = 4cos³x – 3 cos x

Související články

• Diferenciace goniometrických funkcí
• Inverzní goniometrické funkce
• Inverzní spouštěcí deriváty

Řešené příklady na funkci kosinus

Zde je několik vyřešených příkladů, které vám pomohou lépe porozumět konceptu funkce kosinus.

Příklad 1: Jaká je maximální a minimální hodnota funkce kosinus?

Řešení:

Maximální hodnota funkce kosinus je 1 při 0° a 180°, zatímco minimální hodnota funkce je -1 při 180°.

Příklad 2: Pod jakým úhlem (úhly) v rozsahu [0, 360] je hodnota funkce kosinus 0?

Řešení:

Hodnota kosinusové funkce je 0 v úhlech 90° a 270°.

Příklad 3: Pro jaké kvadranty je hodnota funkce kosinus záporná?

Řešení:

Funkce kosinus je záporná ve II^nda III^rdkvadranty.

Příklad 4: Vypočítejte hodnotu cos (45°).

Řešení:

co je příkaz export v linuxu

Podle identity 4 uvedené výše, cos(-x) = cos(x).

Proto cos(-45°) = cos(45°) = 1/√2

Příklad 5: Vypočítejte hodnotu cos(15°).

Řešení:

Použití identity 3 uvedené výše –

cos(15degree) = cos(45degree – 30degree) ewline = cos(45degree)cos(30degree) + sin(45degree)sin(45degree) ewline = frac{1}{sqrt2} imesfrac{sqrt3}{2} + frac{1}{sqrt2} imes frac{1}{2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2}

Příklad 6: Co je cos ^-1 (1/2) v rozsahu [0,π]?

Řešení:

Nechte cos^-1(1/2) = y.

Proto cos(y) = 1/2 ⇒ y = π/3 ve výše uvedeném rozsahu.

Odpověď je tedy π/3.

Příklad 7: Jaká je hodnota cos(-15°)?

Řešení:

Použití identity 3 uvedené výše –

cos(-15degree) ewline = cos(30degree – 45degree) ewline = cos(30degree)cos(45degree) + sin(30degree)sin(45degree) ewline = frac{sqrt3}{2} imesfrac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{2} imesfrac{1}{sqrt2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2} .

Alternativně můžeme také použít identitu cos(-x) = cos(x) a použít hodnotu cos(15°) vypočítanou v příkladu 5.

Příklad 8: Vypočítejte plochu pod grafem funkce kosinus pro x = 0 až x = π/2.

Řešení:

Danou plochu lze vypočítat řešením následujícího určitého integrálu –

int_0^{frac{pi}{2}}cos(x)dx ewline = sin(frac{pi}{2}) – sin(0) ewline = 1 – 0 ewline = 1

Odpověď je tedy 1 čtvereční jednotka.

Příklad 9: Je-li cos(x) = π/3, najděte hodnotu cos(3x) (v desítkovém tvaru s přesností na dvě desetinná místa).

Řešení:

Pomocí identity – cos(3x) = 4cos³(x) – 3 cos (x) –

cos(3x) = 4⨉(π/3)³-3⨉(π/3) ≅ 4,59 – π = 1,45

Příklad 10: Najděte hodnotu cos(120°).

Řešení:

Použití identity pro cos (2x)

cos(120°) = cos(2⨉60°) = 1 – 2 sin²(60°) = 1-2⨉(√3/2)²= 1 – 3/2 = -1/2

Cvičební otázky: Cos funkce

Q1. Jaký je vzorec pro výpočet cos úhlu v pravoúhlém trojúhelníku?

Q2. Jaká je geometrická interpretace cos na kartézské rovině?

Q3. Vypočítejte hodnotu cos(120°).

Q4. Najděte hodnotu cos ^-1 (√3/2) v rozsahu [π, 2π].

Q5. Pokud pól vrhá na zem stín stejné délky, zjistěte úhel Slunce vzhledem k zemi, pokud je Slunce ve východním směru.

Shrnutí – funkce kosinus

Funkce kosinus, označovaná jako cos(x), je základní trigonometrická funkce definovaná jako poměr základny k přeponě v pravoúhlém trojúhelníku a je nezbytná v různých oblastech, jako je fyzika, inženýrství a geometrie, kvůli své periodické povaze. , který je nápomocný při modelování chování vln. Má definiční obor všech reálných čísel a rozsah od -1 do 1, cyklus se opakuje každé 2 Pi radiány nebo 360 stupňů, patrné z jeho vlnovitého grafu, který začíná na (0,1). Z hlediska počtu je derivace cos(x) − sin( X ), a jeho integrál dává sin( X )+ C s C jako integrační konstantou. Tato funkce se také rozšiřuje na hyperbolické formy, jako je cosh(x), což zlepšuje její použití v různých matematických kontextech a řešeních, včetně výpočtů vln a oscilací ve fyzických systémech.

Funkce kosinus: Často kladené otázky

1. Co je funkce kosinus?

Funkce kosinus je jednou ze základních goniometrických funkcí. Je definován v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr délky strany přilehlé k příslušnému úhlu k délce přepony.

2. Jsou cos a kosinus v trigonometrii stejné?

Ano. cos je zkratka/krátká forma funkce kosinus.

3. Co je funkce rozsahu Cos?

Rozsah funkce cos nebo kosinus jsou všechna reálná čísla v rozmezí -1 až 1, tj. [-1,1].

4. Co je doména funkce Cos?

Definičním oborem funkce cos neboli kosinus je ser všech reálných čísel, tj. R .

5. Jaká je maximální hodnota funkce kosinus?

Maximální hodnota kosinusové funkce je 1 pro všechny úhly ekvivalentní 0° nebo 360°.

6. Jaká je minimální hodnota funkce kosinus?

Minimální hodnota kosinusové funkce je -1 pro všechny úhly ekvivalentní 180°.

7. Jak zjistit hodnotu Cos(-x)?

Hodnotu cos(-x) lze vypočítat výpočtem hodnoty cos(x) díky existenci následující identity: cos(-x) = cos(x).

8. Jak znázornit graf funkce kosinu?

Chcete-li nakreslit graf kosinusové funkce na kartézské rovině, označte osu x jako reprezentující úhly v radiánech (nebo stupních) a osu y jako reprezentující hodnoty kosinusové funkce pro odpovídající úhel na ose x. Nyní,

• Krok 1: Vezměte podmnožinu osy x, pro kterou byste chtěli nakreslit graf.
• Krok 2: Rozdělte osu x v tomto rozsahu na ekvidistantní body (tj. mezi všemi dílčími body je stejný prostor). Všimněte si, že čím větší je počet dělení, tím větší je přesnost výsledného grafu.
• Krok 3: Pro každý z těchto dílčích bodů x označte v grafu bod (x, cos(x)).
• Krok 4: Spojením všech označených bodů získáte graf funkce kosinus (pro podmnožinu osy x, kterou jste vybrali).

9. Jak najít periodu funkce kosinus?

Perioda kosinusové funkce se vztahuje k minimálnímu rozsahu hodnot, po kterém se funkce začne sama opakovat. Víme, že funkce kosinus se opakuje po každé úplné rotaci, což znamená 2π radiány. Perioda funkce kosinus je tedy 2π radiánů neboli 360°.

10. Co je amplituda funkce kosinus?

Amplituda kosinusové funkce se vztahuje k maximálnímu posunutí hodnoty funkce od střední polohy, tj. osy x. Amplituda funkce kosinus je 1, protože maximální posunutí je 1 (pro hodnoty -1 a 1 při 180 a 0 stupních. Všimněte si, že rozsah funkce kosinus je [-amplituda, amplituda].