Diferenciace goniometrických funkcí je odvozenina trigonometrických funkcí, jako je sin, cos, tan, cot, sec a cosec. Diferenciace je důležitou součástí kalkulu. Je definována jako rychlost změny jedné veličiny vzhledem k nějaké jiné veličině. Diferenciace goniometrických funkcí se používá v reálném životě v různých oblastech, jako jsou počítače, elektronika a matematika.

V tomto článku se dozvíme o derivaci goniometrických funkcí spolu se vzorci, jejich souvisejícími důkazy a jejich aplikacemi. Také vyřešíme některé příklady a dostaneme odpovědi na některé často kladené otázky o derivování goniometrických funkcí. Začněme naše učení na téma Diferenciace goniometrických funkcí.

Co je diferenciace?

Diferenciace funkce je rychlost změny funkce vzhledem k jakékoli proměnné. The derivát z f(x) je označeno jako f'(x) nebo (d /dx)[f(x)].

Postup diferenciace goniometrické funkce se nazývá derivace goniometrických funkcí. Jinými slovy, nalezení rychlosti změny goniometrických funkcí vzhledem k úhlům se nazývá derivace goniometrických funkcí.

Šest základních goniometrických funkcí jsou sin, cos, tan, cosec, sec a cot. Najdeme derivace všech goniometrických funkcí s jejich vzorci a důkazem.

Diferenciační pravidlo pro goniometrické funkce

Derivace šesti základních goniometrických funkcí je následující:

Důkaz derivace těchto šesti goniometrických funkcí si můžete ověřit na níže uvedených odkazech:

Vzorec pro důkaz derivace goniometrických funkcí

Jak bylo diskutováno výše u vzorců pro všechny goniometrické funkce, nyní prokážeme výše uvedené vzorce derivace goniometrických funkcí pomocí prvního principu derivace, podílového pravidla a řetězového pravidla pomocí limit.

Rozlišení hříchu (x)

K prokázání derivace sin x použijeme první princip derivace a některé základní trigonometrické vzorce identit a limit. Vzorec goniometrických identit a limitů, který se používá v důkazu, je uveden níže:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Začněme důkazem pro derivování goniometrické funkce sin x

Podle prvního principu diferenciace

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Pomocí 2 a 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Proto je diferenciace hříchu x cos x.

Diferenciace cos(x)

K prokázání derivace cos x použijeme první princip derivace a některé základní trigonometrické vzorce identit a limit. Vzorec goniometrických identit a limitů, který se používá v důkazu, je uveden níže:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Začněme důkazem pro derivování goniometrické funkce cos x

Podle prvního principu diferenciace

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

jsou modelové příklady

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(bez h/h) bez x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Pomocí 2 a 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Proto je diferenciace cos x -sin x.

Rozlišení tan(x)

K prokázání derivace tan x použijeme kvocientové pravidlo a některé základní goniometrické vzorce identit a limit. Vzorec goniometrických identit a limitů, který se používá v důkazu, je uveden níže:

1. tan x = hřích x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + hřích²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Začněme důkazem pro derivaci goniometrické funkce tan x

Vzhledem k tomu, že (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Pomocí pravidla podílu

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

.další java

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [o 4 a 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + hřích²x] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [o 3]

⇒ (d/dx) tan x = sec ² X [od 2]

Proto je diferenciace tan x sek ² X.

Diferenciace cosec(x)

K prokázání derivace cosec x použijeme řetězové pravidlo a některé základní trigonometrické vzorce identit a limit. Vzorec goniometrických identit a limitů, který se používá v důkazu, je uveden níže:

1. postýlka x = cos x / hřích x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Začněme důkazem pro derivování goniometrické funkce cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [o 2]

Použití řetězového pravidla

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x postýlka x [o 1 a 2]

Proto je rozlišení cosec x – cosec x cot x.

Diferenciace sec(x)

K prokázání derivace sec x použijeme podílové pravidlo a některé základní trigonometrické identity a limitní vzorec . Vzorec goniometrických identit a limitů, který se používá v důkazu, je uveden níže:

1. tan x = hřích x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Začněme důkazem pro derivování goniometrické funkce sec x

(d/dx) s x = (d/dx) [1 / cos x] [o 2]

Použití řetězového pravidla

(d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (-bez x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x [o 1 a 2]

Proto je diferenciace sek x sek x tan x.

Rozlišení postýlky(x)

K dokázání derivace cot x použijeme kvocientové pravidlo a některé základní goniometrické vzorce identit a limit. Vzorec goniometrických identit a limitů, který se používá v důkazu, je uveden níže:

1. postýlka x = cos x / hřích x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + hřích²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Začněme důkazem pro derivaci goniometrické funkce cot x

Vzhledem k tomu, že (1)

postýlka x = cos x / hřích x

(d/dx) postýlka x = (d/dx)[cosx / hřích x]

Pomocí pravidla podílu

(d/dx) postýlka x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²X

⇒ (d/dx) postýlka x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [o 4 a 5]

⇒ (d/dx) postýlka x = [ -sin²x – cos²x] / hřích²X

⇒ (d/dx) postýlka x = -[ sin²x + cos²x] / hřích²X

⇒ (d/dx) postýlka x = -1 / sin²x [o 3]

⇒ (d/dx) postýlka x = -cosec ² X [od 2]

Proto je diferenciace postýlky x -cosec ² X.

Některé další deriváty spouštěcí funkce

Diferenciace goniometrických funkcí lze snadno provést pomocí řetězového pravidla. Složité goniometrické funkce a složené goniometrické funkce lze řešit aplikací řetězové pravidlo diferenciace. V následujících nadpisech se dále budeme podrobněji zabývat řetězovým pravidlem a diferenciací složených trigových funkcí.

• Diferenciace pomocí Chain Rule
• Diferenciace složené spouštěcí funkce

Proberme tato témata podrobně.

Řetězové pravidlo a goniometrické funkce

Řetězové pravidlo říká, že pokud je p(q(x)) funkcí, pak je derivace této funkce dána součinem derivace p(q(x)) a derivace q(x). K odlišení slouží řetězové pravidlo složené funkce . Řetězové pravidlo se většinou používá ke snadnému rozlišení složených trigových funkcí.

Příklad: Najděte derivaci f(x) = tan 4x

Řešení:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Použitím řetězového pravidla

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sec²4x) (4)

Diferenciace složené spouštěcí funkce

K vyhodnocení diferenciace složených trig funkcí použijeme řetězové pravidlo derivace. Složené trigovací funkce jsou funkce, ve kterých je úhel goniometrické funkce sám funkcí. Derivaci složených goniometrických funkcí lze snadno vyhodnotit použitím řetězového pravidla a derivačních vzorců pro trigonometrické funkce.

Příklad: Najděte derivaci f(x) = cos(x ² +4)

Řešení:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Použitím řetězového pravidla

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Co jsou inverzní goniometrické funkce?

The inverzní goniometrické funkce jsou inverzní funkce goniometrických funkcí. Existuje šest inverzních goniometrických funkcí: hřích^-1, cos^-1, tak^-1, cosec^-1, sec^-1, dětská postýlka^-1. Inverzní goniometrické funkce se také nazývají obloukové funkce.

Diferenciace inverzních goniometrických funkcí

Derivace šesti inverzních goniometrických funkcí jsou následující:

Příklad: Najděte derivaci f(x) = 3sin ^-1 x + 4 cos ^-1 X

Řešení:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4 cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x]+ 4(d/dx) [cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Aplikace na derivování goniometrických funkcí

Existuje mnoho různých aplikací derivace goniometrických funkcí v reálném životě. Následují aplikace derivace goniometrických funkcí.

• Sklon tečny a normály k goniometrické křivce lze určit pomocí derivace goniometrických funkcí.
• Lze jej také použít k určení maxima a minima funkce.
• Používá se také v oblasti počítačů a elektroniky.

Také zkontrolujte

• Derivace inverzního spouštění
• Primitivní
• Diferenciační vzorce

Ukázkové problémy při derivování spouštěcích funkcí

Úloha 1: Najděte derivaci f(x) = tan 2x.

Řešení:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Použitím řetězového pravidla

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sec²2x) (2)

⇒ f'(x) = 2s²2x

Úloha 2: Najděte derivaci y = cos x / (4x ² )

Řešení:

y = cos x / (4x²)

Použití pravidla podílu

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx) (4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Úloha 3: Vyhodnoťte derivaci f(x) = cosec x + x tan x

Řešení:

f(x) = cosec x + x tan x

Použitím vzorce a pravidla produktu

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x postýlka x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x postýlka x + tan x + xsec²X

Úloha 4: Najděte derivaci funkce f(x) = 6x ⁴ cos x

Řešení:

f(x) = 6x⁴cos x

Aplikováním produktového pravidla

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

tučné písmo v css

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-bez x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴bez x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Úloha 5: Vyhodnoťte derivaci: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Řešení:

f(x) = (x + cos x) (1 – hřích x)

Aplikováním produktového pravidla

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – hřích x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – hřích x) (1 – hřích x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – hřích x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²X

Cvičné úlohy z derivování goniometrických funkcí

Problém 1: Najděte derivaci y = sin(x) + cos(x).

Problém 2: Vypočítejte derivaci y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problém 3: Najděte derivaci y = 2sin(3x).

Problém 4: Určete derivaci y = tan(5x).

Problém 5: Najděte derivaci y = sin(x) cos(x).

Problém 6: Vypočítejte derivaci y = cos²(X).

Problém 7: Určete derivaci y = tan²(X).

Problém 8: Určete derivaci y = tan(x) sec(x).

Časté dotazy k diferenciaci goniometrických funkcí

Co je diferenciace?

Diferenciace je matematická operace, která vypočítává rychlost, kterou se funkce mění s ohledem na její nezávislou proměnnou.

Co je to goniometrická funkce?

Goniometrické funkce jsou matematické funkce, které spojují úhly pravoúhlého trojúhelníku s poměry jeho stran.

Co jsou běžné goniometrické funkce?

Mezi běžné goniometrické funkce patří sinus (sin), kosinus (cos), tečna (tan), kosekans (cosec), sečna (sec) a kotangens (cot).

Definujte derivaci goniometrických funkcí.

Metoda derivování goniometrických funkcí se nazývá derivace goniometrických funkcí.

Jak odlišíte funkci sinus, tj. sin (x)?

Derivát sin (x) je cos (x). V matematickém zápisu d/dx(sin(x)) = cos(x).

Co dostaneme po derivaci funkce kosinus, tj. cos (x)?

Derivace cos (x) je -sin (x). V matematickém zápisu d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Jak odlišíte funkci tečny, tj. tan (x)?

Derivace tan(x) je sek²(x), kde sec(x) je funkce sečny. V matematickém zápisu d/dx(tan(x)) = sec²(X).

Jaké jsou vzorce pro derivování goniometrických funkcí?

Vzorec pro derivaci goniometrických funkcí je:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x postýlka x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) postýlka x = -cosec²X

Uveďte jeden příklad derivování goniometrické funkce.

Uvažujme funkci f(x) = 2sin(3x).

Pomocí pravidla řetězu,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos (3x)

Jaké metody se používají k odvození derivace goniometrických funkcí?

Různé způsoby, jakými lze derivaci vzorce goniometrických funkcí odvodit, jsou:

• Použitím prvního principu derivátů
• Pomocí Pravidlo podílu
• Pomocí pravidla řetězu

Co je anti-diferenciace goniometrických funkcí?

Anti-diferenciace goniometrických funkcí znamená nalezení integrace goniometrických funkcí.