Kvocientové pravidlo je metoda pro nalezení derivace funkce, která je podílem dvou dalších funkcí. Je to metoda používaná pro rozlišování problémů, kde je jedna funkce dělena druhou. Kvocientové pravidlo používáme, když musíme najít derivaci funkce ve tvaru: f(x)/g(x).

Seznámíme se s podílovým pravidlem v kalkulu, jeho vzorci a odvozením pomocí řešených příkladů.

Definice kvocientového pravidla

Kvocientové pravidlo je pravidlo diferenciace těch funkcí, které jsou uvedeny ve formě zlomky , kde obojí čitatel a jmenovatel jsou jednotlivé funkce. Kvocientové pravidlo je základní technikou počet pro nalezení derivace funkce, která je kvocientem (poměrem) dvou diferencovatelné funkce . Poskytuje metodu pro rozlišení výrazů, kde je jedna funkce rozdělena druhou.

Předpokládejme, že je nám dána funkce f(x) = g(x)/h(x), pak a derivace f(x), f'(x) se nachází jako,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Vzorec podílového pravidla

Vzorec podílového pravidla je vzorec používaný k nalezení derivace funkce, která je vyjádřena jako podílová funkce. Níže je vzorec kvocientového pravidla,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Kde,

• u(x) je první funkce, která je diferencovatelnou funkcí,
• u'(x) je derivace funkce u(x),
• v(x) je druhá funkce, která je diferencovatelnou funkcí, a
• v'(x) je derivace funkce v(x).

Důkaz podílového pravidla

Pravidlo podílu můžeme odvodit pomocí následujících metod:

• Použití pravidla řetězu
• Použití implicitní diferenciace
• Použití derivačních a limitních vlastností

Nyní se o nich dozvíme podrobně.

Odvození kvocientového pravidla pomocí řetězového pravidla

Dokázat: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Vzhledem k tomu: H(x) = f(x)/g(x)

Důkaz:

H(x) = f(x)/g(x)

náhodný v c

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Pomocí pravidla produktu,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Použití pravidla moci,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

Tím je dokázáno kvocientové pravidlo.

Přečtěte si více:

• Řetězové pravidlo

Odvození kvocientového pravidla pomocí implicitní derivace

Vezměme si diferencovatelnou funkci f(x) takovou, že f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

pomocí pravidla produktu,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Nyní řešení pro f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Dosazením hodnoty f(x) jako, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

Tím je dokázáno kvocientové pravidlo.

Přečtěte si více

• Implicitní diferenciace

Odvození podílového pravidla pomocí derivačních a limitních vlastností

Vezměme si diferencovatelnou funkci f(x) takovou, že f(x) = u(x)/v(x),

Víme, že,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Dosazením hodnoty f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Distribuce limitu,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{101} 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{101} 1/v²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{101} 1/v²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Což je požadované pravidlo podílu.

Přečtěte si více

co je desktopové ini

• Vlastnosti limitů
• Pravidla derivátů

Jak používat kvocientové pravidlo při diferenciaci?

Chcete-li použít pravidlo podílu, postupujte podle následujících kroků:

Krok 1: Jednotlivé funkce zapište jako u(x) a v(x).

Krok 2: Najděte derivaci jednotlivé funkce u(x) a v(x), tj. najděte u'(x) a v'(x). Nyní použijte vzorec podílového pravidla,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Krok 3: Zjednodušte výše uvedenou rovnici a dostanete derivaci f(x).

Tento koncept můžeme pochopit pomocí příkladu.

Příklad: Najděte f'(x), jestliže f(x) = 2x ³ /(x+2)

vzhledem k tomu,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Porovnáním s f(x) = u(x)/v(x) dostáváme

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Nyní rozlišujeme u(x) a v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Pomocí pravidla podílu,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​)/(x + 1)²

Pravidlo produktu a podílu

Pravidlo součinu derivace se používá k nalezení derivace funkce, když je funkce dána jako součin dvou funkcí.

Produktové pravidlo diferenciace říká, že pokud P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Vzhledem k tomu, kvocientové pravidlo diferenciace se používá k diferenciaci funkce, která je reprezentována jako rozdělení dvou funkcí, tj. f(x) = p(x)/q(x).

Potom derivace f(x) pomocí podílové pravidlo se počítá jako,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Musíš číst

• Produktové pravidlo v kalkulu
• Řetězové pravidlo
• Diferenciační a integrační vzorec
• Logaritmická diferenciace
• Základy kalkulu
• Aplikace derivátů

Příklady kvocientových pravidel

Pojďme vyřešit některé vzorové otázky týkající se podílového pravidla.

Příklad 1: Diferencujte old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Řešení:

Funkce Čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné.

Použitím podílového pravidla,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Příklad 2: Diferencujte, f(x) = tan x.

Řešení:

tan x se zapisuje jako sinx/cosx, tj.

tan x = (hřích x) / (cos x)

Funkce Čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné.

java získat aktuální datum

Použitím podílového pravidla,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Příklad 3: Diferencujte, f(x)= e ^X /X ²

Řešení:

Funkce Čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné.

Použitím podílového pravidla,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Příklad 4: Diferencujte, y=frac{cosx}{x^2}

Řešení:

Funkce Čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné.

Použitím podílového pravidla,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Příklad 5: Diferencujte, f(p) = p+5/p+7

Řešení:

Funkce Čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné.

Použitím podílového pravidla,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Problémy s praxí

Zde je několik cvičných problémů v pravidle podílu, které musíte vyřešit.

P1. Najděte derivaci f(x) = (x ² + 3)/(bez x)

P2. Najděte derivaci f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Najděte derivaci f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Najděte derivaci f(x) = (x.sin x)/(x ² )

jak volat metodu v Javě

Kvocientové pravidlo derivátu – FAQ

Co je kvocientové pravidlo diferenciace?

Podílové pravidlo derivace je pravidlo, které se používá k nalezení derivace funkce, která je uvedena v podílovém tvaru, tj. funkce zadaná jako dělení dvou funkcí.

Co je vzorec kvocientového pravidla?

Vzorec poměrového pravidla je,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Tento vzorec udává derivaci funkce, která je reprezentována jako f(x)/g(x).

Jak odvodit vzorec podílového pravidla?

Podílové pravidlo lze odvodit pomocí tří metod,

• Podle derivátových a limitních vlastností
• Implicitní diferenciací
• Řetězovým pravidlem

Jak používat poměrové pravidlo?

Podílové pravidlo se používá k nalezení derivace funkce vyjádřené jako rozdělení dvou funkcí, které zahrnuje všechny funkce tvaru f(x) a g(x) tak, že existuje individuální derivace f(x) a g(x). a g(x) nemůže být nikdy nula.

Jak najdete derivát funkce dělení?

Derivaci funkce dělení snadno najdeme pomocí vzorce kvocientového pravidla, tj. pokud musíme najít derivaci H(x) tak, že H(x) je vyjádřeno jako H(x) = f(x)/g(x) pak jeho derivát je vyjádřen jako,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Co je pravidlo limitu podílu?

Podílové pravidlo pro limity říká, že limita podílových funkcí se rovná podílu limity každé funkce.