Trigonometrické identity jsou různé identity, které se používají ke zjednodušení různých složitých rovnic zahrnujících goniometrické funkce. Trigonometrie je odvětví matematiky, které se zabývá vztahem mezi stranami a úhly trojúhelníku., Tyto vztahy jsou definovány ve formě šesti poměrů, které se nazývají trigonometrické poměry – sin, cos, tan, cot, sec a cosec.

Rozšířeným způsobem se studuje také úhly tvořící prvky trojúhelníku. Logicky, diskuse o vlastnostech trojúhelníku; řešení trojúhelníku a fyzikální úlohy v oblasti výšek a vzdáleností s využitím vlastností trojúhelníku – to vše je součástí studia. Poskytuje také metodu řešení goniometrických rovnic.

Obsah

• Co jsou to trigonometrické identity?
• Seznam trigonometrických identit
• Reciproční trigonometrické identity
• Pythagorejské trigonometrické identity
• Trigonometrické poměrové identity
• Trigonometrické identity opačných úhlů
• Doplňkové identity úhlů
• Doplňkové identity úhlů
• Periodicita goniometrické funkce
• Součtové a rozdílové identity
• Dvojité úhly identity
• Vzorce polovičního úhlu
• Některé další identity polovičního úhlu
• Identity součtu produktů
• Identity produktů
• Vzorce s trojitým úhlem
• Důkaz goniometrických identit
• Vztah mezi úhly a stranami trojúhelníku
• Časté dotazy týkající se goniometrických identit

Co jsou to trigonometrické identity?

Rovnice zahrnující trigonometrické poměry úhlu se nazývá trigonometrická identita, pokud platí pro všechny hodnoty úhlu. Ty jsou užitečné, kdykoli jsou ve výrazu nebo rovnici zahrnuty goniometrické funkce. Šest základních trigonometrických poměrů je sinus, kosinus, tečna, kosekans, sečna a kotangens . Všechny tyto trigonometrické poměry jsou definovány pomocí stran pravoúhlého trojúhelníku, jako je přilehlá strana, protilehlá strana a strana přepony.

Trigonometrické identity

Seznam trigonometrických identit

Ve studiu trigonometrie, která zahrnuje všechny trigonometrické poměry, existuje mnoho identit. Tyto identity se používají k řešení různých problémů v akademickém prostředí i v reálném životě. Naučme se všechny základní a pokročilé goniometrické identity.

Reciproční trigonometrické identity

Ve všech trigonometrických poměrech existuje vzájemný vztah mezi dvojicí poměrů, který je dán takto:

• sin θ = 1/kosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/s θ
• sec θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/dětská postýlka θ
• postýlka θ = 1/tan θ

Pythagorejské trigonometrické identity

Pythagorejské goniometrické identity jsou založeny na Pravo-trojúhelníkovém teorému resp Pythagorova věta , a jsou následující:

• bez²θ + cos²θ = 1
• 1 + tak²θ = sek²i
• cosec²θ = 1 + dětská postýlka²i

Přečtěte si více o Pythagorejské trigonometrické identity .

Trigonometrické poměrové identity

Jako tan a cot jsou definovány jako poměr sin a cos, který je dán následujícími identitami:

• tan θ = sin θ/cos θ
• postýlka θ = cos θ/sin θ

Trigonometrické identity opačných úhlů

Při trigonometrii je úhel měřený ve směru hodinových ručiček měřen v záporné paritě a všechny trigonometrické poměry definované pro zápornou paritu úhlu jsou definovány takto:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-6) = -tan 6
• dětská postýlka (-θ) = -dětská postýlka θ
• sek (-θ) = sek θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Doplňkové identity úhlů

Doplňkové úhly jsou dvojice úhlů, jejichž součet je 90°. Nyní jsou trigonometrické identity pro komplementární úhly následující:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• tan (90° – θ) = postýlka θ
• postýlka (90° – θ) = tan θ
• sec (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sec θ

Doplňkové identity úhlů

Doplňkové úhly jsou dvojice úhlů, jejichž součet tvoří 180°. Nyní jsou trigonometrické identity pro doplňkové úhly:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- 6) = -cos 9
• cosec (180°- 6) = cosec 9
• sek (180°- 6) = -sec 9
• tan (180°- 6) = -tan 9
• postýlka (180°- 6) = - postýlka 0

Periodicita goniometrické funkce

Goniometrické funkce jako sin, cos, tan, cot, sec a cosec jsou všechny periodické povahy a mají různou periodicitu. Následující identity pro trigonometrický poměr vysvětlují jejich periodicitu.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n x 180° + 6) = tan 6
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sek (n × 360° + 6) = sek 9
• sec (2nπ + θ) = sec θ
  
• dětská postýlka (n × 180° + θ) = dětská postýlka θ
• dětská postýlka (nπ + θ) = dětská postýlka θ

Kde, n ∈ S, (Z = množina všech celých čísel)

Poznámka: sin, cos, cosec a sec mají periodu 360° nebo 2π radiánů a pro období opálení a dětská postýlka je 180° nebo π radiánů.

Součtové a rozdílové identity

Trigonometrické identity pro součet a rozdíl úhlu zahrnují vzorce jako sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) atd.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• opálení (A+B) = (opálení A + opálení B)/(1 – opálení A opálení B)
• opálení (A-B) = (opálení A – opálení B)/(1 + opálení A opálení B)

Poznámka: Identity pro hřích (A+B), sin (A-B), cos (A+B) a cos (A-B) se nazývají Ptolemaiovy identity .

Dvojité úhly identity

Pomocí trigonometrických identit součtu úhlů můžeme najít novou identitu, která se nazývá identita dvojitého úhlu. Abychom našli tyto identity, můžeme vložit A = B do součtu identit úhlu. Například,

a víme, hřích (A+B) = hřích A cos B + cos A hřích B

Dosadíme zde A = B = θ na obou stranách a dostaneme:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Podobně,

• cos 2θ = cos ² θ – hřích ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – hřích ² i
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² i)

Přečtěte si více o Dvojité úhly identity .

Vzorce polovičního úhlu

Pomocí vzorců s dvojitým úhlem lze vypočítat vzorce s polovičním úhlem. Chcete-li vypočítat vzorce polovičního úhlu, nahraďte θ za θ/2,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Přečtěte si více o Identity polovičního úhlu .

Některé další identity polovičního úhlu

Kromě výše uvedených identit existuje ještě několik identit s polovičním úhlem, které jsou následující:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Identity součtu produktů

Následující identity uvádějí vztah mezi součtem dvou goniometrických poměrů se součinem dvou goniometrických poměrů.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Identity produktů

Identity produktu se tvoří, když sečteme dvě ze součtu a rozdílu identit úhlu a jsou následující:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Vzorce s trojitým úhlem

Jiné než vzorce pro dvojitý a poloviční úhel existují identity pro trigonometrické poměry, které jsou definovány pro trojitý úhel. Tyto identity jsou následující:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Přečtěte si více o Trojúhelníkové identity .

Důkaz goniometrických identit

Pro jakýkoli ostrý úhel θ to dokažte

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . postýlkaθ = 1
4. bez ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + tak ² θ = sek ² i
6. 1 + dětská postýlka ² θ = kosec ² i

Důkaz:

Uvažujme pravoúhlé △ABC, ve kterém ∠B = 90°

Nechť AB = x jednotek, BC = y jednotek a AC = r jednotek.

Pak,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . postýlkaθ = 1

Pak podle Pythagorovy věty máme

X²+ a²= r².

Nyní,

(4) bez²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= (a²/r²+ x²/r²)

= (x²+ a²)/r²= r²/r²= 1 [x²+ a²= r²]

bez ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + tak²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/X²= (a²+ x²)/X²= r²/X²[X²+ a²= r²]

(r/x)²= sek²i

∴ 1 + opálení ² θ = sek ² i.

(6) 1 + dětská postýlka²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/a²= (x²+ a²)/a²= r²/a²[X²+ a²= r²]

(r²/a²) = cosec²i

∴ 1 + dětská postýlka ² θ = kosec ² i

Vztah mezi úhly a stranami trojúhelníku

Tři pravidla, která spojují strany trojúhelníků s vnitřními úhly trojúhelníků, jsou:

• Jeho Pravidlo
• Kosinové pravidlo
• Pravidlo tečny

Pokud trojúhelník ABC se stranami a, b a c, které jsou stranami opačnými k ∠A, ∠B a ∠C, pak

Jeho Pravidlo

Jeho pravidla uvádí vztah mezi stranami a úhly trojúhelníku, což je poměr strany a sinu úhlu opačného ke straně, který zůstává vždy stejný pro všechny úhly a strany trojúhelníku a je dán takto:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Kosinové pravidlo

Kosinové pravidlo zahrnuje všechny strany a jeden vnitřní úhel trojúhelníku je dán takto:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

NEBO

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

NEBO

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Pravidlo tečny

• Pravidlo tečny také uvádí vztah mezi stranami a vnitřním úhlem trojúhelníku pomocí trigonometrického poměru tan, který je následující:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Také Číst

• Trigonometrie Výška a vzdálenost
• Trigonometrický stůl

Řešený příklad na goniometrické identity

Příklad 1: Dokažte, že (1 – hřích ² θ) sec ² θ = 1

Řešení:

My máme:

LHS = (1 – hřích²θ) sec²i

= cos²θ. sek²i

= cos²θ. (1/kos²i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Proto prokázáno]

Příklad 2: Dokažte, že (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Řešení:

My máme:

LHS = (1 + tan²θ) cos²i

⇒ LHS = sec²θ. cos²i

⇒ LHS = (1/kos²θ). cos²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Proto prokázáno]

Příklad 3: Dokažte, že (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Řešení:

My máme:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = (1 + postýlka²θ – 1) tak²i

⇒ LHS = dětská postýlka²θ. tak²i

⇒ LHS = (1/tan²θ). tak²i

singleton design

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Proto prokázáno]

Příklad 4: Dokažte, že (sek ⁴ θ – sek ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ i)

Řešení:

My máme:

LHS = (sek⁴θ – sek²i)

⇒ LHS = sec²θ(sek²já – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) (1 + tan²já – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) tak²i

⇒ LHS = (tan²θ + tan⁴6) = RHS

∴ LHS = RHS. [Proto prokázáno]

Příklad 5: Dokažte, že √(sec ² θ + kosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

Řešení:

My máme:

LHS = √ (sec²θ + kosec²θ) = √((1 + tan²i) + (1 + postýlka²i))

⇒ LHS = √ (tan²θ + dětská postýlka²já + 2)

⇒ LHS = √ (tan²θ + dětská postýlka²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [Proto prokázáno]

Cvičné otázky o goniometrických identitách

Q1: Zjednodušte výrazfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Prokázat identitu opálení (x) . postýlka(x) = 1.

Q3: Ukaž tofrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Zjednodušitsin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Q5: Prokázat identitucos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Q6: Zjednodušitfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Q7: Prokázat identitusec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Časté dotazy týkající se goniometrických identit

Co je to trigonometrická identita?

Trigonometrická identita je rovnice, která dává do souvislosti různé goniometrické funkce, jako je sin, cos, tan, cot, sec a cosec.

Jak prokázat goniometrické identity?

Existují různé metody pro prokázání goniometrických identit, jednou z nich je použití 6 hlavních trigonometrických známých identit k přepsání výrazu do jiné formy. Jako každý jiný důkaz pracujeme s jednou stranou, abychom došli k výrazu identickému s druhou stranou rovnice.

Kolik trigonometrických identit existuje?

Existuje mnoho trigonometrických identit, protože jakákoli identita může být s určitou variací stále identitou. Proto nemůžeme přesně říci, kolik identit existuje.

Jak si zapamatovat všechny trigonometrické identity?

Nejjednodušší metodou, jak si zapamatovat všechny identity, je procvičit si problémy související s identitou. Pokaždé, když řešíte problém pomocí nějaké identity, revidujete tuto identitu a nakonec se pro vás stane druhou přirozeností.

Napište tři hlavní goniometrické funkce.

Tři hlavní funkce používané v trigonometrii jsou sinus, kosinus a tečna.
sin θ = kolmice/ přepona
cos θ = základ/hypotenza
tan θ = kolmice/základna

Co je Pythagorova věta?

Pythagorova věta uvádí v pravoúhlém trojúhelníku se stranami jako přepona(H), kolmice(P) a základna(B), vztah mezi nimi je dán vztahem,

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Napište použití trigonometrických identit.

Goniometrické identity se používají pro řešení různých problémů zahrnujících složité goniometrické funkce. Používají se k výpočtu vlnových rovnic, rovnice harmonického oscilátoru, řešení geometrických otázek a dalších problémů.

Napište osm základních goniometrických identit.

Osm základních identit v trigonometrii je:

• sin θ = 1/kosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/dětská postýlka θ
• bez²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ tak²θ = sek²i
• postýlka θ = cosθ/sinθ
• 1+ dětská postýlka²θ = kosec²i