Vzorce polovičního úhlu se používají k nalezení různých hodnot goniometrických úhlů jako pro 15°, 75° a další, používají se také k řešení různých goniometrických úloh.

Několik trigonometrických poměrů a identit pomáhá při řešení problémů trigonometrie. Hodnoty trigonometrických úhlů 0°, 30°, 45°, 60°, 90° a 180° pro sin, cos, tan, cosec, sec a cot jsou určeny pomocí trigonometrické tabulky. Poloúhlové vzorce jsou v matematice široce používány, pojďme se o nich podrobně dozvědět v tomto článku.

Obsah

• Vzorce s polovičním úhlem
• Identity polovičního úhlu
• Odvození vzorců polovičního úhlu pomocí vzorců s dvojitým úhlem
• Vzorec polovičního úhlu pro odvození cos
• Vzorec polovičního úhlu pro odvození hříchu
• Vzorec polovičního úhlu pro odvození tan
• Řešené příklady na vzorcích polovičního úhlu

Vzorce s polovičním úhlem

Pro zjištění hodnot úhlů kromě známých hodnot 0°, 30°, 45°, 60°, 90° a 180°. Poloviční úhly jsou odvozeny ze vzorců s dvojitým úhlem a jsou uvedeny níže pro sin, cos a tan:

• sin (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2]^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ sin x

Trigonometrické identity dvouúhlových vzorců jsou užitečné pro odvození vzorců s polovičním úhlem.

Vzorce polovičního úhlu

Identity polovičního úhlu

Poloúhlové identity pro některé populární goniometrické funkce jsou,

• Formule polovičního úhlu hříchu,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Vzorec polovičního úhlu Cos,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Formule polovičního úhlu Tan,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = hřích A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / hřích A

Odvození vzorců polovičního úhlu pomocí vzorců s dvojitým úhlem

Vzorce s polovičním úhlem jsou odvozeny pomocí vzorců se dvěma úhly. Než se budeme učit o vzorcích s polovičním úhlem, musíme se naučit o dvojitém úhlu dovnitř Trigonometrie , nejběžněji používané vzorce s dvojitým úhlem v trigonometrii jsou:

• hřích 2x = 2 hřích x cos x
• cos 2x = cos²x – hřích²X
  = 1 – 2 bez²X
  = 2 cos²x – 1
• opálení 2x = 2 opálení x / (1 – opálení²X)

Nyní ve výše uvedených vzorcích nahradíme x x/2 na obou stranách

• sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos²(x/2) – bez²(x/2)
  = 1 – 2 bez²(x/2)
  = 2 cos²(x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan²(x/2)]

Vzorec polovičního úhlu pro odvození cos

Používáme cos2x = 2cos²x – 1 pro nalezení vzorce polovičního úhlu pro Cos

Do výše uvedeného vzorce vložte x = 2y

cos (2)(y/2) = 2cos²(y/2) – 1

cos y = 2 cos²(y/2) – 1

1 + cos y = 2 cos²(a/2)

2cos²(y/2) = 1 + útulný

cos²(y/2) = (1+ útulný)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ útulný)/2}

Vzorec polovičního úhlu pro odvození hříchu

Používáme cos 2x = 1 – 2sin²x pro nalezení vzorce pro Hřích s polovičním úhlem

Do výše uvedeného vzorce vložte x = 2y

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin²(a/2)

cos y = 1 – 2 sin²(a/2)

2sin²(y/2) = 1 – příjemný

bez²(y/2) = (1 – útulný)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – příjemný)/2}

Vzorec polovičního úhlu pro odvození tan

Víme, že tan x = sin x / cos x tak, že,

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Uvedení hodnot polovičního úhlu pro sin a cos. Dostaneme,

tan(x/2) = ± [(√(1 – příjemný)/2 ) / (√(1+ útulný)/2 )]

tan(x/2) = ± [√(1 – příjemný)/(1+ příjemný) ]

Racionalizace jmenovatele

tan(x/2) = ± (√(1 – útulný)(1 – útulný)/(1+ útulný)(1 – útulný))

tan(x/2) = ± (√(1 – příjemný)²/(1 – cos²a))

tan(x/2) = ± [√{(1 – příjemný)²/( bez²a)}]

tan(x/2) = (1 – útulný)/( kbelík)

Také zkontrolujte

• Aplikace trigonometrie v reálném životě
• Bez vzorců Cos

Řešené příklady na vzorcích polovičního úhlu

Příklad 1: Určete hodnotu sin 15°

Řešení:

Víme, že vzorec pro poloviční úhel sinusu je dán vztahem:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Hodnotu sinus 15° lze nalézt dosazením x jako 30° ve výše uvedeném vzorci

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2)^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0,866)/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0,134/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0,067)^1/2

sin 15° = ± 0,2588

Příklad 2: Určete hodnotu sin 22,5 °

Řešení:

Víme, že vzorec pro poloviční úhel sinusu je dán vztahem:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Hodnotu sinus 15° lze nalézt dosazením x jako 45° ve výše uvedeném vzorci

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± ((1 – 0,707)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,293/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,146)^1/2

sin 22,5° = ± 0,382

Příklad 3: Určete hodnotu tan 15°

Řešení:

Víme, že vzorec pro poloviční úhel sinusu je dán vztahem:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Hodnotu tan 15° lze nalézt dosazením x jako 30° ve výše uvedeném vzorci

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

opálení 15° = ± (1 – 0,866)/ hřích 30

tan 15° = ± (0,134)/ 0,5

tan 15° = ± 0,268

Příklad 4: Určete hodnotu tan 22,5°

Řešení:

Víme, že vzorec pro poloviční úhel sinusu je dán vztahem:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Hodnotu tan 22,5° lze nalézt dosazením x jako 45° ve výše uvedeném vzorci

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (1 – 0,707)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (0,293)/ 0,707

java pole seřazeno

tan 22,5° = ± 0,414

Příklad 5: Určete hodnotu cos 15°

Řešení:

Víme, že vzorec pro poloviční úhel sinusu je dán vztahem:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Hodnotu sinus 15° lze nalézt dosazením x jako 30° ve výše uvedeném vzorci

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2)^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2)^1/2

cos 15° = ± (1,866/ 2)^1/2

cos 15° = ± (0,933)^1/2

cos 15° = ± 0,965

Příklad 6: Určete hodnotu cos 22,5°

Řešení:

Víme, že vzorec pro poloviční úhel sinusu je dán vztahem:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Hodnotu sinus 15° lze nalézt dosazením x jako 45° ve výše uvedeném vzorci

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (0,853)^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

Často kladené otázky o vzorci s polovičním úhlem

Jaké je použití vzorců s polovičním úhlem?

Vzorce polovičního úhlu se používají pro nalezení trigonometrických poměrů poloviny standardních úhlů, jako je 15°, 22,5° a další. Používají se také pro řešení složitých goniometrických rovnic a jsou vyžadovány při řešení integrálů a diferenciálních rovnic.

Co je vzorec polovičního úhlu pro hřích?

Half-Angle vzorec pro hřích je

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Také pro jakýkoli trojúhelník se stranami a, b a c a semiperimetrem je s

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Co je vzorec polovičního úhlu pro kosinus?

Vzorec polovičního úhlu pro cos je

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Také pro jakýkoli trojúhelník se stranami a, b a c a semiperimetrem je s

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Jaký je vzorec pro cos i ?

Pro jakýkoli pravoúhlý trojúhelník s úhlem θ je vzorec, který se používá k výpočtu kosinusu úhlu (θ)

Cos(θ) = sousední / přepona