Vzorce Sin Cos v trigonometrii: Trigonometrie, jak její název napovídá, je studium trojúhelníků. Je to důležité odvětví matematiky, které studuje vztah mezi délkami stran a úhly pravoúhlého trojúhelníku a také pomáhá při určování chybějících délek stran nebo úhlů trojúhelníku. Existuje šest goniometrických poměrů nebo funkcí: sinus, kosinus, tečna, kosekans, sečna a kotangens, kde kosekans, sečna a kotangens jsou reciproční funkce ostatních tří funkcí, tj. sinus, kosinus a tangens.

Trigonometrický poměr je definován jako poměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku. Trigonometrie se používá v různých oblastech našeho každodenního života. Pomáhá určit výšku kopců nebo budov. Používá se také v oborech, jako je kriminologie, stavebnictví, fyzika, archeologie, inženýrství lodních motorů atd.

V tomto článku vše prozkoumáme trigonometrie vzorce většinou sin a cos vzorce s jejich příklady a seznam všech vzorců v trigonometrii.

Obsah

• Vzorce v trigonometrii
• Sinusový vzorec
• Kosinový vzorec
• Některé základní vzorce Sin Cos
• Tabulka vzorců Sin Cos
• Seznam vzorců Sin Cos
• Příklady vzorců Sin Cos
• Procvičte si úlohy na vzorcích Sin Cos v trigonometrii s příklady

Vzorce v trigonometrii

Uvažujme pravoúhlý trojúhelník XYZ, kde ∠Y = 90°. Nechť úhel ve vrcholu Z je θ. Strana přiléhající k θ se nazývá přilehlá strana a strana protilehlá k θ se nazývá protilehlá strana. Přepona je strana protilehlá pravému úhlu nebo nejdelší strana pravého úhlu.

• sin θ = Opačná strana/hypotenuze
• cos θ = Přilehlá strana/hypotenza
• tan θ = Opačná strana/Přilehlá strana
• cosec θ = 1/sin θ = přepona/Protější strana
• sec θ = 1/ cos θ = přepona/Přilehlá strana
• postýlka θ = 1/ tan θ = Přilehlá strana/Protější strana

Sinusový vzorec

Sinus úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr délky protilehlé strany k délce přepony k danému úhlu. Funkce sinus je reprezentována jako sin.

sin θ = Opačná strana/hypotenuze

Kosinový vzorec

Kosinus úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr délky přilehlé strany k délce přepony k danému úhlu. Funkce kosinus je reprezentována jako cos.

jquery po kliknutí

cos θ = Přilehlá strana/hypotenza

Některé základní vzorce Sin Cos

Funkce sinus a kosinus v kvadrantech

• Funkce sinus je kladná v prvním a druhém kvadrantu a záporná ve třetím a čtvrtém kvadrantu.
• Funkce kosinus je kladná v prvním a čtvrtém kvadrantu a záporná ve druhém a třetím kvadrantu.

stupně	Kvadrant	Funkce Znamení sinusu	Znak funkce kosinus
0° až 90°	1. kvadrant	+ (kladné)	+ (kladné)
90° až 180°	2. kvadrant	+ (kladné)	- (negativní)
180° až 270°	3. kvadrant	- (negativní)	- (negativní)
270° až 360°	4. kvadrant	- (negativní)	+ (kladné)

Záporná úhlová identita funkcí sinus a kosinus

• Sinus záporného úhlu je vždy roven zápornému sinu úhlu.

sin (– θ) = – sin θ

• Kosinus záporného úhlu je vždy roven kosinu úhlu.

cos (– θ) = cos θ

Vztah mezi funkcí sinus a kosinus

sin θ = cos (90° – θ)

Reciproké funkce funkcí sinus a kosinus

• Funkce kosekans je reciproká funkce funkce sinus.

cosec θ = 1/sin θ

• Funkce secant je reciproká funkce funkce kosinus.

sec θ = 1/cos θ

Pythagorejská identita

bez ² θ + cos ² θ = 1

Periodické identity funkcí sinus a kosinus

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Vzorce dvojitého úhlu pro funkce sinus a kosinus

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – hřích ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 hřích ² i

Poloúhlové identity pro funkce sinus a kosinus

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Trojité úhlové identity pro funkce sinus a kosinus

sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin ³ i

cos 3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Součtové a rozdílové vzorce

• Funkce sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Funkce kosinus

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Sinusový zákon nebo sinusové pravidlo

Zákon sinusového sinusového pravidla je trigonometrický zákon, který udává vztah mezi délkami stran a úhly trojúhelníku.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Kde a, b a c jsou délky tří stran trojúhelníku ABC a A, B a C jsou úhly.

Zákon kosinusů

Zákon kosinusu kosinusového pravidla se používá k určení chybějících nebo neznámých úhlů nebo délek stran trojúhelníku.

A ² = b ² + c ² – 2 bc cos A

b ² = c ² + a ² – 2 ca cos B

C ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Kde a, b a c jsou délky tří stran trojúhelníku ABC a A, B a C jsou úhly.

Tabulka vzorců Sin Cos

Zde je tabulka/seznam vzorců Sin a Cos pro různé úhly ve stupních a v radiánech:

Seznam vzorců Sin Cos

Příklady vzorců Sin Cos

Úloha 1: Pokud cos α = 24/25, najděte hodnotu sin α.

Řešení:

vzhledem k tomu,

cos α = 24/25

Z pythagorejských identit, které máme;

cos²θ + hřích²θ = 1

(24/25)²+ bez²a = 1

bez²α = 1 – (24/25)²

bez²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

bez²α = (625 – 576)/625 = 49/626

sin α = √49/625 = ±7/25

Tedy sin α = ±7/25.

Úloha 2: Dokažte vzorce sin 2A a cos 2A, pokud ∠A= 30°.

Řešení:

Dáno, ∠A= 30°

Víme, že,

1) sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2(30°) = 2 sin 30° cos 30°

hřích 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Od, hřích 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 a hřích 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S. = R.H.S

2) cos 2A = 2cos²A – 1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Protože cos 60° = 1/2 a cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S. = R.H.S

Tím pádem prokázáno.

Úloha 3: Najděte hodnotu cos x, je-li tan x = 3/4.

Řešení:

Dané, tan x = 3/4

Víme, že,

tan x = protilehlá strana/přilehlá strana = 3/4

K nalezení přepony použijeme Pythagorovu větu:

přepona²= opak²+ sousední²

H²= 3²+ 4²

H²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Nyní cos x = sousední strana/hypotenza

cos x = 4/5

Hodnota cos x je tedy 4/5.

Úloha 4: Najděte ∠C (ve stupních) a ∠A (ve stupních), pokud ∠B = 45°, BC = 15 palců a AC = 12 palců.

Řešení:

Dáno: ∠B = 45°, BC = a = 15 palců a AC = b = 12 palců.

Ze zákona sines, máme

a/sin A = b/sin B = c/sin C

⇒ a/sin A = b/sin B

⇒ 15/sin A = 12/sin 45°

⇒ 15/sin A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sin A = 12√2 = 16,97

⇒ bez A = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = hřích^-1(0,8839) = 62,11°

Víme, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°.

Takže ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Tedy ∠A = 62,11° a ∠C = 72,89°.

Úloha 5: Dokažte identity polovičního úhlu funkce kosinus.

Řešení:

Poloúhlová identita funkce kosinus je:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Z dvojitých úhlových identit máme,

řetězec.hodnota

cos 2A = 2 cos²A – 1

Nyní nahraďte A na obou stranách θ/2

⇒ cos 2(θ/2) = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ 2cos²(θ/2) = cos θ + 1

⇒ cos²(0/2) = (cos 6 + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Tím pádem prokázáno.

Procvičte si úlohy na vzorcích Sin Cos v trigonometrii s příklady

1. Je dán sin⁡ θ = 3/5. Najděte cos θ.

2. Dokažte identitu sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A pro A=45∘.

3. Pokud cos⁡ α = 5/13. Najděte hřích (2a).

4. Řešte pro θ, jestliže sin θ = cos(90∘−θ).

5. Jestliže tan ⁡β = 2. Najděte sin ⁡β a cos⁡ β pomocí pythagorejské identity.

Časté otázky o vzorcích Sin Cos v trigonometrii s příklady

Jaké jsou základní sinusové a kosinové vzorce v trigonometrii?

Základní vzorce sinus a kosinus jsou sin ⁡θ = Opačná/Hypotenza a cos ⁡θ = Přilehlá/Hypotenza, kde θ je úhel v pravoúhlém trojúhelníku.

Jak zjistíte sinus a kosinus speciálních úhlů?

Speciální úhly jako 0°, 30°, 45°, 60° a 90° mají specifické hodnoty sinus a kosinus, které si lze zapamatovat pomocí trigonometrických tabulek nebo konceptů jednotkových kružnic.

Jaký je vztah mezi funkcemi sinus a kosinus?

Funkce sinus a kosinus jsou propojeny identitou sin ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) a Pythagorejská identita bez⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Jak používáte vzorce dvojitého úhlu pro sinus a kosinus?

Vzorce pro dvojitý úhel jsou sin⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ a cos⁡(20)=cos⁡ ² θ – hřích⁡ ² i. Ty se používají k vyjádření goniometrických funkcí dvojitých úhlů pomocí jednoduchých úhlů.

Jak zjistíte hodnoty sinus a kosinus pro úhly v různých kvadrantech?

Znaménka funkcí sinus a kosinus závisí na kvadrantu, ve kterém úhel leží:

• První kvadrant: sin⁡ θ> 0 a cos θ> 0
• Druhý kvadrant: sin ⁡θ> 0 a cos θ <0
• Třetí kvadrant: sin⁡θ <0 a cosθ < 0
• Čtvrtý kvadrant: sin⁡θ 0