Derivace inverzní spouštěcí funkce se týká rychlosti změny inverzní goniometrické funkce. Víme, že derivace funkce je rychlost změny funkce vzhledem k nezávislé proměnné. Než se to naučíte, měli byste znát vzorce derivace goniometrických funkcí. Abychom našli derivaci inverzní goniometrické funkce, nejprve srovnáme goniometrickou funkci s jinou proměnnou, abychom našli její inverzní hodnotu, a poté ji derivujeme pomocí implicitního derivačního vzorce.

V tomto článku se naučíme D derivace inverzních spouštěcích funkcí, vzorce derivování inverzních spouštěcích funkcí, a na jeho základě vyřešte některé příklady. Než se však vydáme vpřed, pojďme si oprášit koncept i inverzní goniometrické funkce a implicitní derivace.

• Inverzní goniometrické funkce
• Co je implicitní diferenciace?
• Co je to derivace inverzních goniometrických funkcí?
• Důkaz derivace inverzních spouštěcích funkcí
• Vzorec inverzní spouštěcí derivace
• Příklady derivátů inverzního spouštění

Inverzní goniometrické funkce

Inverzní goniometrické funkce jsou inverzní funkce trigonometrických poměrů, tj. sin, cos, tan, cot, sec a cosec. Tyto funkce jsou široce používány v oborech, jako je fyzika, matematika, inženýrství a další výzkumné oblasti. Stejně jako sčítání a odčítání jsou navzájem převrácené hodnoty, totéž platí pro převrácené hodnoty goniometrických funkcí.

bez θ = x

⇒ i = s v ⁻¹ X ​

Reprezentace inverzních goniometrických funkcí

Jsou reprezentovány sčítáním oblouk v prefixu nebo přidáním -1 k mocnině.

Inverzní sinus lze zapsat dvěma způsoby:

• bez^-1X
• arcsin x

Totéž platí pro cos and tan.

Poznámka: Nezaměňujte hřích^-1x s (hříchem x)^-1. Jsou rozdílní. Hřích psaní^-1x je způsob, jak zapsat inverzní sinus, zatímco (sin x)^-1znamená 1/sin x.

Oblast inverzních goniometrických funkcí

Víme, že funkce je diferencovatelná pouze tehdy, je-li v tomto bodě spojitá a je-li funkce spojitá v daném bodě, pak je tento bod definičním oborem funkce. Proto bychom se měli naučit definiční obor inverzních goniometrických funkcí pro totéž.

Nyní se krátce naučíme techniku ​​implicitní diferenciace.

Co je implicitní diferenciace?

Implicitní diferenciace je metoda, která využívá řetězové pravidlo k rozlišení implicitně definovaných funkcí. Implicitní funkce je funkce, která obsahuje dvě proměnné spíše než jednu proměnnou. V takovém případě někdy můžeme funkci převést na jednu proměnnou explicitně, ale není tomu tak vždy. Protože obecně není snadné funkci explicitně najít a pak ji rozlišit. Místo toho můžeme zcela diferencovat f(x, y), tj. obě proměnné, a poté vyřešit zbytek rovnice, abychom našli hodnotu f'(x).

Přečtěte si podrobně: Počet v matematice

Co je to derivace inverzních goniometrických funkcí?

Inverzní trigonometrické derivace jsou derivace inverzních goniometrických funkcí. Je jich šest goniometrické funkce a existuje inverzní pro každou z těchto goniometrických funkcí. To jsou hříchy^-1x, cos^-1x, takže^-1x, kosec^-1x, sek^-1x, dětská postýlka^-1X. Derivaci inverzních goniometrických funkcí můžeme najít pomocí metody implicitní derivace. Nejprve se naučíme, jaké jsou derivace inverzních goniometrických funkcí.

• Derivát hříchu^-1x je d(hřích^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) pro všechna x ϵ (-1, 1)
• Derivát cos^-1x je d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) pro všechna x ϵ (-1, 1)
• Derivát tan^-1x je d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) pro všechna x ϵ R
• Derivát cosec^-1x je d(kosec^-1x)/dx = -1/ pro všechna x ϵ R – [-1, 1]
• Derivát sec^-1x je d (sec^-1x)/dx = 1/x pro všechna x ϵ R – [-1, 1]
• Derivát dětské postýlky^-1x je d (dětská postýlka^-1x)/dx = -1/(1 + x²) pro všechna x ϵ R

Obrázek inverzní trigonometrické derivace je připojen níže:

Nyní jsme se naučili, jaké jsou derivace všech šesti inverzních goniometrických funkcí, nyní se naučíme, jak najít derivaci šesti inverzních trigonometrických funkcí.

Důkaz derivace inverzních spouštěcích funkcí

Inverzní goniometrické funkce můžeme diferencovat pomocí prvního principu a také pomocí implicitního derivačního vzorce, který také zahrnuje použití řetězového pravidla. Najít derivaci inverzních goniometrických funkcí pomocí prvního principu je zdlouhavý proces. V tomto článku se naučíme, jak derivovat inverzní goniometrické funkce pomocí implicitní derivace. Pomocí následujících kroků můžeme najít derivaci (dy/dx) inverzních spouštěcích funkcí

Krok 1: Předpokládejme goniometrické funkce ve tvaru sin y = x

Krok 2: Najděte derivaci výše uvedené funkce pomocí implicitní derivace

Krok 3: Vypočítejte dy/dx

Krok 4: Nahraďte hodnotu goniometrické funkce přítomnou v kroku 3 pomocí goniometrických identit.

Derivace sin inverzní x

Předpokládejme sin y = x

Rozlišení obou stran vzhledem k x

⇒ cos and. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Protože víme, že Sin²a + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – hřích²a

připojit k databázi java

⇒ útulný = √(1 – hřích²y) = √(1 – x²) protože máme sin y = x

Uvedení této hodnoty cos y do rovnice (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²), kde y = hřích^-1X

Derivace cos inverzní X

Předpokládejme cos y = x

Rozlišení obou stran vzhledem k x

⇒ -bez a. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Protože víme, že Sin²a + Cos²y = 1

⇒ bez²y = 1 – cos²a

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) protože máme cos y = x

Uvedením této hodnoty sin y do rovnice (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²), kde y = cos^-1X

Derivace tan inverze X

Předpokládejme tan y = x

Rozlišení obou stran vzhledem k x

⇒ sec²y dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec²a →(i)

Protože víme, že sec²a tak²y = 1

⇒ sec²y = 1 + tan²a

⇒ sec²y = (1 + tan²y) = (1 + x²), protože máme tan y = x

Uvedením této hodnoty sec²y v rovnici (i)

dy/dx = 1/(1 + x²), kde y = tan^-1X

Derivace inverzní X

Předpokládejme cot y = x

Rozlišení obou stran vzhledem k x

⇒ -cosec²y dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²a →(i)

Protože víme, že csec²a – dětská postýlka²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + dětská postýlka²a

⇒ cosec²y = (1 + postýlka²y) = (1 + x²) protože máme cot y = x

Uvedením této hodnoty cosec²y v rovnici (i)

dy/dx = -1/(1 + x²), kde y = dětská postýlka^-1X

Derivace sec inverzní X

Předpokládejme sec y = x

Rozlišení obou stran vzhledem k x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec y.tan y →(i)

Protože víme, že sek²a tak²y = 1

⇒ tak²y = sek²a – 1

⇒ tan y = √ (sec²y – 1) = √(x²– 1) protože máme sec y = x

Uvedením této hodnoty tan y do rovnice (i)

dy/dx = 1/x, kde sec y = x a y = sec^-1X

Derivát cosec inverzní X

Předpokládejme cosec y = x

Rozlišení obou stran vzhledem k x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Protože víme, že cosec²a – dětská postýlka²y = 1

⇒ dětská postýlka²y = kosec²a – 1

⇒ postýlka y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1)protože máme cosec y = x

Uvedením této hodnoty tan y do rovnice (i)

dy/dx = -1/x kde cosec y = x a y = cosec^-1X

Vzorec inverzní spouštěcí derivace

Nyní jsme se naučili, jak derivovat inverzní goniometrické funkce, a proto se nyní podíváme na vzorce pro derivaci inverzních goniometrických funkcí, které lze přímo použít v úlohách. Níže je uvedena tabulka derivace vzorce inverzní goniometrické funkce.

Přečtěte si více,

kolik milionů je v miliardě

• Derivace v parametrické formě
• Odvozovací vzorce
• Aplikace derivátu
• Derivace exponenciální funkce

Příklady derivátů inverzního spouštění

Příklad 1: Rozlišujte hřích ^-1 (X)?

Řešení:

Nechat, a = bez ⁻¹( X )

Vezmeme-li sinus na obou stranách rovnice,

sin y = hřích (hřích^-1X)

Podle vlastnosti inverzní trigonometrie víme, sin(sin^-1x) = x

hřích y = x

Nyní rozlišíme obě strany wrt na x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Můžeme to více zjednodušit pomocí níže uvedeného pozorování:

bez²a + cos²y = 1

X²+ cos²y = 1 {Jako hřích y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Dosazením hodnoty dostaneme

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Příklad 2: Diferencujte cos ^-1 (X)?

Řešení:

Nechat,

a = cos⁻¹( X )

Vezmeme-li kosinus na obou stranách rovnice,

cos y = cos(cos^-1X)

Podle vlastnosti inverzní trigonometrie víme, cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Nyní rozlišíme obě strany wrt na x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Můžeme to více zjednodušit pomocí níže uvedeného pozorování:

bez²a + cos²y = 1

bez²y + x²= 1 {Jako cos y = x}

bez²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Dosazením hodnoty dostaneme

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Příklad 3: Rozlišení opálení ^-1 (X)?

Řešení:

Nechat, a = tak⁻¹( X )

Opálení na obou stranách rovnice dává,

tan y = tan(tan^-1X)

Podle vlastnosti inverzní trigonometrie známe tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Nyní rozlišíme obě strany wrt na x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sec²X

Můžeme to více zjednodušit pomocí níže uvedeného pozorování:

sek²a tak²y = 1

sek²y–x²= 1

sek²y = 1 + x²

Dosazením hodnoty dostaneme

dy/dx = 1/sec²a

dy/dx = 1/(1 + x²)

Příklad 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Najděte dy/dx v x = 1/2?

Řešení:

Metoda 1 (Použití implicitní diferenciace)

vzhledem k tomu, a = cos ⁻¹(-2 X ²)

⇒ cos a = -2 X ²

Rozlišení obou stran wrt x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Zjednodušení

bez²a + cos²y = 1

bez²a + (-2x²)²= 1 {Jako cos y = -2x²}

bez²y + 4x⁴= 1

bez²y = 1 – 4x⁴

sin y = √ (1 – 4x⁴)

Vložením získané hodnoty dostaneme,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Metoda 2 (Použití řetězového pravidla, protože známe derivaci cos inverze x)

vzhledem k tomu, a = cos ⁻¹(-2 X ²)

Rozlišení obou stran wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Příklad 5: Diferencujte egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Řešení:

Nechat,

dělat, zatímco Java

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Rozlišení obou stran wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Otázky týkající se inverzního spouštění

Vyzkoušejte následující otázky o otázkách odvozených od inverzního spouštění

Q1: Rozlišujte hřích ^-1 (3x - 4x ³ ) pro x ϵ -1/2