logo

TechCodeview

Nastavit symboly

Symboly množin jsou souhrnný termín používaný pro všechny symboly používané v teorii množin, což je odvětví matematiky, které se zabývá shromažďováním objektů a jejich různými vlastnostmi. Sada je dobře definovaná kolekce objektů, kde každý objekt v kolekci se nazývá prvek a každý prvek sady se řídí velmi specifickým pravidlem. Obecně se velké písmeno anglických abeced používá k označení množin a některá písmena označují některé specifické množiny v teorii množin.

V celém studiu tohoto odvětví matematiky se používá mnoho symbolů, některé z běžných symbolů jsou {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø atd. Všechny tyto symboly podrobně probereme v článku včetně historie těchto symbolů. Začněme tedy naši cestu poznávání různých různých symbolů množin používaných v teorii množin.



Set-Symboly

Obsah

Co jsou symboly sady?

Symboly sady jsou základními stavebními kameny matematiky, které se používají k reprezentaci a popisu skupin objektů, čísel nebo položek, které mají podobné vlastnosti. Tyto symboly nabízejí jasný a konzistentní přístup ke sdělování obtížných představ o množinách a jejich interakcích. Nejtypičtějším symbolem sady je ∈, což znamená členství a vyslovuje se tak, jak patří. ∈ označuje, že prvek je součástí konkrétní množiny.

Naproti tomu ∉ znamená, že prvek není součástí množiny. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ atd. jsou některé z běžných příkladů symbolů v teorii množin. Tyto a další symboly umožňují matematikům definovat operace, specifikovat operace a formulovat přesná matematická tvrzení, čímž položí základy pro různé matematické speciality a praktické využití.



Přečtěte si více o Teorie množin .

Příklad sady symbolů

Pro ilustraci použijme symbol, který znamená průnik množin. Nechť E a F jsou dvě množiny takové, že množina E = {1, 3, 5, 7} a množina F = {3, 6, 9}. Potom symbol ∩ představuje průsečík mezi oběma množinami, tj. E ∩ F.

Zde E ∩ F obsahuje všechny prvky, které jsou společné v obou množinách E a F, tj. {3}.



Závěrem, symbol ∩ se používá k identifikaci prvků, které jsou sdíleny dvěma nebo více množinami. Průnik vytváří pouze množiny, které mají prvky sdílené všemi množinami, které se protínají.

Dozvědět se víc o Průnik množin .

Historie nastavených symbolů

V letech 1874 až 1897 volal německý matematik Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor vyvinul abstraktní teorii s názvem Teorie množin. Navrhl to při zkoumání některých faktických problémů zahrnujících specifické formy nekonečných souborů reálných čísel. Množina je podle pojmu seskupení určitých definovaných a odlišných objektů pozorování. Všechny tyto věci se označují jako členové nebo součásti sady. Vlastnost skutečných kombinací algebraických čísel je základem Cantorovy teorie.

Základní pojmy sady symbolů

V teorii množin se na různých úrovních vzdělávání probírají různé myšlenky. Mezi základní pojmy patří reprezentace množin, typy množin, operace množin (jako je sjednocení a průnik), mohutnost množin a vztahy atd. Některé ze základních pojmů v teorii množin jsou následující:

Univerzální sada

Velké písmeno „U“ se běžně používá k označení univerzální sady. To je také příležitostně symbolizováno ε (epsilon). Je to sada, která obsahuje všechny prvky jiných sad i své vlastní.

Doplněk sady

Doplněk sady obsahuje všechny součásti univerzální sady kromě prvků zkoumané sady. Pokud je A množina, pak její doplňky budou obsahovat všechny členy zadané univerzální množiny (U), které nejsou zahrnuty v A. Doplněk sady je označen nebo vyjádřen jako A' nebo ACa je definován jako:

A’= {x ∈ U: x ≠ A}

Přečtěte si více o Doplněk sady .

Nastavit zápis tvůrce

Notace Set Builder je metoda, jak reprezentovat množiny takovým způsobem, že tam, kde nepotřebujeme vypisovat všechny prvky množiny, stačí zadat pravidlo, kterým se řídí všechny prvky množiny. Některé příklady těchto zápisů jsou:

Jestliže A je sbírka reálných čísel.

A = {x : x ∈ R}

Jestliže A je sbírka přirozených čísel.

A = {x : x> 0 a x ∈ Z]

Kde S je množina celých čísel.

Přečtěte si více, Zastoupení množin .

Nastavit symboly v matematice

K označení různých věcí a částek používá symbol sady často předdefinovaný seznam variabilních symbolů. Abyste mohli číst a vytvářet množinový zápis, musíte nejprve pochopit, jak používat symboly v různých situacích. Podívejme se na všechny zápisy teorie množin a symboly vztahující se k operacím, relacím atd., spolu s jejich významy a příklady v této kategorii.

Symboly používané v číselné soustavě

Symboly používané v číselných systémech jsou uvedeny v tabulce níže:

Symbol název Význam/Definice Příklad
W nebo 𝕎 Celá čísla Toto jsou přirozená čísla.

Známe N = {1, 2, 3, . . . }

1 ∈ N
N nebo ℕ Přirozená čísla Přirozená čísla se někdy označují jako čísla, která začínají 1.

Známe W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }

0 ∈ W
Z nebo ℤ Celá čísla Celá čísla jsou srovnatelná s celými čísly, kromě toho, že zahrnují také záporné hodnoty.

Známe Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . .}

-6 ∈ Z
Q nebo ℚ Racionální čísla Racionální čísla jsou ta, která jsou uvedena jako a/b. V tomto případě jsou a a b celá čísla s b ≠ 0.

Q= x=a/b, a, b ∈ Z a b ≠ 0

2/6 ∈ Q

P nebo ℙ

Iracionální čísla

Ta čísla, která nemohou být reprezentována ve tvaru a/b, se nazývají iracionální čísla, tj. všechna reálná čísla, která nejsou racionální.

zarovnat css obrázek

P = x

π a ∈ P
R nebo ℝ Skutečná čísla Celá čísla, racionální čísla a iracionální čísla tvoří reálná čísla.

R = x

6,343434 ∈ R
C nebo ℂ Komplexní čísla Komplexní číslo je kombinací reálného a imaginárního čísla. C= z = a + bi, a, b ∈ R

6 + 2 i ∈ C

Sada teorie symbolů

Oddělovače jsou speciální znaky nebo sekvence znaků, které označují začátek nebo konec určitého příkazu nebo těla funkce zadané sady. Následují symboly a významy teorie množin oddělovačů:

Symbol název Význam/Definice Příklad
{} Soubor V těchto závorkách je hromada prvků/čísel/abeced v sadě. {15, 22, c, d}
| Takové to Ty se používají ke konstrukci sady určením toho, co je v ní obsaženo.

q> 6

Příkaz specifikuje sbírku všech q tak, že q je větší než 6.
: Takové to Místo znaku | se někdy používá symbol : symbol. Výše uvedená věta může být alternativně zapsána jako q .

Množiny a relační symboly v teorii množin

Symboly teorie množin se používají k identifikaci konkrétní množiny a také k určení/zobrazení vztahu mezi odlišnými množinami nebo vztahy uvnitř množiny, jako je vztah mezi množinou a její složkou. Níže uvedená tabulka zobrazuje tyto vztahové symboly spolu s jejich významy a příklady:

Symbol název Význam/Definice Příklad
a ∈ A Je součástí To určuje, že prvek je členem konkrétní sady. Pokud množina A={12, 17, 18, 27}, můžeme říci, že 27 ∈ a.
b ∉ B Není součástí To znamená, že prvek nepatří do konkrétní sady. Je-li množina B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, pak žádný jiný prvek než ten v množině do této množiny nepatří. Například 18 ∉ B.
A = B Vztah rovnosti Poskytnuté sady jsou ekvivalentní v tom smyslu, že mají stejné komponenty. Pokud dáte P={16, 22, a} a Q={16, 22, a}, pak P=Q.
A ⊆ B Podmnožina Když jsou všechny položky A přítomny v B, A je podmnožinou B.

A= {31, b} a B={a, b, 31, 54}

{31, b} ⊆ {a, b, 31, 54}
A ⊂ B Správná podmnožina O P se říká, že je vlastní podmnožinou B, když je podmnožinou B a nerovná se B.

A= {24, c} a B={a, c, 24, 50}

A ⊂ B
A ⊄ B Není podmnožinou V důsledku toho množina A není podmnožinou množiny B.

A = {67,52} a B = {42,34,12}

A ⊄ B
A ⊇ B Superset A je nadmnožinou B, pokud je množina B podmnožinou A. Sada A může být stejná nebo větší než množina B.

A = {14, 18, 26} a B = {14, 18, 26}

{14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26}
A ⊃ B Správná Superset Sada A má více prvků než množina B, protože je nadmnožinou B. {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26}
A ⊅ B Ne Superset Když všechny prvky B nejsou přítomny v A, A není skutečnou nadmnožinou B.

A = {11, 12, 16} a B = {11, 19}

{11, 12, 16} ⊅ {11, 19}
Ó Prázdná sada Prázdná nebo nulová množina je taková, která neobsahuje žádné prvky. {22, y} ∩ {33, a} = Ø
V Univerzální sada Sada, která obsahuje prvky ze všech relevantních sad, včetně svých vlastních. Jestliže A = {a,b,c} a B = {1,2,3,b,c}, pak U = {1,2,3,a,b,c}
|A| nebo n{A} Mohutnost souboru Mohutnost se týká počtu položek v konkrétní sbírce. Pokud A= {17, 31, 45, 59, 62}, pak |A|=5.
P(X) Power Set Mocninná množina je množina všech podmnožin množiny X, včetně samotné množiny a nulové množiny.

Pokud, X = {12, 16, 19}

P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}}

Symboly založené na operátorech v teorii množin

Na příkladech budeme studovat symboly a významy teorie množin pro četné operace, jako je sjednocení, doplnění, průnik, rozdíl a další.

Symbol název Význam/Definice Příklad
A ∪ B Unie množin Spojení sad vytvoří zcela novou sadu kombinací všech komponent v poskytnutých sadách.

A = {p, q, u, v, w}

Kat timpf

B = {r, s, x, y}

A ∪ B (A unie B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y}
A ∩ B Průnik množin V průsečíku je zahrnuta společná složka obou souborů.

A = { 4, 8, a, b} a B = {3, 8, c, b}, pak

A ∩ B = {8, b}
XCNEBOX' Doplnění sady Doplněk sady obsahuje všechny věci, které do dodávané sady nepatří.

Pokud A je univerzální množina a A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} a B = {13, 15, 17, 18, 19}, pak

X' = ​​A – B

⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24}
A - B Nastavit rozdíl Rozdílová sada je sada, která obsahuje položky z jedné sady, které se nenacházejí v jiné.

A = {12, 13, 15, 19} a B = {13, 14, 15, 16, 17}

A – B = {12, 19}
A × B Kartézský součin množin Kartézský součin je součin objednaných komponentů sad.

A = {4, 5, 6} a B = {r}

Nyní A × B = {(4, r), (2, r), (6, r)}
A ∆ B Symetrický rozdíl množin A Δ B = (A – B) U (B – A) značí symetrický rozdíl.

A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31}

A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31}

Přečtěte si více

  • Typy sad
  • Provoz na sadách

Řešené příklady na Set Symbols

Příklad 1: Jsou-li dány dvě množiny s P={21, 32, 43, 54, 65, 75} a Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}, jaká je hodnota P∪Q?

Odpovědět:

P={21, 32, 43, 54, 65, 75} a Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}

P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}

Příklad 2: Jaká je hodnota |Y| pokud Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?

Odpovědět:

|Y| = Mohutnost množiny=počet prvků v množině je řešením.

|Y| = n(Y)=6, protože množina Y má 6 prvků.

Příklad 3: Jsou-li dány dvě množiny s hodnotami P={a,c,e} a Q={4,3}, určete jejich kartézský součin.

Odpovědět:

Kartézský součin = P × Q

Pokud P={b, d, f} a Q={5, 6}

Pak P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}

Příklad 4: Předpokládejme P = {x: x je přirozené celé číslo a násobek 24 a Q = {x: x je přirozené číslo menší než 8}. Určete P ∪ Q.

Odpovědět:

Vzhledem k tomu

P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

usa kolik měst

Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

V důsledku toho P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}

Příklad 5: Předpokládejme P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Najít (P ∩ Q)“.

Odpovědět:

Dané, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}

P ∩ Q = {4}

Proto,

(P ∩ Q)‘ = {3, 5, 6, 7, 8}

Příklad 6: Pokud P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} a Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, určete

(i) P-Q a (ii) P-Q.

Odpovědět:

vzhledem k tomu,

P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} a Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}

(i) P – Q = {4, 8, 10}

(ii) Q – P = {3, 12, 14}

Cvičné otázky pro sadu symbolů

Otázka 1: Vzhledem k sadám:

  • A = {2, 4, 6, 8}
  • B = {4, 8, 12, 16}

Určete prvky ve sjednocení množin A a B.

Otázka 2: Podívejme se na sady:

  • X = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Y = {3, 4, 5, 6, 7}

Najděte průsečík množin X a Y.

Otázka 3: Předpokládejme, že máte sady:

  • P = {a, b, c, d}
  • Q = {c, d, e, f}

Vypočítejte prvky v množině P – Q a také Q – P.

Otázka 4: Řekněme, že máte sady:

  • U = {1, 2, 3, 4, 5}
  • V = {4, 5, 6, 7}

Zjistěte, zda je množina V podmnožinou množiny U.

Otázka 5: Zvažte sady:

  • S = {jablko, banán, pomeranč, hruška}
  • T = {hruška, mango, třešeň}

Najděte kartézský součin množin S a T.

Otázka 6: Předpokládejme, že máte univerzální sadu:

  • U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}

A sady:

  • E = {b, d, f, h, j}
  • F = {a, c, e, g, i}

Vypočítejte doplněk množiny E a F vzhledem k univerzální množině U.

Často kladené otázky o nastavení symbolů

1. Definujte symbol sady.

Symbol množiny je větev, která studuje seskupení entit/čísel/objektů, jejich vztahy s jinými množinami, různé operace (sjednocení, průnik, doplněk a rozdíl) a související funkce.

2. Co představuje tento symbol ⊆?

Symbol ⊆ znamená, že je podmnožinou. Podmnožina je sada, jejíž položky byly přidány, jako by byly všechny prvky jiné sady.

3. Co znamená ∪ v množinách?

„∪“ je znak pro množinové spojení. A ∪ B je množina, která obsahuje všechny prvky množin A a B.

4. Co představuje P = Q?

Pokud se množina P rovná množině Q, pak jsou členy P a Q stejné. Například:

P = {4,5,6} a Q = {6,5,4}

Výsledkem je, že P = Q.

5. Co v matematice znamená ∩?

„∩“ znamená spojení dvou množin. A ∩ B je sada, která obsahuje položky sdílené jak A, tak B.

6. Co je ∈ v množinách?

∈ je znak, který znamená „patří k“. Jestliže b ∈ B, znamená to, že b je prvkem B.

7. Jaká je množina N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} známý jako?

Množina přirozených čísel je definována jako N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Obsahuje všechna kladná čísla od 1 do nekonečna. Tato sbírka je klíčová pro matematiku a poskytuje rámec pro řazení i počítání.

8. Co je A × B v množinách?

Kartézský součin množin A a B je v symbolu množiny znázorněn jako A x B. Je to sada, která obsahuje všechny možné uspořádané páry, ve kterých je první prvek tažen ze sady A a druhý ze sady B.

9. Jak budete číst A ∩ B?

A∩B se vyslovuje A průnik B. Zkratka pro množinu, která obsahuje prvky společné v obou množinách.

10. Co znamená Ø v Teorii množin?

V teorii množin se myšlenka prázdné množiny, která nemá žádné položky, označuje symbolem Ø (vyslovuje se prázdná množina).

11. Co je AUB?

AUB v matematice znamená sjednocení množin A a B. Vztahuje se k množině, která obsahuje každý prvek z obou množin A a B.

12. Je ∅ stejné jako {}?

Ano, ∅ a {} oba představují prázdnou množinu v matematice. Oba jsou tedy odlišným zápisem stejné věci.