Podmnožiny v matematice jsou základním konceptem ve studiu teorie množin, podobně jako množiny. Skupina prvků, objektů nebo členů uzavřených ve složených závorkách, jako je {x, y, z}, se nazývá Soubor , kde je každý člen sady jedinečný. Takže pro množinu {x, y, z} jsou možné podmnožiny {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} nebo { x, y, z}. Při definování množiny mohou být jejími prvky reálná čísla, konstanty, proměnné nebo jakékoli jiné objekty.

Tento článek podrobně zkoumá koncept podmnožin a usnadňuje jej uchopení všem čtenářům článku bez ohledu na jejich akademickou úroveň. Všechna podtémata, jako je jejich význam, definice, symbol, příklad a mnoho dalších, jsou v článku pokryta spoustou příkladů. Začněme tedy naši cestu do země teorie množin a pochopíme tento koncept podmnožin.

V tomto článku jsme poskytli podrobné informace o co jsou podmnožiny v matematice, nadmnožiny v matematice, správná podmnožina a nesprávná podmnožina s příklady a často kladenými dotazy.

Obsah

• Co jsou podmnožiny v matematice?
• Příklad podmnožin
• Výkonová sada sady
• Typy podmnožin
• Správná podmnožina
• Nesprávná podmnožina
• Správné a nesprávné podmnožiny
• Podmnožiny vs nadmnožiny

Co jsou podmnožiny v matematice?

Množina „A“ je podmnožinou množiny „B“, pokud všechny prvky množiny A spadají pod množinu B. Podmnožina se také může rovnat množině v konkrétním případě, když jsou všechny prvky podmnožiny obsaženy v množině. soubor.

Abychom lépe porozuměli podmnožině, uvažujme, že množina A je sbírka lichých čísel a množina B se skládá z {1,3,5}, takže zde B je podmnožina A a A je nadmnožina B.

Například: Pokud množina A obsahuje {jablko, banán} a množina B obsahuje {všechno ovoce}, pak A je podmnožinou B.

Uvažujme ještě jeden příklad pro lepší pochopení.

Příklad: Určete, která je podmnožina a která nadmnožina, jestliže A = {a, e, i, o, u} a B = { Všechny abecedy}.

Odpovědět:

np.argmax

Zde A obsahuje všechny prvky samohlásek, které jsou součástí abecedy. Takže zde A je podmnožinou B a B je nadmnožinou A.

Definice podmnožiny

Matematicky se předpokládá, že množina A je podmnožinou množiny B, pokud všechny složky množiny A existují také v množině B. Podmnožina je tedy podskupinou jakékoli množiny. Sada A je jinými slovy obsažena v sadě B.

Například: Pokud množina A = {1, 2, 3} a množina B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pak můžeme říci, že množina A je podmnožinou množiny B, protože všechny prvky v množině A jsou dostupné. v sadě B.

Význam podmnožiny

Množina, jejíž prvky jsou všechny prvky inkluzivní množiny, je významem podmnožiny. Uvažujme množinu X takovou, že X obsahuje jména všech řek země. Další sada Y obsahuje názvy řek ve vaší severní Indii. Zde y bude podmnožinou x, protože všechny řeky v severní Indii by byly také řekami naší země; Y je tedy podmnožinou X. Existuje pouze určitý počet odlišných nebo jedinečných podmnožin pro jakoukoli množinu, proto jsou zbývající irelevantní a opakují se.

Příklad: Vypište všechny podmnožiny množiny Q = {1, 2, 3}.

Odpovědět:

Podmnožiny Q jsou { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} a {1, 2, 3}

Symbol podmnožiny

Podmnožina je označena symbolem a čtena jako „je podmnožinou“. teorie množin . Podmnožina je reprezentována symbolem daným ⊆. Podmnožiny lze vyjádřit pomocí tohoto symbolu takto:

A ⊆ B to znamená, že sada A je podmnožinou sady B.

mycricketlive

Příklad podmnožin

Jediná potřeba, aby množina A byla podmnožinou množiny B, je, aby každý prvek A byl přítomen v B. Zde jsou některé příklady podmnožin založených na tomto.

• A = {2, 3, 10} je podmnožinou B = {1, 2, 3, 4, 10},
• P = Sada všech prvočísel je podmnožinou N = Sada všech přirozených čísel a
• X = {a, e, i, o ,u} jsou sbírkou samohlásek a jsou podmnožinou Y = množina všech abeced .

Stojí za zmínku, že každá množina je podmnožinou sebe sama, stejně jako prázdná množina ().

Příklad: Může být null Set podmnožinou libovolné množiny?

Odpovědět:

Null je podmnožinou každé množiny. Standardně považujeme tuto skutečnost za to, že celá sada obsahuje prvek zvaný null set.

Podmnožiny reálného čísla

Reálná čísla, která lze vyjádřit jako desetinná čísla, spadají do různých kategorií. Ze své každodenní existence již bezpochyby znáte zlomky, desetinná místa a počítání čísel. Následující čísla jsou považována za podmnožinu reálných čísel:

• Racionální čísla : Jakékoli číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, p/q, kde p a q jsou obě kladná celá čísla. Jedná se o neukončující, opakující se desetinná místa a koncová desetinná místa v desítkovém tvaru. Př: -5/9, 1/8
• Iracionální čísla : Tato čísla nekončí ani se neopakují, jsou-li vyjádřena v desítkovém tvaru. Příklad: e.
• Celá čísla : Všechna počítací čísla, včetně nuly a jejich protikladů. Příklad: -2,-1,0,3
• Celá čísla : Nula a všechna kladná čísla. Př- 0, 2, 500
• Přirozená čísla : Všechna kladná čísla. Př- 1,2,40

Příklad: Do kterých podmnožin reálných čísel patří -5?

Odpovědět:

-5 je racionální číslo a celé číslo.

Výkonová sada sady

sada napájecí sada sestává z každé podmnožiny, stejně jako původní množiny a prázdné množiny. P(A) znamená mocninnou množinu dané množiny A. Pokud například A = {1, 2}, pak P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Zde můžeme jasně vidět, že všechny podmnožiny A jsou obsaženy v P(A), tj. mocninné množině A.

Počet podmnožin sady

Pro jakoukoli množinu A je počet seuset dán pomocí následujícího vzorce

Počet podmnožin = 2 ⁿ

Kde n je počet prvků v sadě.

Protože mocninná množina obsahuje všechny podmnožiny libovolné množiny, tak pro množinu A, která má ‚n‘ prvků, má P(A) 2ⁿPrvky.

Příklad: Kolik prvků mocninné množiny lze vytvořit, pokud jsou v množině čtyři prvky?

Odpovědět:

Počet prvků výkonové sady se třemi prvky jsou 2⁴= 16.

Typy podmnožin

Existují dva typy podmnožin, které jsou:

• Správná podmnožina
• Nesprávná podmnožina

Proberme tyto typy podrobně následovně:

Správná podmnožina

A správná podmnožina obsahuje pouze několik členů původního souboru. Správná podmnožina se nikdy nemůže rovnat původní množině. Ve správné podmnožině je vyloučena podmnožina tvořící původní sadu.

Správný symbol podmnožiny

Správná podmnožina je označena ⊂,

Vlastní podmnožinu pro množinu A a množinu B můžeme vyjádřit jako;

A ⊂ B

Příklad správných podmnožin

Nechť množinu A = {1, 3, 5}, pak vlastní podmnožiny A jsou {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Také {1, 3, 5} je podmnožinou A, ale není správnou podmnožinou A.

Správný vzorec podmnožiny

Počet vlastních podmnožin množiny s „n“ prvky je 2ⁿ- 1.

Příklad: Množina obsahuje 3 prvky, jaký bude počet vlastních podmnožin?

Odpovědět:

Počet správných podmnožin = 2ⁿ- 1

Zde n = 3

N = 2³– 1 = 7

kali linuxové příkazy

Nesprávná podmnožina

An nevhodná podmnožina obsahuje obsahuje jak nulovou sadu, tak každý člen počáteční sady. Nesprávná podmnožina se může rovnat původní sadě. V nesprávné podmnožině je zahrnuta podmnožina tvořící původní sadu. To je znázorněno symbolem ⊆ .

Příklad: Jaká bude nevlastní podmnožina množiny A = {1, 3, 5}?

Odpovědět:

Nesprávná podmnožina: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} a {1,3,5}

Nesprávný vzorec podmnožiny

Pro kolekci ‚n‘ prvků je počet nesprávných podmnožin vždy 1. Jinými slovy, počet nesprávných podmnožin množiny je nezávislý na počtu jejích prvků.

Další informace Nastavit vzorce teorie

Správné a nesprávné podmnožiny

Klíčové rozdíly mezi správnými podmnožinami a nevhodnými podmnožinami jsou uvedeny v následující tabulce:

Příklad: Pro množinu P = {1,2} najděte správnou a nevlastní podmnožinu.

Řešení:

c# slovník

Správná množina je dána { }, {1} a {2}

Nesprávná množina je dána { }, {1}, {2} a {1,2}

Podmnožiny vs nadmnožiny

Klíčové rozdíly mezi oběma podmnožiny a supersety jsou uvedeny v následující tabulce:

Vzorec podmnožiny

Všechny vzorce související s podmnožinami jsou uvedeny níže.

• Počet podmnožin množiny s n prvky je 2ⁿ. To zahrnuje správné i nevhodné podmnožiny.
• Počet vlastních podmnožin množiny s n prvky je 2ⁿ- 1.
• Počet nesprávných podmnožin libovolné množiny je vždy 1.

Také Číst

• Zastoupení společnosti Set
• Typy sad
• Univerzální sady

Vyřešené problémy s podmnožinami

Problém 1: Kolik podmnožin v množině se 4 prvky?

Řešení:

Sada obsahující 4 prvky bude mít 2⁴prvků v něm = 16.

Problém 2: Kolik podmnožin v množině s 5 prvky?

Řešení:

Sada obsahující 5 prvků bude mít 2⁵prvků v něm = 32.

Časté dotazy k podmnožinám

Co jsou podmnožiny v matematice?

Pokud je každá složka množiny A přítomna také v množině B, pak se o množině A říká, že je podmnožinou množiny B. Jinak řečeno, množina B obsahuje množinu A.

Co jsou správné podmnožiny?

Podmnožina množiny A, která se nerovná A, je vlastní podmnožinou množiny A. Jinými slovy, pokud je B vlastní podmnožinou množiny A, pak A má alespoň jeden prvek, který není v B, ale všechny prvky B jsou v.

Co jsou nesprávné podmnožiny?

Podmnožina, která zahrnuje všechny komponenty původní sady, je považována za nevhodnou podmnožinu.

Může se podmnožina rovnat sama sobě?

Každá množina je považována za podmnožinu sebe sama. Správná podmnožina žádné množiny je sama sebou. Každá množina má prázdnou množinu jako podmnožinu.

Může být podskupinou univerzální sada?

Můžeme říci, že množina A je podmnožinou množiny B, pokud každý prvek v množině A je také prvkem množiny B. Potom lze k vytvoření podmnožin použít jakoukoli danou univerzální množinu. Je také důležité mít na paměti, že každá univerzální sada je vlastně podmnožinou sama sebe.

Může mít podmnožina hodnotu Null?

Ano, nulová sada je ve výchozím nastavení podmnožinou jakékoli sady.

Jaké jsou dvě klasifikace podmnožiny?

Klasifikace podmnožin jsou:

• Správná podmnožina
• Nevhodná podmnožina