Pravděpodobnostní vzorce jsou důležité matematické nástroje používané při výpočtu pravděpodobnosti. Než budeme znát pravděpodobnostní vzorce, musíme stručně porozumět pojmu pravděpodobnost. Možnost výskytu náhodné události je definována pravděpodobností. Pravděpodobnost je šance na předpověď. Jeho aplikace sahají do různých oblastí včetně herních strategií, vytváření prognóz založených na pravděpodobnosti v podnikání a rozvíjející se oblasti umělé inteligence.

V tomto článku se naučíme význam a definici vzorce pravděpodobnosti a jak tyto vzorce používat při výpočtu pravděpodobnosti. Také vidíme různé termíny související s pravděpodobností a různé vzorce pro snadné řešení matematických problémů.

Obsah

• Co je vzorec pravděpodobnosti?
• Termíny související se vzorcem pravděpodobnosti
• Události ve vzorci pravděpodobnosti
• Různé vzorce pravděpodobnosti
• Příklady na vzorec pravděpodobnosti

Co je vzorec pravděpodobnosti?

Pravděpodobnostní vzorce se používají při určování možností události vydělením počtu příznivých výsledků celkovými možnými výsledky. Pomocí tohoto vzorce můžeme odhadnout pravděpodobnost spojenou s konkrétním výskytem.

Matematicky můžeme tento vzorec zapsat jako:

P(A) = Počet příznivých výsledků / Celkový počet možných výsledků

Pravděpodobnostní vzorec vypočítává poměr příznivých výsledků k celému souboru možných výsledků. Hodnota pravděpodobnosti leží v rozmezí 0 až 1, což znamená, že příznivé výsledky nemohou překonat celkové výsledky a záporná hodnota příznivých výsledků není možná.

Učit se,

• Pravděpodobnost v matematice
• Teorie pravděpodobnosti

Jak vypočítat pravděpodobnost?

Pravděpodobnost události = (počet příznivých výsledků) / (celkový počet možných výsledků pro událost)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Zde P(A) znamená pravděpodobnost události A, kde n(E) je počet příznivých výsledků a n(S) je celkový počet možných výsledků pro událost.

Když vezmeme v úvahu komplementární událost, reprezentovanou jako P(A’), která označuje nevyskytování se události A., pak vzorec bude:

P(A’) = 1- P(A)

P(A’), je opakem jevu A, což znamená, že nastane buď událost P(A), nebo její doplněk P(A’).

Proto nyní můžeme říci; P(A) + P(A’) = 1

Učit se,

příkaz java case

• Události v pravděpodobnosti
• Typy událostí v pravděpodobnosti

Termíny související se vzorcem pravděpodobnosti

Některé z nejběžnějších termínů souvisejících s pravděpodobnostním vzorcem jsou:

• Experiment: Experiment je akce nebo postup prováděný za účelem vytvoření určitého výsledku.

• Ukázkový prostor: Vzorový prostor zahrnuje kompletní potenciální výsledky, které pocházejí z experimentu. Například při házení mincí obsahuje prostor vzorku {hlava, ocas}.

• Příznivý výsledek: Příznivý výsledek je výsledek, který je v souladu se zamýšleným nebo očekávaným závěrem. V případě hodu dvěma kostkami jsou příklady příznivých výsledků se součtem 4 (1,3), (2,2) a (3,1).

• zkušební verze: Pokus označuje provedení náhodného experimentu.

• Náhodný experiment: A Náhodný experiment se vyznačuje dobře definovaným souborem možných výsledků. Příkladem náhodného experimentu je házení mincí, přičemž výsledkem mohou být buď hlavy, nebo ocasy. To znamená, že výsledek bude nejistý.

• Událost: Událost označuje celkové výsledky pocházející z náhodného experimentu.

• Stejně pravděpodobné události: Stejně pravděpodobné události jsou takové události, které mají stejnou pravděpodobnost výskytu. Výsledek jedné události neovlivní výsledek jiné.

• Vyčerpávající události: K vyčerpávající události dojde, když sada všech možných výsledků pokryje celý prostor vzorku.

• Vzájemně exkluzivní akce: Vzájemně exkluzivní akce jsou takové, které nemohou nastat současně. Když si například hodíme mincí, výsledkem bude buď hlava, nebo ocas, ale nemůžeme získat obojí najednou.

Události ve vzorci pravděpodobnosti

V teorii pravděpodobnosti událost představuje soubor možných výsledků odvozených z experimentu. Často tvoří podmnožinu celkového prostoru vzorků. Pokud pravděpodobnost události E reprezentujeme jako P(E), platí následující zásady:

Když je událost E nemožná, pak P(E) = 0.

Když je událost E jistá, pak P(E) = 1.

Pravděpodobnost P(E) leží mezi 0 a 1.

Uvažujme dvě události, A a B. Pravděpodobnost události A, označovaná jako P(A), která je větší než pravděpodobnost události B, P(B).

Pro konkrétní událost E bude pravděpodobnostní vzorec:

P(E)= n(E)/ n(S)

Zde n(E) představuje počet výsledků příznivých pro událost E.

n(S) označuje celkový počet výsledků v prostoru vzorku.

Různé vzorce pravděpodobnosti

Různé vzorce pravděpodobnosti jsou diskutovány níže:

Klasický vzorec pravděpodobnosti

P(A) = počet příznivých výsledků/celkový počet možných výsledků

Vzorec pravidla sčítání

Když se zabýváme událostí, která je spojením dvou samostatných událostí, například A a B, pravděpodobnost spojení bude:

P(A nebo B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Společný vzorec pravděpodobnosti

Představuje společné prvky, které tvoří odlišné podmnožiny událostí A i B. Vzorec lze vyjádřit jako:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Sčítací pravidlo pro vzájemně exkluzivní události

Pokud se události A a B vzájemně vylučují, to znamená, že nemohou nastat ve stejnou dobu, pravděpodobnost, že nastane kterákoli událost, se rovná součtu jejich příslušných pravděpodobností.

P(A nebo B)=P(A)+P(B)

Vzorec doplňkového pravidla

Je-li A událost, pak pravděpodobnost, že není A, je vyjádřena doplňkovým pravidlem:

P(ne A) = 1 – P(A) nebo P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Některé pravděpodobnostní vzorce založené na nich jsou následující:

P(A.A’) = 0

P(A.B) + P (A’.B’) = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)

Vzorec podmíněného pravidla

V případě, že je výskyt události A již znám, nastane pravděpodobnost události B, označovaná jako podmíněná pravděpodobnost. Lze jej vypočítat pomocí vzorce:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Pravděpodobnost (podmíněná) události B, když událost A nastala.

P (A/B): Pravděpodobnost (podmíněná) události A, když událost B nastala.

Vzorec relativní frekvence

Vzorec relativní frekvence je založen na frekvencích pozorovaných v datech reálného světa. Tento vzorec je uveden jako

P(A) = počet výskytů události A/celkový počet pokusů nebo pozorování

Pravděpodobnostní vzorec s pravidlem násobení

V situacích, kdy událost představuje současný výskyt dvou dalších událostí, označených jako události A a B, lze pravděpodobnost, že se obě události stanou současně, vypočítat pomocí těchto vzorců:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (v případě nezávislých událostí)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (v případě závislých událostí)

Nesouvislá událost

Nesouvislé události jsou události, které se nikdy nevyskytují současně. Tyto události jsou také známé jako vzájemně se vylučující události.

P(A∩B) = 0

Bayesova věta

Bayesova věta počítá pravděpodobnost jevu A za předpokladu výskytu jevu B. Bayesova věta Vzorec je dán jako

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Učit se, Bayesova věta

Vzorec závislé pravděpodobnosti

Závislá pravděpodobnost jsou události, které jsou ovlivněny výskytem jiných událostí. Vzorec pro závislou pravděpodobnost je,

P(B a A) = P(A)×P(B | A)

Nezávislý vzorec pravděpodobnosti

Nezávislá pravděpodobnost jsou události, které nejsou ovlivněny výskytem jiných událostí. Vzorec pro nezávislou pravděpodobnost je,

P(A a B) = P(A)×P(B)

Vzorec binominální pravděpodobnosti

Vzorec binomické pravděpodobnosti je uveden jako

P(x) = ⁿ C _X · str ^X (1 − p) ^n-x nebo P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^r (1 − p) ^n-r

Kde, n = celkový počet událostí

r nebo x = Celkový počet úspěšných událostí.

p = Pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu.

ⁿC_r= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = Pravděpodobnost selhání.

Učit se, Binomické rozdělení

Vzorec normální pravděpodobnosti

Vzorec normální pravděpodobnosti je dán takto:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

Učit se, Normální distribuce

Experimentální vzorec pravděpodobnosti

Vzorec pro experimentální pravděpodobnost je;

Pravděpodobnost P(x) = počet výskytů události / celkový počet pokusů.

Teoretický vzorec pravděpodobnosti

Vzorec pro teoretickou pravděpodobnost je,

P(x) = Počet příznivých výsledků / Počet možných výsledků.

Vzorec pravděpodobnosti standardní odchylky

Standardní vzorec pravděpodobnosti odchylky je uveden jako

java výjimky

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Bernoulliho vzorec pravděpodobnosti

Náhodná veličina X bude mít Bernoulliho rozdělení s pravděpodobností p, vzorec je,

P(X = x) = p ^X (1 – p) ^1-x , pro x = 0, 1 a P(X = x) = 0 pro ostatní hodnoty x

Zde je 0 neúspěch a 1 úspěch.

Učit se, Bernoulliho distribuce

Třída vzorce pravděpodobnosti 10

V 10. třídě musíme studovat základní pravděpodobnost, jako je pravděpodobnost hodit mincí, hodit 2 mincemi, hodit 3 mincemi, hodit kostkou, hodit dvěma kostkami, pravděpodobnost tažení karty z dobře zamíchaného balíčku. Všechny tyto otázky lze vyřešit pouze jedním vzorcem. Vzorec pravděpodobnosti třídy 10 je uveden jako

P(E) = n(E)/n(s)

Kde,

P(E) je pravděpodobnost události

n(E) je počet pokusů, ve kterých došlo k události

n(S) je počet vzorového prostoru

Pravděpodobnostní vzorec pro třídu 12

Různé vzorce používané ve třídě pravděpodobnosti 12 jsou uvedeny níže:

Také zkontrolujte

• Pravděpodobnost hodu mincí
• Pravděpodobnost karty
• Statistické vzorce

Příklady na vzorec pravděpodobnosti

Příklad 1: Náhodně vyberte kartu ze standardního balíčku. Jaká je pravděpodobnost vytažení karty s ženskou tváří?

Řešení:

Ve standardním balíčku obsahujícím 52 karet: Celkový možný výsledek = 52

Počet příznivých událostí (s ohledem pouze na královny jako ženské tváře) = 4

Proto se pravděpodobnost P(A) vypočítá pomocí vzorce:

P(A) = počet příznivých výsledků ÷ celkový počet výsledků

= 4/52

= 1/13.

Příklad 2: Pokud je pravděpodobnost události E, označená jako P(E)=0,35, jaká je pravděpodobnost události doplňku „ne E“?

Řešení:

Vzhledem k tomu, že P(E)=0,35, můžeme použít doplňkový pravděpodobnostní vzorec:

P(E) + P(ne E) = 1

Nahrazení známé hodnoty:

P(ne E) = 1 – P(E)

P(ne E) = 1 – 0,35

P(ne E) = 0,65

Příklad 3: Nebezpečné požáry jsou velmi vzácné kolem 1 %, ale kouř je poměrně běžný kolem 20 % kvůli grilování. Najděte nebezpečný oheň, když 80 % nebezpečných požárů produkuje kouř.

sql pořadí náhodně

Řešení:

Pravděpodobnost nebezpečného požáru při kouři pomocí Bayesova teorému:

P(oheň|kouř) = {P(oheň)P(kouřový oheň)}/P(kouř)

P(Fire)=0,01(1%) a P(Smoke|Fire)= 0,80 (80%), můžeme dosadit tyto hodnoty:

P(Oheň | Kouř)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Oheň | Kouř)=0,018/0,30

(Požár | Kouř)= 0,06 = 6 %.

Příklad 4: V sáčku jsou 2 zelené žárovky, 4 oranžové žárovky a 6 bílých žárovek. Když je žárovka náhodně vybrána ze sáčku, jaká je pravděpodobnost, že vyberete zelenou nebo bílou žárovku?

Řešení:

Celkový počet žárovek v sáčku je 2 zelené + 4 oranžové + 6 bílých = 12 žárovek

Počet zelených žárovek = 2 a počet bílých žárovek = 6

Pravděpodobnost = (Počet zelených žárovek + Počet bílých žárovek) / Celkový počet žárovek

Pravděpodobnost = (2+6)/12

Pravděpodobnost = 8/12

Pravděpodobnost = 2/3.

Cvičné otázky týkající se vzorce pravděpodobnosti

Q1. Ze sbírky kuliček v sáčku – 8 červených, 9 modrých a 6 zelených – jsou náhodně vybrány dvě kuličky bez náhrady. Jaká je pravděpodobnost, že obě vybrané kuličky jsou modré?

Q2. V zásuvce obsahující 6 černých per, 4 modrá pera a 7 červených per se náhodně vylosuje pero. Jaká je pravděpodobnost, že je pero černé nebo modré?

Q3. Vytažením jedné karty z důkladně promíchaného balíčku 52 karet určete pravděpodobnost, že karta bude:

• Být králem.
• Nebýt králem.

Q4. Podle průzkumu si čokoládu pochutnává 70 % jedinců a mezi těmi čokoládovými nadšenci má 60 % zálibu i ve vanilce. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec má rád vanilku, vzhledem k jeho zálibě v čokoládě?

Q5. Určete pravděpodobnost hodu lichého čísla při hodu šestistěnnou kostkou.

Pravděpodobnostní vzorec – FAQ

1. Co je to význam pravděpodobnosti?

Možnost výskytu náhodné události je definována pravděpodobností. Pravděpodobnost je šance na předpověď.

2. Co znamená vzorec pravděpodobnosti?

Pravděpodobnostní vzorce se používají při určování možností události vydělením počtu příznivých výsledků celkovými možnými výsledky. Hodnota pravděpodobnosti leží v rozmezí 0 až 1, což znamená, že příznivé výsledky nemohou překonat celkové výsledky a záporná hodnota příznivých výsledků není možná.

3. Jaký je význam zápisu U a ∩ v pravděpodobnosti?

Symbol U v pravděpodobnosti označuje rovnoměrné rozdělení. Na druhé straně symbol ∩ značí průnik množin. Zjednodušeně řečeno, průnik dvou množin je nejrozsáhlejší množinou zahrnující všechny prvky sdílené oběma množinami.

4. Jaký je konvenční vzorec pro výpočet pravděpodobnosti?

Pravděpodobnost události = (počet příznivých výsledků) / (celkový počet možných výsledků pro událost)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Zde P(A) znamená pravděpodobnost události A, kde n(E) je počet příznivých výsledků a n(S) je celkový počet možných výsledků pro událost.

5. Co je doplňkový vzorec?

Je-li A událost, pak pravděpodobnost, že není A, je vyjádřena doplňkovým pravidlem:

P(ne A) = 1 – P(A) nebo P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Co je nesouvislá událost?

Nesouvislé události jsou události, které nikdy nenastanou současně. Tyto události jsou také známé jako vzájemně se vylučující události.

P(A∩B) = 0.

7. Co je Bayesova věta?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Bayesův teorém počítá pravděpodobnost jevu A při výskytu jevu B.

8. Co je podmíněný vzorec?

V případě, kdy je výskyt události A již znám, pravděpodobnost události B nastane, označovaná jako podmíněná pravděpodobnost. Lze jej vypočítat pomocí vzorce:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Pravděpodobnost (podmíněná) události B, když událost A nastala.

P (A/B): Pravděpodobnost (podmíněná) události A, když událost B nastala.

9. Jaké jsou příklady pravděpodobnosti ze skutečného života?

Předpověď počasí, karetní hry, politické hlasování, hry v kostky a hod mincí atd. jsou některé příklady pravděpodobnosti