Bayesova věta se používá k určení podmíněné pravděpodobnosti události. Byl pojmenován po anglickém statistikovi, Thomas Bayes který tento vzorec objevil v roce 1763. Bayesův teorém je velmi důležitý teorém v matematice, který položil základy jedinečného statistického inferenčního přístupu zvaného Bayesův závěr. Používá se k nalezení pravděpodobnosti události na základě předchozí znalosti podmínek, které mohou s touto událostí souviset.

Například, pokud chceme najít pravděpodobnost, že náhodně vylosovaný bílý kuliček pochází z prvního pytle, za předpokladu, že bílý kuliček již byl vylosován, a existují tři sáčky, z nichž každý obsahuje nějaké bílé a černé kuličky, pak můžeme použít Bayesovu větu.

Tento článek prozkoumá Bayesův teorém včetně jeho tvrzení, důkazu, odvození a vzorce teorému, stejně jako jeho aplikace s různými příklady.

počítat zřetelně

Co je Bayesův teorém?

Bayesův teorém (také známý jako Bayesovo pravidlo nebo Bayesův zákon) se používá k určení podmíněné pravděpodobnosti události A, když událost B již nastala.

Obecné tvrzení Bayesovy věty zní Podmíněná pravděpodobnost události A, daná výskytem jiné události B, se rovná součinu události B, dané A a pravděpodobnosti A dělené pravděpodobností události B. tj.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

kde,

• P(A) a P(B) jsou pravděpodobnosti událostí A a B
• P(A|B) je pravděpodobnost události A, když nastane událost B
• P(B|A) je pravděpodobnost události B, když nastane A

Šek: Bayesův teorém pro podmíněnou pravděpodobnost

Prohlášení Bayesova teorému

Bayesova věta pro n množinu událostí je definována jako,

Ať E₁, A₂,…, A_nbýt souborem událostí spojených se vzorovým prostorem S, ve kterém jsou všechny události E₁, A₂,…, A_nmají nenulovou pravděpodobnost výskytu. Všechny události E₁, A₂,…, E tvoří dělení S. Nechť A je událost z prostoru S, pro kterou musíme najít pravděpodobnost, pak podle Bayesovy věty,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

pro k = 1, 2, 3, …., n

Vzorec Bayesovy věty

Pro jakékoli dvě události A a B je vzorec pro Bayesovu větu dán takto: (obrázek uvedený níže uvádí vzorec Bayesovy věty)

Vzorec Bayesova teorému

kde,

• P(A) a P(B) jsou pravděpodobnosti událostí A a B také P(B) nikdy rovna nule.
• P(A|B) je pravděpodobnost události A, když nastane událost B
• P(B|A) je pravděpodobnost události B, když nastane A

Odvození Bayesovy věty

Důkaz Bayesovy věty je dán jako, podle vzorce podmíněné pravděpodobnosti,

P(E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Potom pomocí pravidla násobení pravděpodobnosti dostaneme

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Nyní pomocí věty o celkové pravděpodobnosti

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Dosazením hodnoty P(E_i∩A) a P(A) z eq (ii) a eq (iii) v eq (i) dostaneme,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Bayesův teorém je také známý jako vzorec pro pravděpodobnost příčin . Jak víme, E _i 's jsou rozdělením vzorového prostoru S a v každém daném čase pouze jednou z událostí E _i dochází. Došli jsme tedy k závěru, že vzorec Bayesovy věty dává pravděpodobnost konkrétního E_ivzhledem k tomu, že došlo k události A.

Termíny související s Bayesovou větou

Poté, co se podrobně seznámíme s Bayesovou větou, porozumíme některým důležitým pojmům souvisejícím s pojmy, které jsme probrali ve vzorcích a odvozování.

• hypotézy: Události probíhající ve vzorovém prostoru A ₁ , A ₂ ,… A _n se nazývá hypotézy

• Předběžná pravděpodobnost: Priori pravděpodobnost je počáteční pravděpodobnost, že událost nastane předtím, než se vezmou v úvahu jakákoli nová data. P(E_i) je apriorní pravděpodobnost hypotézy E_i.

• Zadní pravděpodobnost: Posterior Probability je aktualizovaná pravděpodobnost události po zvážení nových informací. Pravděpodobnost P(E_i|A) se považuje za zadní pravděpodobnost hypotézy E_i.

Podmíněná pravděpodobnost

• Pravděpodobnost události A založená na výskytu jiné události B se nazývá podmíněná pravděpodobnost .
• Označuje se jako P(A|B) a představuje pravděpodobnost A, když událost B již nastala.

Společná pravděpodobnost

Když je změřena pravděpodobnost dvou dalších událostí vyskytujících se společně a ve stejnou dobu, je označena jako Společná pravděpodobnost. Pro dva jevy A a B se značí společnou pravděpodobností se značí, P(A∩B).

Náhodné proměnné

Proměnné reálné hodnoty, jejichž možné hodnoty jsou určeny náhodnými experimenty, se nazývají náhodné proměnné. Pravděpodobnost nalezení takových proměnných je experimentální pravděpodobnost.

Aplikace Bayesova teorému

Bayesovská inference je velmi důležitá a našla uplatnění v různých činnostech, včetně medicíny, vědy, filozofie, inženýrství, sportu, práva atd., a Bayesovská inference je přímo odvozena z Bayesova teorému.

Příklad: Bayesův teorém definuje přesnost lékařského testu tím, že bere v úvahu, jak je pravděpodobné, že osoba bude mít nemoc a jaká je celková přesnost testu.

Rozdíl mezi podmíněnou pravděpodobností a Bayesovou větou

Rozdíl mezi podmíněnou pravděpodobností a Bayesovou větou lze pochopit pomocí níže uvedené tabulky,

Věta o úplné pravděpodobnosti

Ať E₁, A₂, . . ., A_nje vzájemně se vylučující a vyčerpávající události spojené s náhodným experimentem a umožňuje E je událost, která nastane s nějakým E_i. Tak to dokaž

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 ČURAT _i ). P(E _j )

Důkaz:

Nechť S je vzorový prostor. Pak,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Jedna a E_i∩ E_j= ∅ pro i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Proto (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} jsou párově disjunktní}

⇒ P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + . . . + P(E/E_n). P(E_n) [teorémem násobení]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1ČURAT_i). P(E_i)

Články související s Bayesovou větou

• Rozdělení pravděpodobnosti
• Bayesova věta pro podmíněnou pravděpodobnost
• Permutace a kombinace
• Binomická věta

Závěr – Bayesův teorém

Bayesův teorém nabízí výkonný rámec pro aktualizaci pravděpodobnosti hypotézy na základě nových důkazů nebo informací. Začleněním předchozích znalostí a jejich aktualizací o pozorovaná data umožňuje Bayesův teorém přesnější a informovanější rozhodování v celé řadě oblastí, včetně statistiky, strojového učení, medicíny a financí. Jeho aplikace sahají od lékařské diagnostiky a hodnocení rizik až po filtrování spamu a zpracování přirozeného jazyka.

Pochopení a aplikace Bayesova teorému nám umožňuje dělat lepší předpovědi, odhadovat nejistoty a čerpat smysluplné poznatky z dat, což v konečném důsledku zlepšuje naši schopnost činit informovaná rozhodnutí ve složitých a nejistých situacích.

Zkontrolujte také:

čtvrtletí v roce

• Bayesův teorém v dolování dat
• Bayesův teorém v umělé inteligenci
• Bayesova věta ve strojovém učení

Příklady Bayesovy věty

Příklad 1: Osoba přijala práci. Pravděpodobnost dokončení zakázky včas za deště a bez deště je 0,44 a 0,95. Pokud je pravděpodobnost, že bude pršet, 0,45, pak určete pravděpodobnost, že bude práce dokončena včas.

Řešení:

Ať E₁v případě, že těžební práce bude dokončena včas a E₂ať bude pršet. My máme,

P(A) = 0,45,

P(bez deště) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Zákonem násobení pravděpodobnosti,

P(E₁) = 0,44 a P(E₂) = 0,95

Vzhledem k tomu, že události A a B tvoří rozdělení vzorového prostoru S, podle věty o úplné pravděpodobnosti máme

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Pravděpodobnost, že bude úloha dokončena včas, je tedy 0,7205

Příklad 2: Existují tři urny obsahující 3 bílé a 2 černé koule; 2 bílé a 3 černé koule; 1 černá a 4 bílé koule. Je stejná pravděpodobnost, že bude vybrána každá urna. Jeden míček se stejnou pravděpodobností náhodně vybraný. jaká je pravděpodobnost, že se vytáhne bílá koule?

Řešení:

Ať E₁, A₂a E₃být událostmi výběru první, druhé a třetí urny. Pak,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3

Nechť E je případ, kdy je tažena bílá koule. Pak,

ČURAT₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Podle věty o celkové pravděpodobnosti máme

P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + P(E/E₃). P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

sort arraylist java

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Příklad 3: Karta z balíčku 52 karet je ztracena. Ze zbývajících karet balíčku se líznou dvě karty a zjistí se, že jsou to obě srdce. najít pravděpodobnost, že ztracená karta je srdce.

Řešení:

Ať E₁, A₂, A_3,a E₄být událostmi ztráty karty srdcí, klubů, piků a diamantů.

Poté P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Nechť E je událost tažení 2 srdcí ze zbývajících 51 karet. Pak,

P(E|E₁) = pravděpodobnost vytažení 2 srdcí, pokud chybí karta srdcí

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = pravděpodobnost losování 2 klubů, pokud chybí karta klubů

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = pravděpodobnost tažení 2 piků, pokud chybí karta srdcí

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = pravděpodobnost tažení 2 diamantů, pokud chybí karta diamantů

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Proto,

P(E₁|E) = pravděpodobnost, že ztracená karta je srdce, za předpokladu, že 2 srdce jsou vylosována ze zbývajících 51 karet

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Požadovaná pravděpodobnost je tedy 0,22.

Příklad 4: Předpokládejme, že 15 mužů z 300 mužů a 25 žen z 1000 jsou dobří řečníci. Řečník je vybrán náhodně. Najděte pravděpodobnost, že je vybrán muž. Předpokládejme, že existuje stejný počet mužů a žen.

Řešení:

Gievn,

• Celkem muži = 300
• Celkem ženy = 1000
• Dobří řečníci mezi muži = 15
• Dobří řečníci mezi ženami = 25

Celkový počet dobrých řečníků = 15 (od mužů) + 25 (od žen) = 40

Pravděpodobnost výběru mužského řečníka:

P(Mužský řečník) = Počet mužských řečníků / celkový počet řečníků = 15/40

Příklad 5: Je známo, že muž mluví lži 1 ze 4 případů. Hází kostkou a hlásí, že je to šestka. Najděte pravděpodobnost, která je ve skutečnosti šestka.

Řešení:

vb a vb síť

V hodu kostkou, nech

A₁= událost získání šestky,

A₂= událost nezískání šestky a

E = případ, že muž hlásí, že jde o šestku.

Poté P(E₁) = 1/6 a P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = pravděpodobnost, že muž nahlásí, že šestka nastane, když šestka skutečně nastala

⇒ P(E|E₁) = pravděpodobnost, že muž mluví pravdu

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = pravděpodobnost, že muž nahlásí, že šestka nastane, když šestka ve skutečnosti nenastala

⇒ P(E|E₂) = pravděpodobnost, že muž nemluví pravdu

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Pravděpodobnost získání šestky, vzhledem k tomu, že muž hlásí, že je šest

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [podle Bayesova teorému]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 x 3) = 3/8

Požadovaná pravděpodobnost je tedy 3/8.

Nejčastější dotazy k Bayesově větě

Co je Bayesův teorém?

Bayesova věta, jak název napovídá, je matematická věta, která se používá k nalezení pravděpodobnosti podmíněnosti události. Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost události, která nastane v budoucnosti. Vypočítává se na základě předchozích výsledků událostí.

Kdy se používá Bayesův teorém?

Bayesův teorém má širokou škálu aplikací, zejména v oblastech, které se zabývají aktualizací pravděpodobností na základě nových dat. Bayesovo pravidlo vám umožňuje vypočítat zadní (nebo aktualizované) pravděpodobnosti. Používá se k výpočtu podmíněné pravděpodobnosti událostí.

Jaké jsou některé klíčové pojmy pro pochopení Bayesovy věty?

Některé z klíčových pojmů jsou:

• Předchozí pravděpodobnost (P(A))
• Zadní pravděpodobnost (P(A | B))
• Pravděpodobnost (P(B | A))
• Mezní pravděpodobnost (P(B))

Kdy použít Bayesovu větu?

Bayesův teorém je použitelný, když je dána podmíněná pravděpodobnost události, používá se k nalezení opačné pravděpodobnosti události.

Jak se Bayesův teorém liší od podmíněné pravděpodobnosti?

Bayesův teorém se používá k definování pravděpodobnosti události na základě předchozích podmínek události. Zatímco Bayesův teorém používá podmíněnou pravděpodobnost k nalezení opačné pravděpodobnosti události.

Jaký je vzorec pro Bayesovu větu?

Vzorec Bayesovy věty je vysvětlen níže,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)