Mnohoúhelník v matematice je dvourozměrný tvar složený z přímých čar, které tvoří uzavřený polygonální řetězec. Slovo mnohoúhelník pochází ze slov poly a gon, což znamená mnoho a strany.

Polygony mohou být jednoduché nebo se mohou protínat. Jednoduchý mnohoúhelník se neprotíná, s výjimkou sdílených koncových bodů po sobě jdoucích segmentů. Polygonální řetězec, který se kříží přes sebe, vytváří samo se protínající mnohoúhelník. Polygony lze také klasifikovat jako konkávní nebo konvexní.

V tomto článku jsme se podrobně zmínili o mnohoúhelnících a jejich typech, vzorcích a příkladech.

Obsah

• Co jsou to polygony?
• Definice polygonu
• Polygonový graf založený na počtu stran
• Vlastnosti polygonů
• Tvary mnohoúhelníku
• Typy polygonů
• Polygony na bázi stran
• Polygony Na základě úhlů
• Polygony na základě hranic
• Polygonové vzorce
• Oblast polygonů
• Obvod mnohoúhelníků
• Úhly v polygonech
• Nejčastější dotazy

Co jsou to polygony?

Termín „polygon“ pochází z řeckého slova polugonos, kde „poly“ znamená „mnoho“ a „gon“ označuje „úhel“. Obecně je mnohoúhelník uzavřený obrazec tvořený rovnými čarami, jejichž vnitřní úhly jsou jimi vytvořeny linky. Pro vytvoření uzavřeného tvaru je zapotřebí minimálně třířádkových segmentů. Je běžně známý jako trojúhelník nebo 3úhelník. Obecný termín pro n-stranný mnohoúhelník je n-úhelník.

Definice polygonu

Polygony jsou ploché, dvourozměrné postavy složené z rovných stran, které tvoří zcela uzavřený tvar. V geometrii je mnohoúhelník rovinný obrazec složený z úseček spojených do uzavřeného polygonálního řetězce. Skládají se z rovných stran, nikoli z křivek, a mohou mít libovolný různý počet stran. Některé polygony různých druhů jsou: otevřené, pouze hraniční, uzavřené a samo se protínající.

V geometrii je mnohoúhelník definován jako uzavřený, dvourozměrný tvar, který leží naplocho v rovině a je ohraničen rovnými stranami.

Polygon postrádá zakřivené strany a jeho hrany jsou rovné segmenty definující jeho hranici. Body setkání těchto hran se nazývají vrcholy nebo rohy.

Příklady polygonů

Z hlediska matematiky jsou příklady mnohoúhelníků trojúhelníky, šestiúhelníky, pětiúhelníky a čtyřúhelníky. Skutečnými příklady Polygonu jsou obdélníková obrazovka na vašem notebooku, televizi, mobilním telefonu; obdélníkové fotbalové hřiště nebo hřiště, Bermudský trojúhelník a egyptské pyramidy trojúhelníkového tvaru.

Části mnohoúhelníku

Polygon se skládá ze tří základních částí:

• Strany polygonu: Strany polygonů jsou hranicemi polygonů, které definují uzavřenou oblast.
• Vrcholy: Bod, ve kterém se dvě strany setkávají, je známý jako vrchol.
• Úhly: Polygon obsahuje vnitřní i vnější úhly. Vnitřní úhel je vytvořen v uzavřené oblasti mnohoúhelníku průsečíkem jeho stran.

Polygonový graf založený na počtu stran

Nomenklatura polygonu definovaná na základě počtu stran, které mají. Označuje se jako n-úhelníky, kde „n“ znamená počet stran. Polygony jsou obecně identifikovány počtem jejich hran. Například mnohoúhelník s pěti stranami se nazývá 5úhelník, zatímco mnohoúhelník s deseti stranami se označuje jako 10úhelník.

Vlastnosti polygonů

Vlastnosti Polygonů je snadno identifikují. Následující vlastnosti přispívají k snadnému poznání mnohoúhelníků:

• Mnohoúhelník je uzavřený tvar bez otevřených konců. Počáteční a koncový bod by měl být stejný.
• Nabývá rovinné formy, sestávající z úseček nebo přímek, které společně tvarují postavu.
• Jako dvourozměrná entita existuje mnohoúhelník pouze v rozměrech délky a šířky, postrádá hloubku nebo výšku.
• Má tři nebo více stran k vytvoření mnohoúhelníku.
• Úhly v mnohoúhelníku se mohou lišit. Ukazuje odlišnou konfiguraci.
• Délka stran mnohoúhelníku se může lišit; může nebo nemusí být stejná v celém mnohoúhelníku.

Tvary mnohoúhelníku

Mnohoúhelník je plochý, dvourozměrný tvar charakterizovaný rovnými stranami spojenými tak, aby tvořily uzavřený obrazec. Příklady tvarů mnohoúhelníku zahrnují:

• Trojúhelník
• Čtyřúhelník
• Pentagon
• Šestiúhelník
• Sedmiúhelník
• Osmiúhelník
• Nonagon
• Decagon

Trojúhelník

• Má 3 strany a 3 vrcholy.
• Nemá žádné úhlopříčky.
• Součet vnitřního prostoru je 180°.

Čtyřúhelník

• Má 4 strany a 4 vrcholy.
• Má 2 úhlopříčky.
• Součet vnitřního úhlu je 360°.

Pentagon

• Má 5 stran a 5 vrcholů.
• Má 5 úhlopříček.
• Součet vnitřního úhlu je 540°.

Šestiúhelník

• Má 6 stran a 6 vrcholů.
• Má 9 úhlopříček.
• Součet vnitřního úhlu je 720°.

Sedmiúhelník

• Má 7 stran a 7 vrcholů.
• Má 14 úhlopříček.
• Součet vnitřního úhlu je 900°.

Osmiúhelník

• Má 8 stran a 8 vrcholů.
• Má 20 úhlopříček.
• Součet vnitřního úhlu je 1080°.

Nonagon

• Má 9 stran a 9 vrcholů.
• Má 27 úhlopříček.
• Součet vnitřního úhlu je 1260°.

Decagon

• Má 10 stran a 10 vrcholů.
• Má 35 úhlopříček.
• Součet vnitřního úhlu je 1440°.

Typy polygonů

V závislosti na stranách a úhlech mohou být polygony rozděleny do různých typů na různém základě, jako například:

• Na základě stran
• Na základě úhlů
• Na základě hranice

Polygony na bázi stran

Polygony lze kategorizovat na základě charakteristik jejich stran do dvou primárních typů:

• Pravidelný mnohoúhelník
• Nepravidelný mnohoúhelník

Pravidelný mnohoúhelník

Pravidelný mnohoúhelník se vyznačuje tím, že má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly se stejnými rozměry. Může být jak rovnostranný, tak rovnoúhelníkový. Příklady pravidelných mnohoúhelníků zahrnují trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník a šestiúhelník.

Pravidelný mnohoúhelník

Nepravidelný mnohoúhelník

Nepravidelný mnohoúhelník má strany nestejné délky a úhly různých rozměrů. Jakýkoli mnohoúhelník, který nesplňuje kritéria běžného mnohoúhelníku, je klasifikován jako nepravidelný. Běžnými příklady nepravidelného mnohoúhelníku jsou zmenšený trojúhelník, čtyřúhelníky jako obdélník, lichoběžník nebo drak a také nepravidelné pětiúhelníkové a šestiúhelníkové struktury.

Nepravidelný mnohoúhelník

Polygony Na základě úhlů

Polygony lze klasifikovat na základě povahy jejich úhlů do dvou hlavních kategorií:

• Konvexní mnohoúhelník
• Konkávní mnohoúhelník

Konvexní mnohoúhelník

Konvexní mnohoúhelník nemá žádný vnitřní úhel větší než 180°. Konvexní polygony mohou mít tři nebo více stran. V konvexních mnohoúhelnících leží všechny úhlopříčky uvnitř uzavřeného obrazce. Běžnými příklady konvexních mnohoúhelníků jsou trojúhelníky, všechny konvexní čtyřúhelníky, stejně jako pravidelné pětiúhelníky a šestiúhelníky.

Konkávní mnohoúhelník

Konkávní mnohoúhelník má alespoň jeden vnitřní úhel, který je reflexním úhlem a směřuje dovnitř. Konkávní polygony mají minimálně čtyři strany. Tento typ mnohoúhelníku má alespoň jeden vnitřní úhel větší než 180°. U konkávních mnohoúhelníků vyčnívají některé úhlopříčky mimo přiložený obrázek. Příklady konkávních mnohoúhelníků zahrnují šipku nebo hrot šípu ve čtyřúhelnících, stejně jako určité nepravidelné pětiúhelníky a šestiúhelníky.

Rozdíl mezi konkávními a konvexními polygony

Podívejme se na rozdíl mezi konvexním a konkávním polygonem v tabulce níže:

rj12 vs rj11

Polygony na základě hranic

Polygony lze kategorizovat na základě povahy jejich hranic do dvou primárních typů:

• Jednoduchý mnohoúhelník
• Komplexní mnohoúhelník

Jednoduchý mnohoúhelník

Jednoduchý mnohoúhelník je charakterizován singulární, neprotínající se hranicí. Jinými slovy, nepřekračuje sám sebe a skládá se z jedné hranice.

Jednoduché mnohoúhelníky

Komplexní mnohoúhelník

Na druhou stranu je komplexní polygon definován samotným průnikem. Skládá se z více než jedné hranice ve své struktuře. Ve Složitých mnohoúhelnících se hranice protínají a vytvářejí v rámci mnohoúhelníku více odlišných oblastí.

Komplexní mnohoúhelník

Přečtěte si více o Typy polygonů.

Polygonové vzorce

Existuje několik vzorců souvisejících s polygony v geometrii. Mezi ty nejpoužívanější patří:

• Plošný vzorec
• Vzorec obvodu
• Počet úhlopříček

Všechny vzorce související s různými polygony jsou diskutovány níže:

Oblast polygonů

Oblast polygonu představuje celkový prostor, který zaujímá ve dvourozměrné rovině, je určen konkrétními vzorci na základě počtu stran a klasifikace polygonu. Vzorce oblastí jsou následující:

Obvod mnohoúhelníků

Obvod dvourozměrného tvaru představuje celkovou délku jeho vnější hranice. Pro mnohoúhelníky se obvod vypočítá takto:

Diagonální vzorec mnohoúhelníku

Diagonála mnohoúhelníku je úsečka vytvořená spojením dvou vrcholů, které spolu nesousedí.

Počet úhlopříček v mnohoúhelníku = n(n−3)/2,

Kde „n“ představuje počet stran, které má mnohoúhelník.

Přečtěte si více o Diagonální vzorec mnohoúhelníku .

Úhly v polygonech

V geometrii se úhly v mnohoúhelnících vztahují k úhlům tvořeným stranami mnohoúhelníku, a to jak uvnitř, tak vně mnohoúhelníku. V mnohoúhelníku tedy mohou být oba úhly, tj.

• Vnitřní úhly
• Vnější úhly

Proberme vzorec pro tyto úhly podrobně takto:

Vzorec vnitřního úhlu mnohoúhelníků

Vnitřní úhly mnohoúhelníku jsou úhly vytvořené mezi jeho přilehlými stranami a jsou stejné v případě pravidelného mnohoúhelníku. Počet vnitřních úhlů odpovídá počtu stran v polygonu.

Součet vnitřních úhlů ‚S‘ v mnohoúhelníku s ‚n‘ stranami se vypočítá jako

S = (n – 2) × 180°

Kde „n“ představuje počet stran.

Vzorec vnějšího úhlu mnohoúhelníků

Každý vnější úhel pravidelného mnohoúhelníku je vytvořen prodloužením jedné z jeho stran (buď ve směru nebo proti směru hodinových ručiček) a změřením úhlu mezi tímto prodloužením a sousední stranou. V pravidelném mnohoúhelníku jsou všechny vnější úhly stejné

Celkový součet vnějších úhlů v libovolném mnohoúhelníku je pevně nastaven na 360°

Proto,

Každý vnější úhel je dán 360°/n

Kde „n“ je počet stran.

Součet vnitřních a odpovídajících vnějších úhlů v libovolném vrcholu v mnohoúhelníku je vždy 180 stupňů, což vyjadřuje doplňkový vztah:

Vnitřní úhel + vnější úhel = 180°

Vnější úhel = 180° – Vnitřní úhel

Závěr

• Polygon je uzavřený obrazec ohraničený třemi nebo více úsečkami
• Součet vnitřních úhlů: Součet všech vnitřních úhlů v n-stranném mnohoúhelníku je dán vzorcem (n–2)×180°.
• Počet úhlopříček: Pro mnohoúhelník s n stranami se počet úhlopříček vypočítá pomocí vzorce n(n–3)/2.
• Trojúhelníky tvořené úhlopříčkami: Počet trojúhelníků vytvořených spojením úhlopříček z jednoho rohu mnohoúhelníku je n–2.
• Vnitřní úhel pravidelného mnohoúhelníku: Míra každého vnitřního úhlu v n-stranném pravidelném mnohoúhelníku je {(n–2)×180°}/n.
• Vnější úhel pravidelného mnohoúhelníku: Míra každého vnějšího úhlu v n-stranném pravidelném mnohoúhelníku je 360°/n.

Také Číst

• Náměstí
• Rovnoběžník
• Obdélník

Řešené příklady na mnohoúhelník v matematice

Příklad 1: Uvažujme čtyřúhelník se čtyřmi stranami. Najděte součet všech jeho vnitřních úhlů čtyřúhelníku.

Řešení:

Vzorec pro součet vnitřních úhlů v n-stranném pravidelném mnohoúhelníku = (n − 2) × 180°

Součet všech vnitřních úhlů čtyřúhelníku = (4 – 2) × 180°

Součet všech vnitřních úhlů čtyřúhelníku = 2 × 180°

Součet všech vnitřních úhlů čtyřúhelníku = 360°

Součet všech vnitřních úhlů čtyřúhelníku je tedy 360°.

Příklad 2: Uvažujme pravidelný mnohoúhelník s daným poměrem vnějšího a vnitřního úhlu 7:3. Určete typ mnohoúhelníku.

Řešení:

Poměr vnějšího a vnitřního úhlu je 7:3.

Předpokládejme vnější a vnitřní úhel mnohoúhelníku jako 7x a 3x.

Součet vnějších a vnitřních úhlů libovolného mnohoúhelníku je 180°.

7x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

Vnější úhel = 18°

Počet stran = 360°/vnější úhel

= 360°/18°

= 20

Daný mnohoúhelník je tedy ikosagon, protože má 20 stran.

Příklad 3: Každý vnější úhel mnohoúhelníku měří 90 stupňů, určete typ mnohoúhelníku?

Řešení:

Podle vzorce je každý vnější úhel = 360°/n

Zde n = počet stran.

90°= 360°/n

n = 360°/90°= 4

Dotyčný mnohoúhelník je tedy čtyřúhelník, protože má čtyři strany.

Příklad 4: Strany jsou 10m, 10m, 8m, 8m, 5m, 5m, 9m, 9m. Kolik metrů lana bude potřeba na obvod?

Řešení:

Abychom našli délku lana potřebnou pro obvod, musíme sečíst délky všech stran:

Obvod = 10 m + 10 m + 8 m + 8 m + 5 m + 5 m + 9 m + 9 m

Obvod = 64m.

Na Perimetr tedy bude potřeba celkem 64 metrů lana.

Procvičovací otázky o mnohoúhelnících v geometrii

Následuje několik praktických otázek založených na vzorci mnohoúhelníků:

Q1. Je-li jeden úhel pětiúhelníku 140°, určete velikost největšího úhlu, pokud jsou zbývající úhly v poměru 1:2:3:4.

Q2. Pokud je součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku 160°, zjistěte počet stran mnohoúhelníku.

Q3. Počet stran dvou pravidelných mnohoúhelníků je v poměru 2:3 a poměr jejich vnitřních úhlů je 4:5. Najděte příslušné počty stran těchto mnohoúhelníků.

Q4. Určete celkový součet úhlů v sedmiúhelníku.

Q5. Vypočítejte součet vnějších úhlů v pětiúhelníku.

Q6. Kolik stran má šestiúhelník?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 10

Q7. Která z následujících možností není pravidelný mnohoúhelník?

1. Trojúhelník
2. Náměstí
3. Pentagon
4. Rovnoběžník

Časté otázky o mnohoúhelnících v matematice

Co je to mnohoúhelník v matematice?

V matematice se mnohoúhelník vztahuje na uzavřený dvourozměrný obrazec vytvořený spojením tří nebo více přímých čar. Termín mnohoúhelník je odvozen z řeckého jazyka, přičemž poly- znamená mnoho a gon představuje úhel.

Jaký je nejmenší mnohoúhelník?

Nejmenší vytvořený mnohoúhelník je trojúhelník se třemi stranami.

Co je 20-gon?

20úhelník je v geometrii dvacetistranný mnohoúhelník.

objekt java to json

Jaký je celkový součet vnějších úhlů mnohoúhelníku?

Součet vnějších úhlů mnohoúhelníku je 360°.

Může být kruh klasifikován jako mnohoúhelník?

Polygon je uzavřený tvar složený z přímých segmentů. Kruh je uzavřená postava, ale je vyrobena z křivky. Kruh tedy není mnohoúhelník.

Jaký je součet vnitřního úhlu mnohoúhelníku?

Součet vnitřního úhlu mnohoúhelníku je dán vztahem (n–2)×180°, kde n je počet stran mnohoúhelníku.