De Morganův zákon je nejběžnějším zákonem v teorii množin a Booleově algebře, stejně jako v teorii množin. V tomto článku se seznámíme s De Morganovým zákonem, De Morganovým zákonem v teorii množin a De Morganovým zákonem v Booleově algebře spolu s jeho důkazy, pravdivostními tabulkami a diagramy logických hradel. Článek také obsahuje vyřešený příklad De Morganova zákona a často kladené otázky o De Morganově zákonu. Pojďme se dozvědět o De Morganově zákonu.

Obsah

• Co je De Morganův zákon
• De Morganův zákon v teorii množin
• První De Morganův zákon
• Druhý De Morganův zákon
• Důkaz pomocí algebry množin
• De Morganův zákon v Booleově algebře
• Ze vzorce Morganova zákona
• Řešené příklady z De Morganova zákona
• Logické aplikace De Morganova zákona

Co je De Morganův zákon

De Morganův zákon je zákonem, který dává vztah mezi sjednocením, průnikem a doplňky v teorii množin. V booleovské algebře udává vztah mezi AND, OR a doplňky proměnné a v logice dává vztah mezi AND, OR nebo negací příkazu. S pomocí De Morganova zákona můžeme optimalizovat různé booleovské obvody zahrnující logická hradla, které nám pomáhají provádět stejnou operaci, ale s velmi malým počtem zařízení.

De Morganův zákon v teorii množin

De Morganův zákon v teorie množin definuje vztah mezi sjednocením, průnikem a doplňkem množin a je uveden jak pro doplněk sjednocení, tak pro průnik dvou množin. V teorii množin existují dva De Morganovy zákony, které jsou:

• První De Morganův zákon
• Druhý De Morganův zákon

Pojďme si tyto zákony podrobně porozumět, jak je uvedeno níže:

První De Morganův zákon

První De Morganův zákon to říká Doplněk sjednocení dvou množin je roven průniku doplňků každé množiny.

Nechť A a B jsou dvě množiny, pak je matematicky první De Morganův zákon dán jako:

(A ∪ B)‘ = A‘ ∩ B‘

Kde

• V představuje unijní operaci mezi soubory,
• ∩ představuje průsečíkovou operaci mezi množinami a
• ' představuje operaci komplementu na množině.

Říká se tomu také De Morganův zákon o unii.

Detail Důkazu De Morganova zákona

Důkaz pomocí algebry množin

Musíme dokázat, (A ∪ B)‘ = A‘ ∩ B‘

Nechť X = (A ∪ B)‘ a Y = A‘ ∩ B‘

Nechť p je libovolný prvek X, pak p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)’

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A nebo p ∉ B

⇒ p ∈ A’ a p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∩ B’

⇒ p ∈ Y

∴X ⊂ Y. . . (yo)

Opět nechť q je libovolný prvek Y, pak q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’

⇒ q ∈ A’ a q ∈ B’

⇒ q ∉ A nebo q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)'

⇒ q ∈ X

∴Y ⊂X. . . (ii)

Z (i) a (ii) X = Y

mysql aktualizace připojit

(A ∪ B)‘ = A‘ ∩ B‘

Přečtěte si také - Důkaz De-Morganových zákonů v booleovské algebře

Důkaz pomocí Vennova diagramu

Vennův diagram pro (A ∪ B)“

Vennův diagram pro A' ∩ B'

Z obou diagramů můžeme jasně říci,

(A ∪ B)‘ = A‘ ∩ B‘

To je první De Morganův zákon.

Druhý De Morganův zákon

Říká to druhý De Morganův zákon Doplněk průniku dvou množin se rovná sjednocení doplňků každé množiny.

Nechť A a B jsou dvě množiny, pak je matematicky první De Morganův zákon dán jako:

(A ∩ B)‘ = A‘ ∪ B‘

Kde

• V představuje unijní operaci mezi soubory,
• ∩ představuje průsečíkovou operaci mezi množinami a
• ' představuje operaci komplementu na množině.

Říká se tomu také De Morganův zákon průniku .

Důkaz pomocí algebry množin

Druhý De Morganův zákon: (A ∩ B)‘ = A‘ ∪ B‘

Nechť X = (A ∩ B)‘ a Y = A‘ ∪ B‘

Nechť p je libovolný prvek X, pak p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)’

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A a p ∉ B

⇒ p ∈ A’ nebo p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∪ B’

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

Znovu, nechť q je libovolný prvek Y, pak q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’

⇒ q ∈ A’ nebo q ∈ B’

⇒ q ∉ A a q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)’

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————– (ii)

Z (i) a (ii) X = Y

(A ∩ B)‘ = A‘ ∪ B‘

Důkaz pomocí Vennova diagramu

Vennův diagram pro (A ∩ B)“

singleton designový vzor java

Vennův diagram pro A' ∪ B'

Z obou diagramů můžeme jasně říci

(A ∩ B)‘ = A‘ ∪ B‘

To je druhý De Morganův zákon.

De Morganův zákon v Booleově algebře

De Morganův zákon Booleovská algebra definuje vztah mezi OR, AND a doplňky proměnných a je dán jak pro doplněk AND, tak pro OR dvou hodnot. V Booleově algebře existují dva De Morganovy zákony, které jsou:

• První De Morganův zákon
• Druhý De Morganův zákon

Pojďme si tyto zákony podrobně porozumět, jak je uvedeno níže:

První De Morganův zákon v Booleově algebře

První De Morganův zákon to říká Doplněk OR dvou nebo více proměnných se rovná AND doplňku každé proměnné.

Nechť A a B jsou dvě proměnné, pak je matematicky první De Morganův zákon dán jako:

(A + B)‘ = A‘ . B'

Kde

• + představuje operátor OR mezi proměnnými,
• . představuje operátor AND mezi proměnnými a
• ' představuje operaci doplňku na proměnné.

První De Morganův zákon Logic Gates

V kontextu logických hradel a Booleovy algebry De Morganův zákon uvádí, že oba obvody logického hradla, tj. hradlo NOT je přidáno k výstupu hradla OR a hradlo NOT je přidáno ke vstupu hradla AND, jsou ekvivalentní. Tyto dva logické obvody hradla jsou dány následovně:

První pravdivá tabulka De Morganova zákona

Pravdivostní tabulka pro první De Morganův zákon je uvedena takto:

Druhý De Morganův zákon v Booleově algebře

Říká to druhý De Morganův zákon Doplněk AND dvou nebo více proměnných se rovná OR doplňku každé proměnné.

Nechť A a B jsou dvě proměnné, pak je matematicky druhý De Morganův zákon dán jako:

(A . B)‘ = A‘ + B‘

Kde

• + představuje operátor OR mezi proměnnými,
• . představuje operátor AND mezi proměnnými a
• ' představuje operaci doplňku na proměnné.

Druhý De Morganův zákon Logic Gates

V kontextu logických hradel a Booleovy algebry De Morganův zákon uvádí, že oba obvody logického hradla, tj. hradlo NOT se přidá k výstupu hradla AND a hradlo NOT se přidá ke vstupu hradla OR, jsou ekvivalentní. Tyto dva logické obvody hradla jsou dány následovně:

Druhá De Morganova tabulka pravdy

Pravdivostní tabulka pro druhý De Morganův zákon je uvedena takto:

Z logiky Morganova zákona

V De Morganově zákonu pro logiku jsou níže uvedené předložky tautologie:

∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Kde,

• ∧ představuje spojení výroků,
• ∨ představuje disjunkci výroků,
• ~ představuje negaci výroku a
• ≡ představuje ekvivalenci výroků.

Ze vzorce Morganova zákona

Pojďme sestavit všechny vzorce pro De Morganův zákon v následujícím seznamu.

Pro teorii množin:

• (A ∪ B)‘ = A‘ ∩ B‘
• (A ∩ B)‘ = A‘ ∪ B‘

Pro booleovskou algebru:

• (A + B)‘ = A‘ . B'
• (A . B)‘ = A‘ + B‘

Pro logiku:

• ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Řešené příklady z De Morganova zákona

Úloha 1: Vzhledem k tomu, že U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} a B = {2, 3, 9}. Dokažte De Morganův druhý zákon.

Řešení:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} a B = {2, 3, 9}

Dokázat: (A ∩ B)‘ = A‘ ∪ B‘

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)‘ = {3, 7, 8, 9}

A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

A’ = {3, 8, 9}

B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B‘ = {7, 8}

řetězec.hodnota

A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)‘ = A‘ ∪ B‘

ahoj světe java

Problém 2: Vzhledem k tomu, že U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} a B = {4, 6, 9}. Dokažte De Morganův první zákon.

Řešení:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} a B = {4, 6, 9}

Dokázat: (A ∪ B)‘ = A‘ ∩ B‘

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)‘ = {8}

A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A’ = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B‘ = {1, 8}

A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A’ ∩ B’ = {8}

(A ∪ B)‘ = A‘ ∩ B‘

Proto Proved

Problém 3: Zjednodušte booleovský výraz: Y = [(A + B).C]’

Řešení:

Y = [(A + B).C]'

Použití De Morganova zákona (A . B)‘ = A‘ + B‘

Y = (A + B)' + C'

Použití De Morganova zákona (A + B)‘ = A‘. B'

Y = A'. B' + C'

Problém 4: Zjednodušte booleovský výraz: X = [(A + B)’ + C]’

Řešení:

X = [(A + B)’ + C]’

Použití De Morganova zákona (A + B)‘ = A‘. B'

X = [(A + B)’]’ . C'

X = (A + B). C'

Další informace najdete v těchto zdrojích:

Ukažte příklady De Morganova zákona

Praktické příklady z Morganova zákona

Příklad 1: Polevy na pizzu

Představte si, že jste na pizze a bylo vám řečeno, že si můžete vybrat libovolné polevy kromě hub a oliv dohromady.

• Použití De Morganova zákona : To znamená, že pokud nechcete houby i olivy (Not (Houby a Olivy)), můžete buď nemít houby (Not Mushrooms), nebo nemít olivy (Not Olives) na pizze. Takže si můžete dát pizzu jen s houbami, jen olivami, nebo ani jedno!

Příklad 2: Knihy z knihovny

Váš učitel říká, že nemůžete do třídy nosit knihy o čarodějích nebo dracích.

• Použití De Morganova zákona : To znamená, že pokud nemáte povoleny knihy o čarodějích nebo dracích (Not (Wizards or Dragons)), nemůžete si přinést knihy o čarodějích (Not Wizards) a nemůžete si přinést knihy o dracích (Not Dragons). Takže knihy o vesmíru nebo zvířatech jsou stále v pořádku!

Příklad 3: Hra venku

Tvoje máma říká, že si nemůžeš hrát venku, když prší a zároveň je zima.

• Použití De Morganova zákona : To znamená, že pokud nejdete ven, protože prší a je zima (Not (Raining and Cold)), nevycházeli byste, pokud právě prší (Not Raining) nebo jen zima (Not Cold). Ale pokud je slunečno a teplo, můžete vyrazit!

Příklad 4: Výběr filmu

Váš přítel říká, že se nechce dívat na film, který je děsivý nebo nudný.

• Použití De Morganova zákona : To znamená, že pokud váš přítel nechce film, který je děsivý nebo nudný (Not (Scary or Boring)), nechce strašidelný film (Not Scary) a nechce nudný film (Not Boring) . Takže vtipný nebo vzrušující film by byl perfektní!

Logické aplikace De Morganova zákona

Z Morganova zákona – FAQ

State De Morganovo první právní prohlášení v teorii množin.

První De Morganův zákon v teorii množin říká, že doplněk spojení dvou množin se rovná průniku jejich jednotlivých doplňků.

Druhý zákon State De Morgan v Booleově algebře.

Druhý De Morganův zákon v Booleově algebře říká, že doplněk AND dvou nebo více proměnných se rovná NEBO doplňku každé proměnné.

Napište vzorec pro De Morganův zákon v teorii množin.

Vzorec pro De Morganův zákon v teorii množin:

(i) (A ∪ B)‘ = A‘ ∩ B‘

(ii) (A ∩ B)‘ = A‘ ∪ B‘

Napište vzorec pro De Morganův zákon v Booleově algebře.

Vzorec pro De Morganův zákon v Booleově algebře:

(i) (A + B)‘ = A‘ . B'

(ii) (A . B)‘ = A‘ + B‘

Napište několik aplikací De Morganova zákona.

Některá z aplikací De Morganova zákona je minimalizovat složitý booleovský výraz a zjednodušit jej.

Jak dokázat De Morganův zákon?

De Morganův zákon v teorii množin lze dokázat pomocí Vennových diagramů a De Morganův zákon v Booleově algebře lze dokázat pravdivostními tabulkami.