Booleovská algebra je typ algebry, která je vytvořena ovládáním binárního systému. V roce 1854 navrhl tuto algebru George Boole, anglický matematik. Toto je varianta Aristotelovy výrokové logiky, která používá symboly 0 a 1, neboli pravda a nepravda. Booleovská algebra se zabývá binárními proměnnými a logickými operacemi.
Booleovská algebra je zásadní ve vývoji digitálních elektronických systémů, protože všechny používají koncept Booleovská algebra provádět příkazy. Kromě digitální elektroniky nachází tato algebra uplatnění také v teorii množin, statistice a dalších odvětvích matematiky.
V tomto článku se podrobně seznámíme se základními booleovskými operacemi, booleovskými výrazy, pravdivostními tabulkami, booleovskými zákony a dalšími.
Obsah
- Booleovské algebrické operace
- Tabulka booleovské algbery
- Booleovský výraz a proměnné
- Booleovské algebrické terminologie
- Pravdivé tabulky v Booleově algebře
- Pravidla booleovské algebry
- Zákony pro booleovskou algebru
- Booleovské algebrické věty
- Řešené příklady z Booleovské algebry
Booleovské algebrické operace
V Booleově algebře se používají různé operace, ale základní operace, které tvoří základ Booleovy algebry, jsou.
- Negace nebo NOT Operation
- Spojení nebo operace AND
- Disjunkce nebo Operace OR
Booleovský výraz algebry
Šek: Základy booleovské algebry v digitální elektronice
Tyto operace mají své vlastní symboly a prioritu a tabulka přidaná níže ukazuje symbol a prioritu těchto operátorů.
Operátor | Symbol | Přednost srovnání lva a tygra |
|---|---|---|
NE | ‘ (nebo) ⇁ | První |
A | . (nebo) ∧ | Druhý |
NEBO | + (nebo) ∨ | Třetí |
Tyto operace můžeme snadno definovat pomocí dvou booleovských proměnných.
Vezměme si dvě booleovské proměnné A a B, které mohou mít kteroukoli ze dvou hodnot 0 nebo 1, tj. mohou být buď VYPNUTO, nebo ZAPNUTO. Poté jsou tyto operace vysvětleny jako,
Operace Negation or NOT
Za použití NE operace obrátit hodnotu booleovské proměnné z 0 na 1 nebo naopak. To lze chápat takto:
- Pokud A = 1, pak pomocí operace NOT máme (A)‘ = 0
- Pokud A = 0, pak pomocí operace NOT máme (A)‘ = 1
- Operaci negace také reprezentujeme jako ~A, tj. pokud A = 1, ~A = 0
Šek: Vlastnosti Booleovy algebry
Konjunkce nebo operace AND
Za použití A operace splňuje podmínku, pokud jsou obě hodnoty jednotlivých proměnných pravdivé a pokud je některá z hodnot nepravda, pak tato operace dává záporný výsledek. To lze chápat jako,
- Pokud A = Pravda, B = Pravda, pak A . B = pravda
- Pokud A = Pravda, B = Nepravda, Nebo A = Nepravda, B = Pravda, pak A . B = nepravda
- Jestliže A = False, B = False, pak A . B = nepravda
Šek: Booleovské algebraické věty
Operace disjunkce (OR).
Za použití NEBO operace splňuje podmínku, pokud je některá hodnota jednotlivých proměnných pravdivá, záporný výsledek dává pouze tehdy, jsou-li obě hodnoty nepravdivé. To lze chápat jako,
najít můj iphone android
- Pokud A = Pravda, B = Pravda, pak A + B = Pravda
- Pokud A = Pravda, B = Nepravda, Nebo A = Nepravda, B = Pravda, pak A + B = Pravda
- Pokud A = False, B = False, pak A + B = False
Tabulka booleovské algebry
Níže je uveden výraz pro booleovskou algebru
| Úkon | Symbol | Definice |
|---|---|---|
| A provoz | ⋅ nebo ∧ | Vrátí hodnotu true, pouze pokud jsou oba vstupy pravdivé. |
| NEBO Operace | + nebo ∨ | Vrátí hodnotu true, pokud je alespoň jeden vstup pravdivý. |
| NE Provoz | ¬ nebo ∼ | Obrátí vstup. |
| Operace XOR | ⊕ | Vrátí hodnotu true, pokud je pravdivý právě jeden vstup. |
| Provoz NAND | ↓ | Vrátí false, pouze pokud jsou oba vstupy pravdivé. |
| Provoz NOR | ↑ | Vrátí hodnotu false, pokud je alespoň jeden vstup pravdivý. |
| Operace XNOR | ↔ | Vrátí hodnotu true, pokud jsou oba vstupy stejné. |
Booleovský výraz a proměnné
Booleovský výraz je výraz, který při vyhodnocení vytváří logickou hodnotu, tj. vytváří buď pravdivou hodnotu, nebo nepravdivou hodnotu. Zatímco booleovské proměnné jsou proměnné, které ukládají booleovská čísla.
P + Q = R je booleovská fráze, ve které P, Q a R jsou booleovské proměnné, které mohou uložit pouze dvě hodnoty: 0 a 1. 0 a 1 jsou synonyma pro nepravdu a pravdu a používají se v booleovské algebře, někdy také používáme Yes místo True a No místo False.
Můžeme tedy říci, že příkazy používající booleovské proměnné a pracující na booleovských operacích jsou booleovské výrazy. Některé příklady booleovských výrazů jsou,
- A + B = pravda
- A.B = pravda
- (A)' = nepravda
Šek: Axiomy Booleovy algebry
Booleovské algebrické terminologie
Existují různé terminologie související s Booleovou algebrou, které se používají k vysvětlení různých parametrů Booleovská algebra . To zahrnuje,
- Booleovská algebra
- Booleovské proměnné
- Booleovská funkce
- Doslovný
- Doplněk
- Tabulka pravdy
Nyní budeme diskutovat o důležitých terminologiích Booleovy algebry v článku níže,
Booleovská algebra
Obor algebry, který se zabývá binárními operacemi nebo logickými operacemi, se nazývá Booleovská algebra. Zavedl jej George Boole v polovině 19. století. Používá se k analýze a manipulaci s logickými funkcemi v binárních proměnných. Je široce používán v různých oblastech, jako je návrh digitální logiky, informatika a telekomunikace.
Booleovské proměnné
Proměnné používané v booleovské algebře, které uchovávají logickou hodnotu 0 a 1, se nazývají booleovské proměnné. Používají se k ukládání hodnot true nebo false. Booleovské proměnné jsou zásadní pro reprezentaci logických stavů nebo tvrzení v booleovských výrazech a funkcích.
Booleovská funkce
Funkce booleovské algebry, která je tvořena použitím booleovských proměnných a booleovských operátorů, se nazývá booleovská funkce. Je tvořen kombinací booleovských proměnných a logických výrazů jako AND, OR a NOT. Používá se k modelování logických vztahů, podmínek nebo operací.
Doslovný
Proměnná nebo doplněk proměnné v booleovské algebře se nazývá literál. Literály jsou základními stavebními kameny booleovských výrazů a funkcí. Představují operandy v logických operacích.
Doplněk
Inverzní hodnota k booleovské proměnné se nazývá doplněk proměnné. Doplněk 0 je 1 a doplněk 1 je 0. Je reprezentován ‚ nebo (¬) nad proměnnou. Doplňky se používají k reprezentaci logických negací v booleovských výrazech a funkcích.
Tabulka pravdy
Tabulka obsahující všechny možné hodnoty logických proměnných a kombinaci proměnné spolu s danou operací se nazývá pravdivostní tabulka. Počet řádků v pravdivostní tabulce závisí na celkovém počtu booleovských proměnných použitých v této funkci. Je dán pomocí vzorce,
Počet řádků v tabulce pravdy = 2 n
kde n je počet použitých booleovských proměnných.
Šek:
- Teorie množin
- Statistika
Pravdivé tabulky v booleovské algebře
Pravdivostní tabulka představuje všechny kombinace vstupních hodnot a výstupů tabulkovým způsobem. Jsou v ní znázorněny všechny možnosti vstupu a výstupu a odtud název pravdivostní tabulka. V logických úlohách se k reprezentaci různých případů běžně používají pravdivostní tabulky. T nebo 1 znamená „True“ a F nebo 0 znamená „False“ v pravdivostní tabulce.
Příklad: Nakreslete pravdivostní tabulku podmínek A + B a A.B, kde A a b jsou booleovské proměnné.
Řešení:
Požadovaná tabulka pravdy je,
| A | B | X = A + B | Y = A.B |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
| F | F | F | F |
Pravidla booleovské algebry
V Booleovské algebře existují různá základní pravidla pro logické vyjádření.
- Binární reprezentace: V booleovské algebře mohou mít proměnné pouze dvě hodnoty buď 0 nebo 1, kde 0 představuje nízkou a 1 představuje vysokou. Tyto proměnné představují logické stavy systému.
- Zastoupení doplňku: Doplněk proměnných je reprezentován (¬) nebo (‘) nad proměnnou. To znamená logickou negaci nebo inverzi hodnoty proměnné. Takže doplněk proměnné A může být reprezentován
overline{A} ,pokud je hodnota A=0, pak je jeho doplněk 1. - NEBO Operace: Operace OR je reprezentována (+) mezi proměnnými. Operace OR vrátí hodnotu true, pokud je alespoň jeden z operandů pravdivý. Pro příklady vezměme tři proměnné A,B,C operaci OR lze reprezentovat jako A+B+C.
- A provoz: Operace AND je označena (.) mezi proměnnými. Operace AND vrátí hodnotu true, pouze pokud jsou všechny operandy pravdivé. Pro příklady vezměme tři proměnné A, B, C operace AND může být reprezentována A.B.C nebo ABC.
Zákony pro booleovskou algebru
Základní zákony Booleovy algebry jsou přidány do tabulky přidané níže,
| Zákon | NEBO formulář | A formulář |
|---|---|---|
| Zákon o identitě | P + 0 = P | P.1 = P |
| Idempotentní zákon | P + P = P | P.P = P |
| Komutativní právo | P + Q = Q + P | P.Q = Q.P |
| Asociační právo | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q.R |
| Distribuční právo | P + QR = (P + Q). (P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
| Inverzní zákon | (A‘)‘ = A | (A‘)‘ = A |
| Z Morganova zákona | (P + Q)’ = (P)’.(Q)’ | (P.Q)’ = (P)’ + (Q)’ |
Pojďme se o těchto zákonech podrobně seznámit.
Zákon o identitě
V Booleovské algebře máme prvky identity pro operace AND(.) i OR(+). Zákon identity říká, že v booleovské algebře máme takové proměnné, že při operacích AND a OR dostaneme stejný výsledek, tj.
matematika.náhodná java
- A + 0 = A
- A.1 = A
Komutativní právo
Binární proměnné v Booleově algebře se řídí komutativním zákonem. Tento zákon říká, že provozní booleovské proměnné A a B jsou podobné provozním booleovským proměnným B a A. To znamená,
- A. B = B. A
- A + B = B + A
Asociační právo
Asociativní zákon říká, že pořadí provádění booleovských operátorů je nelogické, protože jejich výsledek je vždy stejný. To lze chápat jako,
- (A.B). C = A. ( PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM )
- ( A + B ) + C = A + ( B + C)
Distribuční právo
Booleovské proměnné se také řídí distributivním zákonem a výraz pro distribuční zákon je dán takto:
- A ( B + C) = (A . B) + (A . C)
Inverzní zákon
Zákon inverze je jedinečný zákon Booleovy algebry, tento zákon říká, že doplňkem doplňku libovolného čísla je samotné číslo.
- (A‘)‘ = A
Kromě těchto dalších zákonů jsou uvedeny níže:
A Zákon
Zákon AND Booleovy algebry používá operátor AND a zákon AND je,
- A 0 = 0
- A 1 = A
- A A = A
NEBO Zákon
Zákon OR Booleovy algebry používá operátor OR a zákon OR je,
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
Nazývají se také De Morganovy zákony Z Morganovy věty . Jsou to nejdůležitější zákony Booleovská algebra a ty jsou přidány níže pod nadpis Booleovská věta o algebře
Booleovské algebrické věty
V Booleově algebře jsou velmi důležité dvě základní věty, kterými jsou De Morganovy první zákony a De Morganovy druhé zákony. Říká se jim také De Morganovy věty. Nyní se o obou podrobně seznámíme.
De Morganovy první zákony
Pravdivostní tabulka pro totéž je uvedena níže:
| P | Q | (P)' | (Q)' | (P.Q)“ | (P)’ + (Q)’ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Jasně vidíme, že pravdivostní hodnoty pro (P.Q)' se rovnají pravdivostním hodnotám pro (P)' + (Q)', což odpovídá stejnému vstupu. De Morganův první zákon je tedy pravdivý.
Z Morganových druhých zákonů
Prohlášení: Doplněk součtu (OR) dvou booleovských proměnných (nebo výrazů) se rovná součinu (AND) doplňku každé booleovské proměnné (nebo výrazu).
(P + Q)’ = (P)’.(Q)’
Důkaz:
Pravdivostní tabulka pro totéž je uvedena níže:
| P | Q | (P)' | (Q)' | (P + Q)“ | (P)'. (Q)' |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Jasně vidíme, že pravdivostní hodnoty pro (P + Q)’ se rovnají pravdivostním hodnotám pro (P)’.(Q)’, což odpovídá stejnému vstupu. Druhý De Morganův zákon je tedy pravdivý.
Přečtěte si více,
Řešené příklady z Booleovské algebry
Nakreslete tabulku pravdy pro P + P.Q = P
Řešení:
Pravdivostní tabulka pro P + P.Q = P
P Q P.Q P + P.Q T T T T T F F T F T F F F F F F V pravdivostní tabulce můžeme vidět, že pravdivostní hodnoty pro P + P.Q jsou přesně stejné jako P.
Nakreslete tabulku pravdy pro P.Q + P + Q
Řešení:
Pravdivostní tabulka pro P.Q + P + Q
P Q P.Q P.Q + P + Q T T T T T F F T F T F T F F F F
Řešit
Řešení:
Použití De Morganova zákona
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) Použití distribučního práva
kdy končí q1
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C Tedy zjednodušený výraz pro danou rovnici
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
Závěr
Booleovská algebra slouží jako základní rámec pro reprezentaci a manipulaci s logickými výrazy pomocí binárních proměnných a logických operátorů. Hraje klíčovou roli v různých oblastech, jako je návrh digitální logiky, počítačové programování a analýza obvodů. Tím, že poskytuje systematický způsob popisu a analýzy logických vztahů, umožňuje booleovská algebra vývoj komplexních systémů a algoritmů. Jeho principy a operace, včetně AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR a XNOR, tvoří stavební kameny pro navrhování logických obvodů, psaní efektivního kódu a řešení logických problémů.
Booleovská algebra - FAQ
Co je Booleovská algebra?
Booleovská algebra se také nazývá Logická algebra je obor matematiky, který se zabývá booleovskými proměnnými, jako jsou 0 a 1.
Co jsou hlavní booleovské operátory?
Existují tři hlavní booleovské operátory,
- AND (konjunkce)
- NEBO (Disjunkce)
- NE (negace)
Jak minimalizovat booleovskou funkci?
Existuje několik metod pro minimalizaci booleovských funkcí, včetně:
- Algebraické zjednodušení:
- Karnaugh Maps (K-Maps):
- Quine-McCluskeyho algoritmus:
- Metoda tabulky:
- Podmínky nezájmu:
Jaké jsou aplikace booleovské algebry?
Booleovská algebra má různé aplikace. Slouží ke zjednodušení logických obvodů, které jsou páteří moderních technologií.
Co znamená 0 v booleovské algebře?
0 palců Booleovská algebra představují podmínku False nebo představují podmínku vypnutí.
Co znamená 1 v Booleově algebře?
1 palec Booleovská algebra představují podmínku True nebo představují podmínku zapnutí.
Co jsou zákony Booleovy algebry?
Zákony booleovské algebry jsou pravidla pro manipulaci s logickými výrazy s binárními proměnnými, zajištění konzistence a zjednodušení operací, jako je sčítání, násobení a doplňování, které jsou klíčové v oborech, jako je digitální elektronika a informatika.
Jakých je 5 zákonů Booleovy algebry?
Booleovská algebra se řídí pěti primárními zákony, které slouží jako základ pro manipulaci s logickými výrazy:
1. Zákon identity pro AND
2. Zákon o identitě pro OR
3. Doplňkový zákon pro AND
4. Doplňkový zákon pro OR
5. Idempotentní zákon
Jaké jsou 3 zákony v booleovské logice?
Tři základní zákony v booleovské logice jsou
- Zákon o identitě (přičtením nuly nebo vynásobením jednou zůstane proměnná nezměněna)
- Zákon o nadvládě (přidání proměnné k jejímu doplňku má za následek 1 a násobení jejím doplňkem má za následek 0)
- Komutativní zákon (pořadí proměnných lze přepínat sčítáním nebo násobením beze změny výsledku).
Co je De Morganova věta?
De Morganova věta tvrdí, že t doplněk logické operace AND je ekvivalentní operaci OR doplňků jednotlivých členů, a naopak. Je to základní princip v Booleovské algebře používaný pro zjednodušení logických výrazů a optimalizaci logických obvodů.