INVERZNÍ MATICE

The inverzní k Matrixu je matice, která po vynásobení původní maticí vede k matici identity. Pro jakoukoli matici A se její inverzní označí jako A^-1.

Pojďme se podrobně dozvědět o inverzní matici, včetně její definice, vzorce, metod, jak najít inverzní matici, a příkladů.

Obsah

Inverzní matice
Termíny související s Matrix Inverse
Jak najít inverzi matice?
Inverzní maticový vzorec
Metoda inverzní matice
Inverzní příklad matice 2×2
Determinant inverzní matice
Vlastnosti inverzní matice
Maticově inverzně řešené příklady

Inverzní matice je další matice, která po vynásobení danou maticí dává hodnotu multiplikativní identita .

Pro matici A a její inverzi k A^-1, vlastnost identity drží.

A.A ^-1 = A ^-1 A = já

kde já je matice identity.

Níže uvedená terminologie vám může pomoci pochopit inverzní matici jasněji a snadněji.

Podmínky	Definice	Vzorec/proces	Příklad s Matrix A
Méně důležitý	Menší hodnota prvku v matici je determinantem matice vytvořené odstraněním řádku a sloupce tohoto prvku.	Pro prvek a_ij, odstraňte i-tý řádek a j-tý sloupec a vytvořte novou matici a najděte její determinant.	Menší z A _jedenáct je určujícím faktorem A = egin{bmatrix}5 & 6 6 & 7end{bmatrix}
Kofaktor	Kofaktor prvku je menší část tohoto prvku vynásobená (-1) ^i+j , kde i a j jsou řádkové a sloupcové indexy prvku.	Kofaktor a_ij= (-1)^i+jNezletilý z a_ij	Kofaktor A _jedenáct = (-1) ¹⁺¹ × Menší z A _jedenáct = nezletilý A _jedenáct
Determinant	Determinant matice se vypočítá jako součet součinů prvků libovolného řádku nebo sloupce a jejich příslušných kofaktorů.	Pro řádek (nebo sloupec) sečtěte součin každého prvku a jeho kofaktoru.	Determinant A = A _jedenáct × Kofaktor A _jedenáct + A ₁₂ × Kofaktor A ₁₂ + A ₁₃ × Kofaktor A ₁₃ .
Náměstek	Adjoint matice je transpozice její kofaktorové matice.	Vytvořte matici kofaktorů pro každý prvek původní matice a poté ji transponujte.	Adjoint A je transpozice matice tvořené kofaktory všech prvků v A.

Singulární matice

Matice, jejíž hodnota determinantu je nula, se nazývá singulární matice, tj. jakákoli matice A se nazývá singulární matice, jestliže |A| = 0. Inverzní k singulární matici neexistuje.

Non-singulární matice

Matice, jejíž hodnota determinantu je nenulová, se nazývá nesingulární matice, tj. jakákoli matice A se nazývá nesingulární matice, jestliže |A| ≠ 0. Existuje inverzní matice k nesingulární matici.

Matice identity

Čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky nulové kromě hlavních diagonálních prvků, se nazývá matice identity. Je reprezentován pomocí I. Je to identifikační prvek matice jako u jakékoli matice A,

A×I = A

Příkladem matice identity je např.

já_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Toto je matice identity řádu 3×3.

Přečtěte si více :

Matice identity

Jak najít inverzi matice?

Existují dva způsoby, jak najít inverzní matici v matematice:

Použití maticového vzorce
Použití metod inverzní matice

Inverzní maticový vzorec

Inverzní k matici A, tedy A^-1se vypočítá pomocí inverzního vzorce matice, který zahrnuje dělení adjungovaného matice jejím determinantem.

Inverzní maticový vzorec

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

kde,

adj A = adjunkce matice A, a
|A| = determinant matice A.

Poznámka : Tento vzorec funguje pouze na čtvercové matice.

Chcete-li najít inverzi matice pomocí inverze maticového vzorce, postupujte takto.

Krok 1: Určete minority všech prvků A.

Krok 2: Dále vypočítejte kofaktory všech prvků a sestavte kofaktorovou matici nahrazením prvků A jejich příslušnými kofaktory.

Krok 3: Proveďte transpozici kofaktorové matice A a najděte její adjungování (zapsané jako adj A).

Krok 4: Vynásobte adj A reciprokou determinantu A.

Nyní pro jakoukoli nesingulární čtvercovou matici A,

A ^-1 = 1 / |A| × Úprava (A)

Příklad: Najděte inverzní hodnotu maticeA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]pomocí vzorce.

My máme,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Najděte adjunkci matice A tak, že spočítáte kofaktory každého prvku a poté získáte transpozici matice kofaktorů.

adj A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Najděte hodnotu determinantu matice.

|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)

⇒ |A| = 49

Takže inverzní matice je,

A^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Metoda inverzní matice

Existují dvě metody inverzní matice k nalezení inverzní matice:

Metoda determinantů
Elementární transformační metoda

Metoda 1: Metoda determinantu

Nejdůležitější metodou pro nalezení inverzní matice je použití determinantu.

celé číslo ve srovnání s javou

Inverzní matici lze také nalézt pomocí následující rovnice:

A ^-1 = adj(A) / det(A)

kde,

adj(A) je adjunktem matice A, a
to (A) je determinant matice A.

Pro nalezení adjunkce matice A je vyžadována kofaktorová matice A. Potom adjunkce (A) je transpozice matice kofaktoru A, tj.

adj (A) = [C _ij ] ^T

Pro kofaktor matice, tj. C_ij, můžeme použít následující vzorec:

C _ij = (-1) ^i+j to (M _ij )

kde M _ij Odkazuje na (i, j) ^čt vedlejší matice když i ^čt řádek a j ^čt sloupec je odstraněn.

Metoda 2: Metoda elementární transformace

Chcete-li najít inverzní matici metodou elementární transformace, postupujte podle následujících kroků.

Krok 1 : Napište danou matici jako A = IA, kde I je matice identity stejného řádu jako A.

Krok 2 : Použijte posloupnost buď řádkových operací nebo sloupcových operací, dokud není dosaženo matice identity na LHS, také použijte podobné elementární operace na RHS tak, že dostaneme I = BA. Matice B na RHS je tedy inverzní k matici A.

Krok 3: Ujistěte se, že při provádění elementárních operací používáme operaci s řádkem nebo sloupcem.

Pomocí elementární operace můžeme snadno najít inverzní matici 2 × 2. Pojďme to pochopit pomocí příkladu.

Příklad: Najděte inverzní hodnotu k 2 × 2, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}pomocí elementární operace.

Řešení:

Vzhledem k tomu:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Nyní, R₁⇢ R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂– R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R₁⇢ R₁– R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Tedy inverzní matice A = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} je

A^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

Inverzní příklad matice 2×2

Inverzní k matici 2×2 lze kromě výše uvedené metody vypočítat také pomocí zkratkové metody. Podívejme se na příklad, abychom pochopili zkratkovou metodu pro výpočet inverzní matice 2 × 2.

Pro danou matici A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Víme, |A| = (reklama – bc)

a adj A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

pak pomocí vzorce pro inverzní

A^-1= (1 / |A|) × Adj A

⇒ A^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

Vypočítá se tedy inverzní matice 2 × 2.

Inverzní příklad matice 3X3

Vezměme libovolnou matici 3×3 A =egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

Inverzní matice 3×3 se vypočítá pomocí inverzní maticový vzorec ,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Determinant inverzní matice

Determinant inverzní matice je reciprokou hodnotou determinantu původní matice. tj.,

to (A ^-1 ) = 1 / it(A)

Důkaz výše uvedeného tvrzení je diskutován níže:

det(A × B) = det (A) × det (B) (již víme)

⇒ A × A^-1= I (podle vlastnosti inverzní matice)

⇒ it(A × A^-1) = to (já)

⇒ it(A) × it(A^-1) = det(I) [ ale, det(I) = 1]

⇒ it(A) × it(A^-1) = 1

⇒ to (A^-1) = 1 / it(A)

Proto Proved.

Vlastnosti inverzní matice

Inverzní matice má následující vlastnosti:

Pro jakoukoli nesingulární matici A, (A ^-1 ) ^-1 = A
Pro libovolné dvě nesingulární matice A a B, (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
Inverzní k nesingulární matici existuje, k singulární matici inverzní neexistuje.
Pro jakékoli nejednotné A, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Příbuzný:

Invertible Matrix
Matice: Vlastnosti a vzorce
Matematické operace na maticích
Determinant matice
Jak najít determinant matice?

Maticově inverzně řešené příklady

Pojďme vyřešit několik příkladů otázek na Inverse of Matrix.

Příklad 1: Najděte inverzní hodnotu maticeold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}pomocí vzorce.

Řešení:

My máme,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Najděte adjunkci matice A tak, že spočítáte kofaktory každého prvku a poté získáte transpozici matice kofaktorů.

adj A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Najděte hodnotu determinantu matice.

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

Takže inverzní matice je,

A^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

Příklad 2: Najděte inverzní hodnotu matice A=old{ pomocí vzorce.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Řešení:

My máme,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Najděte adjunkci matice A tak, že spočítáte kofaktory každého prvku a poté získáte transpozici matice kofaktorů.

adj A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Najděte hodnotu determinantu matice.

|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)

= 16

Takže inverzní matice je,

A^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]
příklad podřetězce java

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

Příklad 3: Najděte inverzní hodnotu matice A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } pomocí vzorce.

Řešení:

My máme,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Najděte adjunkci matice A tak, že spočítáte kofaktory každého prvku a poté získáte transpozici matice kofaktorů.

adj A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Najděte hodnotu determinantu matice.

|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)

= 1

Takže inverzní matice je,

A^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Příklad 4: Najděte inverzní hodnotu matice A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } pomocí vzorce.

Řešení:

My máme,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Najděte adjunkci matice A tak, že spočítáte kofaktory každého prvku a poté získáte transpozici matice kofaktorů.

adj A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Najděte hodnotu determinantu matice.

|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)

= 20

Takže inverzní matice je,

A^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Často kladené otázky o inverzní matici

Co je inverze k Matrixu?

Reciproká matice se nazývá inverzní matice. Pouze čtvercové matice s nenulovými determinanty jsou invertibilní. Předpokládejme, že pro jakoukoli čtvercovou matici A s inverzní maticí B je jejich součin vždy maticí identity (I) stejného řádu.

[A]×[B] = [I]

Co je Matrix?

Matice je obdélníkové pole čísel, která jsou rozdělena do definovaného počtu řádků a sloupců. Počet řádků a sloupců v matici se označuje jako její rozměr nebo pořadí.

Co je inverzní matice 2×2?

Pro jakoukoli matici A nebo řád 3×3 se její inverzní najde pomocí vzorce,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Co je inverzní matice 3×3?

Inverzní k libovolné čtvercové matici 3×3 (řekněme A) je matice stejného řádu označená A^-1tak, že jejich produktem je matice identity řádu 3×3.

[A] _3×3 × [A ^-1 ] _3×3 = [já] _3×3

Jsou Adjoint a Inverse of Matrix totéž?

Ne, adjunkce matice a inverzní matice nejsou stejné.

Jak používat inverzi matice?

Inverzní matice se používá pro řešení algebraických výrazů v maticovém tvaru. Například pro řešení AX = B, kde A je matice koeficientů, X je proměnná matice a B je konstantní matice. Zde je matice proměnných nalezena pomocí inverzní operace jako,

X = A ^-1 B

Co jsou invertibilní matice?

Matice, jejichž inverzní existuje, se nazývají invertibilní. Invertibilní matice jsou matice, které mají nenulový determinant.

Proč neexistuje inverzní matice 2 × 3?

Existuje inverzní pouze čtvercová matice. Protože matice 2 × 3 není čtvercová, ale spíše obdélníková, její inverzní neexistuje.

Podobně matice 2 × 1 také není čtvercová matice, ale spíše obdélníková matice, takže její inverzní neexistuje.

Co je inverzní matice identity?

Inverzní matice identity je samotná matice identity. Je to proto, že matice identity, označovaná jako já (nebo já _n pro n × n matice), je jedinou maticí, pro kterou je každý prvek podél hlavní diagonály 1 a všechny ostatní prvky jsou 0. Když matici identity vynásobíme samotnou (nebo její inverzní), dostaneme znovu matici identity.

Inverzní k matici