Matice je obdélníkové pole čísel, symbolů, bodů nebo znaků, z nichž každý patří do určitého řádku a sloupce. Matice je identifikována svým pořadím, které je dáno ve formě řádků ⨯ a sloupců. Čísla, symboly, body nebo znaky přítomné uvnitř matice se nazývají prvky matice. Umístění každého prvku je dáno řádkem a sloupcem, do kterého patří.

Matice jsou důležité pro studenty 12. třídy a mají velký význam také v inženýrské matematice. V tomto úvodním článku o maticích se podrobně seznámíme s typy matic, transpozicí matic, hodností matic, adjungováním a inverzí matic, determinanty matic a mnoha dalšími.

Obsah

• Co jsou matice?
• Řád Matrixu
• Příklady matic
• Operace na maticích
• Přidání matic
• Skalární násobení matic
• Násobení matic
• Vlastnosti sčítání a násobení matic
• Transpozice Matrixu
• Stopa Matrixu
• Typy matic
• Determinant matice
• Inverzní k matici
• Řešení lineární rovnice pomocí matic
• Hodnost Matrixu
• Vlastní hodnota a vlastní vektory matic

Co jsou matice?

Matice jsou obdélníková pole čísel, symbolů nebo znaků, kde jsou všechny tyto prvky uspořádány v každém řádku a sloupci. Pole je sbírka položek uspořádaných na různých místech.

Předpokládejme, že body jsou uspořádány v prostoru, z nichž každý patří ke konkrétnímu místu, pak se vytvoří pole bodů. Toto pole bodů se nazývá matice. Položky obsažené v matici se nazývají prvky matice. Každá matice má konečný počet řádků a sloupců a každý prvek patří pouze do těchto řádků a sloupců. Počet řádků a sloupců přítomných v matici určuje pořadí matice. Řekněme, že matice má 3 řádky a 2 sloupce, pak je pořadí matice dáno jako 3⨯2.

Definice matic

Obdélníkové pole čísel, symbolů nebo znaků se nazývá matice. Matice jsou identifikovány podle jejich pořadí. Pořadí matic je dáno ve tvaru počet řádků ⨯ počet sloupců. Matice je reprezentována jako [P]_m⨯nkde P je matice, m je počet řádků a n je počet sloupců. Matice v matematice jsou užitečné při řešení mnoha problémů lineárních rovnic a mnoha dalších.

Řád Matrixu

Řád Matrixu vypovídá o počtu řádků a sloupců přítomných v matici. Pořadí matice je reprezentováno jako počet řádků krát počet sloupců. Řekněme, že pokud má matice 4 řádky a 5 sloupců, bude pořadí matice 4⨯5. Vždy pamatujte, že první číslo v pořadí označuje počet řádků přítomných v matici a druhé číslo označuje počet sloupců v matici.

Příklady matic

Příklady matic jsou uvedeny níže:

Příklad: egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2},egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

Operace na maticích

Matice podstupují různé matematické operace, jako je sčítání, odčítání, skalární násobení a násobení. Tyto operace se provádějí mezi prvky dvou matic, aby se získala ekvivalentní matice, která obsahuje prvky, které jsou získány jako výsledek operace mezi prvky dvou matic. Naučme se provoz matric .

Přidání matic

v doplnění matric , prvky dvou matic se sečtou, čímž vznikne matice, která obsahuje prvky získané jako součet dvou matic. Sčítání matic se provádí mezi dvěma maticemi stejného řádu.

Příklad: Najděte součet old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} a old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Řešení:

historie v Javě

Tady máme A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}a B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

Odečítání matic

Odečítání matic je rozdíl mezi prvky dvou matic stejného řádu, aby se získala ekvivalentní matice stejného řádu, jejíž prvky se rovnají rozdílu prvků dvou matic. Odečítání dvou matic lze znázornit jako sčítání dvou matic. Řekněme, že musíme odečíst matici B od matice A, pak můžeme napsat A – B. Můžeme ji také přepsat jako A + (-B). Řešíme příklad

Příklad: Odečíst old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} z old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }.

Předpokládejme A =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}a B =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

Skalární násobení matic

Skalární násobení matic se týká násobení každého členu matice skalárním členem. Pokud je skalární ‚k‘ vynásobeno maticí, pak ekvivalentní matice bude obsahovat prvky rovné součinu skaláru a prvku původní matice. Podívejme se na příklad:

Příklad: Vynásobte 3 s old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}.

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

Násobení matic

V násobení matic , dvě matice se vynásobí a získá se jedna ekvivalentní matice. Násobení se provádí tak, že se prvky řádku první matice vynásobí prvky sloupců druhé matice a součin prvků se sečte, aby se získal jeden prvek ekvivalentní matice. Pokud matice [A]_i⨯jse vynásobí maticí [B]_j⨯kpak je produkt uveden jako [AB]_i⨯k.

Podívejme se na příklad.

Příklad: Najděte produkt z old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} a old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Řešení:

Nechť A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}a B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

Vlastnosti sčítání a násobení matic

Vlastnosti následované Násobením a sčítáním matic jsou uvedeny níže:

• A + B = B + A (komutativní)
• (A + B) + C = A + (B + C) (Asociativní)
• AB ≠ BA (nekomutativní)
• (AB) C = A (BC) (Asociativní)
• A (B+C) = AB + AC (distribuční)

Transpozice Matrixu

Transpozice Matrixu je v podstatě přeskupení řádkových prvků ve sloupci a sloupcových prvků v řádku za vzniku ekvivalentní matice. Matice, ve které jsou prvky řádku původní matice uspořádány do sloupců nebo naopak, se nazývá Transpose Matrix. Transpoziční matice je znázorněna jako A^T. pokud A = [a_ij]_mxn, pak^T= [b_ij]_nxmkde b_ij= a_z.

Podívejme se na příklad:

Příklad: Najděte transpozici egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} .

herec chiranjeevi

Řešení:

Nechť A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ A^T=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

Vlastnosti transpozice matice

Vlastnosti transpozice matice jsou uvedeny níže:

• (A^T)^T= A
• (A+B)^T= A^T+ B^T
• (AB)^T= B^TA^T

Stopa Matrixu

Stopa Matrixu je součet hlavních diagonálních prvků čtvercové matice. Stopa matice se nachází pouze v případě čtvercové matice, protože diagonální prvky existují pouze ve čtvercových maticích. Podívejme se na příklad.

Příklad: Najděte stopu matice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Řešení:

Předpokládejme A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Stopa(A) = 1 + 5 + 9 = 15

Typy matic

Na základě počtu přítomných řádků a sloupců a zobrazených speciálních charakteristik jsou matice klasifikovány do různých typů.

• Řádková matice : Matice, ve které je pouze jeden řádek a žádný sloupec, se nazývá matice řádků.
• Matice sloupců : Matice, ve které je pouze jeden sloupec a nyní řádek, se nazývá matice sloupců.
• Horizontální matice: Matice, ve které je počet řádků menší než počet sloupců, se nazývá horizontální matice.
• Vertikální matice: Matice, ve které je počet sloupců menší než počet řádků, se nazývá vertikální matice.
• Obdélníková matice : Matice, ve které je počet řádků a sloupců nestejný, se nazývá obdélníková matice.
• Čtvercová matice : Matice, ve které je počet řádků a sloupců stejný, se nazývá čtvercová matice.
• Diagonální matice : Čtvercová matice, ve které jsou nediagonální prvky nulové, se nazývá diagonální matice.
• Nulová nebo Nulová matice : Matice, jejíž všechny prvky jsou nulové, se nazývá nulová matice. Nulová matice se také nazývá Nulová matice.
• Unit nebo Identity Matrix : Diagonální matice, jejíž všechny diagonální prvky jsou 1, se nazývá jednotková matice. Jednotková matice se také nazývá matice identity. Matici identity představuje I.
• Symetrická matice : O čtvercové matici se říká, že je symetrická, pokud je transpozice původní matice rovna její původní matici. tj. (A^T) = A.
• Zkosená symetrická matice : Šikmá symetrická (nebo antisymetrická či antimetrická[1]) matice je čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná jejímu záporu, tj. (A^T) = -A.
• Ortogonální matice: O matici se říká, že je ortogonální, pokud je AA^T= A^TA = já
• Idempotentní matice: O matrici se říká, že je idempotentní, pokud A²= A
• Involuční matice: O matrici se říká, že je nevolitelná, pokud A²= já.
• Horní trojúhelníková matice : Čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky pod úhlopříčkou nulové, se nazývá horní trojúhelníková matice
• Dolní trojúhelníková matice : Čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky nad úhlopříčkou nulové, se nazývá spodní trojúhelníková matice
• Singulární matice : Čtvercová matice je považována za singulární matici, pokud je její determinant nulový, tj. |A|=0
• Nejednotná matice: O čtvercové matici se říká, že je nesingulární, pokud je její determinant nenulový.

Poznámka: Každou čtvercovou matici lze jednoznačně vyjádřit jako součet symetrické matice a šikmo symetrické matice. A = 1/2 (A^T+ A) + 1/2 (A – A^T).

Další informace Typy matic

Determinant matice

Determinant matice je číslo spojené s touto čtvercovou maticí. Determinant matice lze vypočítat pouze pro čtvercovou matici. Je reprezentován |A|. Determinant matice se vypočítá sečtením součinu prvků matice s jejich kofaktory.

Determinant matice

Podívejme se, jak najít determinant čtvercové matice.

Příklad 1: Jak najít determinant čtvercové matice 2⨯2?

Řekněme, že máme matici A =egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

Pak determinant je z A je |A| = inzerát – bc

Příklad 2: Jak najít determinant čtvercové matice 3⨯3?

Řekněme, že máme matici 3⨯3 A =egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

Potom |A| = a(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+ b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+ c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

Minor z Matrixu

Minor matice pro prvek je dán determinantem matice získaným po smazání řádku a sloupce, do kterého daný prvek patří. Minor of Matrix zastupuje Mij. Podívejme se na příklad.

Příklad: Najděte moll maticeegin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}pro prvek ‚a‘.

Vedlejší prvek prvku „a“ je uveden jako M₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

Kofaktor Matrixu

Kofaktor matice se najde vynásobením minority matice pro daný prvek (-1)i+j. Cofactor of a Matrix je reprezentován jako Cij. Vztah mezi minoritou a kofaktorem matice je tedy dán jako Mij = (-1)^i+jMij. Pokud uspořádáme všechny získané kofaktory pro prvek, dostaneme matici kofaktorů danou jako C =egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

Další informace , Minority a kofaktory

Adjunkce matice

Adjunkce se vypočítá pro čtvercovou matici. Adjunkce matice je transpozice kofaktoru matice. Adjoint matice je tedy vyjádřen jako adj(A) = C_Tkde C je matice kofaktorů.

Řekněme například, že máme matici
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
pak
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
kde,
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}je kofaktorem Matrix A.

Vlastnosti Adjoint of Matrix

Vlastnosti Adjoint matice jsou uvedeny níže:

• A(Adj A) = (Adj A) A = |A| já_n
• Adj(AB) = (Adj B) . (Úprava A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1Úprava (A)
• |adj(adj(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• adj(adj(A)) = |A|^(n-2)× A
• Pokud A = [L,M,N], pak adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {kde I je matice identit}

Kde, n = počet řádků = počet sloupců

Inverzní k matici

O matrici se říká, že je an inverzní k matici „A“, pokud je matice umocněna -1, tj. A-1. Inverzní se počítá pouze pro čtvercovou matici, jejíž determinant je nenulový. Vzorec pro inverzní matici je dán takto:

A^-1= adj(A)/det(A) = (1/|A|)(Adj A), kde |A| by se nemělo rovnat nule, což znamená, že matice A by měla být nesingulární.

Vlastnosti inverzní k matici

• (A^-1)^-1= A
• (AB)^-1= B^-1A^-1
• pouze nesingulární čtvercová matice může mít inverzi.

Základní operace s maticemi

Základní operace s maticemi se provádějí k vyřešení lineární rovnice a nalezení inverzní matice. Základní operace jsou mezi řádky a mezi sloupci. Existují tři typy základních operací prováděných pro řádky a sloupce. Tyto operace jsou uvedeny níže:

Mezi základní operace na řádcích patří:

• Výměna dvou řad
• Násobení řádku nenulovým číslem
• Přidání dvou řad

Mezi základní operace na sloupcích patří:

• Výměna dvou sloupců
• Násobení sloupce nenulovým číslem
• Přidání dvou sloupců

Rozšířená matice

Matice vytvořená spojením sloupců dvou matic se nazývá Rozšířená matice . Rozšířená matice se používá k provádění elementárních řádkových operací, řešení lineární rovnice a hledání inverzní matice. Pojďme to pochopit na příkladu.

Řekněme, že máme matici A =egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}, X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}a B =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}pak se mezi A a B vytvoří rozšířená matice. Rozšířená matice pro A a B je dána jako

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

Řešení lineární rovnice pomocí matic

K řešení lineárních rovnic se používají matice. K řešení lineárních rovnic potřebujeme vytvořit tři matice. První matice je z koeficientů, druhá matice je z proměnných a třetí matice je z konstant. Pojďme to pochopit na příkladu.

Řekněme, že máme dvě rovnice dané jako a₁x + b₁y = c₁a a₂x + b₂y = c₂. V tomto případě vytvoříme první matici koeficientů, řekněme A =egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}, druhá matice je z proměnných, řekněme X =egin{bmatrix}xyend{bmatrix}a třetí matice má koeficient B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}pak je maticová rovnice dána jako

AX = B

⇒ X = A ^-1 B

kde,

• A je matice koeficientů
• X je variabilní matice
• B je konstantní matice

Můžeme tedy vidět, že hodnotu proměnné X lze vypočítat vynásobením inverze matice A s B a pak vyrovnáním ekvivalentního součinu dvou matic s maticí X.

Hodnost Matrixu

Pořadí matice je dáno maximálním počtem lineárně nezávislých řádků nebo sloupců matice. Hodnost matice je vždy menší nebo rovna celkovému počtu řádků nebo sloupců přítomných v matici. Čtvercová matice má lineárně nezávislé řádky nebo sloupce, pokud matice není singulární, tj. determinant se nerovná nule. Protože nulová matice nemá žádné lineárně nezávislé řádky nebo sloupce, její pořadí je nulové.

Pořadí matice lze vypočítat převodem matice do tvaru řádků-řada. Ve formě řádků se snažíme převést všechny prvky patřící do řádku na nulu pomocí Elementary Operation on Row. Po operaci je celkový počet řádků, které mají alespoň jeden nenulový prvek, hodností matice. Hodnost matice A je reprezentována ρ(A).

Vlastní hodnota a vlastní vektory matic

Vlastní hodnoty jsou množinou skalárních veličin spojených s lineární rovnicí ve formě matice. Vlastní čísla se také nazývají charakteristické kořeny matic. Vektory, které jsou tvořeny použitím vlastní hodnoty k určení směru v těchto bodech, se nazývají vlastní vektory. Vlastní čísla mění velikost vlastních vektorů. Jako každý vektor, ani vlastní vektor se lineární transformací nemění.

Pro čtvercovou matici A řádu ‚n‘ je vytvořena další čtvercová matice A – λI stejného řádu, kde I je matice identity a λ je vlastní číslo. Vlastní hodnota λ splňuje rovnici Av = λv, kde v je nenulový vektor.

Dozvědět se víc o Vlastní čísla a vlastní vektory na našem webu.

Maticové vzorce

Základní vzorec pro matice byl diskutován níže:

• A^-1= adj(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I, kde I je matice identit
• |adj A| = |A|n-1 kde n je řád matice A
• adj(adj A) = |A|n-2A kde n je řád matice
• |adj(adj A)| = |A|^{(n-1)^2}
• adj(AB) = (adj B)(adj A)
• adj(A^p) = (adj A)^p
• adj(kA) = kn-1(adj A) kde k je libovolné reálné číslo
• adj(I) = I
• adj 0 = 0
• Pokud je A symetrické, pak adj(A) je také symetrické
• Jestliže A je diagonální matice, pak adj(A) je také diagonální matice
• Jestliže A je trojúhelníková matice, pak adj(A) je také trojúhelníková matice
• Jestliže A je singulární matice, pak |adj A| = 0
• (AB)^-1= B^-1A^-1

Přečtěte si více,

• Teorie množin
• Počet
• Trigonometrie

Matice JEE Hlavní otázky

Q1. Počet čtvercových matic řádu 5 se záznamy z množiny {0, 1} tak, že součet všech prvků v každém řádku je 1 a součet všech prvků v každém sloupci je také 1, je

Q2. Nechť A je matice 3 × 3 taková, že |adj(adj(adj A))| = 12 ⁴ . Potom |A ^-1 adj A| je rovný,

Q3. Nechť α a β jsou reálné číslo. Uvažujme matici A 3 × 3 takovou, že A ² = 3A + al. Pokud ⁴ = 21A + βI, pak najděte hodnotu α a β.

Q4. Nechť A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2. Počet matice A takový, že součet všech položek je prvočíslo p ϵ (2, 13) je

skořice vs mate

Q5. Nechť A je matice n × n taková, že |A| = 2. Pokud determinant matice Adj (2. Adj(2A ^-1 )) je 2 ⁸⁴ pak se n rovná,

Matice – často kladené dotazy

Co je Matrix v matematice?

Matice v matematice jsou pravoúhlé uspořádání čísel nebo proměnných, které jsou umístěny ve specifických řádcích a sloupcích a procházejí různými operacemi.

Jak řešit matice?

Řešíme matice pro různé operace, jako je sčítání, odčítání, násobení, transpozice atd. Tyto metody jsou popsány pod názvem Operace s maticemi.

Jaké jsou různé typy matic?

Různé typy matic jsou řádková matice, sloupcová matice, horizontální matice, vertikální matice, čtvercová matice, diagonální matice, nulová matice, matice identity, trojúhelníkové matice, symetrické a šikmo symetrické matice, hermitovské a šikmé hermitovské matice atd. Tyto typy mají byl projednán pod názvem „Typy matic“

Co je Rank of a Matrix?

Hodnost matice je počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců přítomných v matici.

Co je transpozice matice?

Transpozice matice je přeskupení prvků řádků do sloupců a naopak.

Jaký je vzorec pro nalezení inverze matice?

Inverzi matice lze zjistit pomocí vzorce A^-1= (1/|A|)(adj A)

Jaká je podmínka násobení dvou matic?

Dvě matice lze násobit pouze v případě, že počet sloupců první matice je roven počtu řádků matice druhé.

Jak najít determinant 2⨯2 matice?

Determinant matice 2⨯2 lze najít odečtením součinu diagonálních prvků matice.

Jaká je hlavní úhlopříčka matice?

Úhlopříčka čtvercové matice probíhající od entit vlevo nahoře k entitám vpravo dole je hlavní úhlopříčka matice.