Transpozice matice je velmi běžná metoda používaná pro transformaci matic v lineární algebře. Transpozici matice získáme záměnou řádků a sloupců dané matice nebo naopak. K získání adjungovaných a inverzních matic lze použít transpozici matice.

Než se seznámíme s podrobnostmi o transpozici matice, pojďme se nejprve dozvědět o Co je matice?. Matice není nic jiného než reprezentace sady dat ve formátu obdélníkového pole. V matici jsou data uspořádána do určitých řádků a sloupců. V matematice existují různé typy matic a jsou prezentovány v pořadí řádky × sloupce. Vezměme si příklad matice řádu 3 × 2 (řekněme A).

A =egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

V tomto článku se dozvíme o transpozice matice, její typy, vlastnosti, symboly a pořadí, jak najít transpozici matice a její příklady.

Obsah

• Co je to Matrix?
• Typy matic
• Co je transpozice matice?
• Symbol Transpose Matrix | Transponovaný zápis
• Order of Transpose Matrix
• Jak najít transpozici matice?
• Transpozice řádkové a sloupcové matice
• Transpozice horizontálních a vertikálních matic
• Transpozice symetrické matice
• Transpozice diagonální matice
• Transponování transponované matice
• Transpozice čtvercové matice
• Transponujte matici 3 × 3
• Determinant transpozice matice
• Vlastnosti transpozice matice

Co je to Matrix?

Obdélníkové pole čísel, symbolů nebo znaků přiřazených k určitému řádku a sloupci se nazývá matice. Čísla, symboly nebo znaky přítomné v matici se nazývají prvky matice. Počet řádků a sloupců přítomných v matici určuje pořadí matice. Pokud například matice „A“ obsahuje řádky „i“ a sloupce „j“, pak je matice reprezentována [A]i⨯j. Zde i⨯j určuje pořadí matice. Podívejme se na příklad matice.

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

Ve výše uvedeném příkladu jsou tři řádky a dva sloupce, takže pořadí matice je 3⨯2.

Typy matic

Existují různé typy matic na základě počtu řádků a sloupců, které mají, a také kvůli specifickým vlastnostem, které vykazují. Podívejme se na několik z nich

• Řádková matice: Matice, ve které je pouze jeden řádek a žádný sloupec, se nazývá matice řádků.
• Matice sloupců: Matice, ve které je pouze jeden sloupec a nyní řádek, se nazývá matice sloupců.
• Horizontální matice: Matice, ve které je počet řádků menší než počet sloupců, se nazývá horizontální matice.
• Vertikální matice: Matice, ve které je počet sloupců menší než počet řádků, se nazývá vertikální matice.
• Obdélníková matice: Matice, ve které je počet řádků a sloupců nestejný, se nazývá obdélníková matice.
• Čtvercová matice: Matice, ve které je počet řádků a sloupců stejný, se nazývá čtvercová matice.
• Diagonální matice: Čtvercová matice, ve které jsou nediagonální prvky nulové, se nazývá diagonální matice.
• Nulová matice: Matice, jejíž všechny prvky jsou nulové, se nazývá nulová matice.
• Matice jednotek: Diagonální matice, jejíž všechny diagonální prvky jsou 1, se nazývá jednotková matice.
• Symetrická matice: O čtvercové matici se říká, že je symetrická, pokud je transpozice původní matice rovna její původní matici. tj. (A^T) = A.
• Šikmá symetrická: Šikmá symetrická (nebo antisymetrická či antimetrická[1]) matice je čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná jejímu záporu, tj. (A^T) = -A.

Přečtěte si také , Typy matic

Co je transpozice matice?

Transpozice matice je matice, která se získá prohozením řádků a sloupců dané matice nebo naopak, tj. pro danou matici se zaměňují prvky v řádcích s prvky ve sloupcích. Pro libovolnou matici A je její transpozice označena jako A^t, nebo A^T.

Transponujte maticovou definici

Transpozice matice je matematická operace, která zahrnuje překlápění řádků a sloupců původní matice.

Reprezentace Transpose of Matrix

A = [a _(ij) ] _{m × n}
A ^t = [a _(z) ] _{n × m}

zde i, j představují polohu prvku matice po řádcích a sloupcích tak, že 1 ≤ i ≤ ma 1 ≤ j ≤ n.

Příklad: Pro libovolnou matici A řádu 2 × 3 jeho transpozice je?

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

Řešení:

Transpozice A

A^t=egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

Řád A^tje 3×2

Symbol Transpose Matrix | Transponovaný zápis

Transpozice matice je operace, která převrátí matici přes její hlavní úhlopříčku a zamění její řádky za sloupce. Transpozici matice A označujeme notací A' nebo A^Tnebo A^t.

Order of Transpose Matrix

Pořadí matice říká celkový počet prvků, které matice obsahuje. Představuje také počet řádků a sloupců v matici. Vodorovné hodnoty představují řádky matice a svislé hodnoty představují sloupce matice. Pro jakoukoli matici A_m×n, pořadí je m×n, tj. má m řádků a n sloupců. Proto je transpozice matice A A^ta jeho pořadí je n×m, tj. má n řádků a m sloupců.

Jak najít transpozici matice?

Transpozici libovolné matice lze snadno nalézt změnou hodnot v řádcích s hodnotami ve sloupcích. Vezměme si příklad, abychom to pochopili podrobně.

Pro jakoukoli matici A₂₃, pořadí je 2×3, což znamená, že má 2 řádky a 3 sloupce.

A = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

Transpozice matice A je A^třádu 3×2 mající 3 řádky a 2 sloupce. V matici transpozice se prvky prvního řádku dané matice mění s prvním sloupcem matice transpozice. Podobně se prohodí prvky druhého řádku dané matice A s druhým sloupcem nové matice A^ta tak dále, dokud není prohozena celá matice.

post order traversal

A^t=egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

Transpozice řádkové a sloupcové matice

Matice, která má jeden řádek, je známá jako řádková matice, zatímco matice, která má jeden sloupec, je známá jako sloupcová matice. Transpozice řádkové matice je sloupcová matice a naopak. Pokud je například P sloupcová matice řádu 4 × 1, pak její transpozice je řádková matice řádu 1 × 4. Jestliže Q je řádková matice řádu 1 × 3, pak její transpozice je sloupcová matice řádu 3 × 1.

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

Transpozice horizontálních a vertikálních matic

Pokud je počet řádků v matici menší než počet sloupců, pak je matice známá jako horizontální matice, a pokud je počet sloupců v matici menší než počet řádků, pak je matice známá jako vertikální matice. Transpozice horizontální matice je vertikální maticí a naopak. Pokud je například M horizontální matice řádu 2 × 3, pak její transpozice je vertikální matice řádu 3 × 2.

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

Transpozice symetrické matice

Symetrická matice je jako zvláštní druh vzoru, kde jsou čísla uspořádána tak, že se vzájemně zrcadlí přes diagonální čáru zleva nahoře doprava. Transpozice matice znamená převrácení matice přes tuto diagonální čáru.

Například,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Čísla na obou stranách diagonální čáry jsou stejná: 2 je naproti 2, 3 je naproti 3 a tak dále. Nyní, když vezmeme transpozici této matice, jednoduše ji překlopíme přes diagonální čáru. Takže čísla, která byla původně v řádcích, se stanou sloupci a naopak.

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Zde je původní matice a její transpozice úplně stejná. Je to proto, že když transponujete symetrickou matici, dostanete stejnou matici zpět! Toto je speciální vlastnost symetrických matic.

Transpozice diagonální matice

Diagonální matice je jako vzor, ​​kde se čísla objevují pouze podél diagonální čáry od levého horního k pravému dolnímu rohu, zatímco všechny ostatní položky jsou nuly. Transpozice matice znamená převrácení matice přes tuto diagonální čáru.

Například,

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Zde se čísla 2, 3 a 5 zobrazují podél úhlopříčky, zatímco všechny ostatní položky jsou nuly. Protože diagonální matice je již symetrická vůči své úhlopříčce, transpozice diagonální matice je jednoduše sama sebou:

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Transponování transponované matice

Když transponujete matici, v podstatě ji překlopíte přes její diagonální čáru. Transponování matice, která již byla transponována, tedy znamená její převrácení zpět do původní orientace.

Například,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

Nyní, když vezmeme transpozici této transponované matice:

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

Transpozice čtvercové matice

Čtvercové matice jsou matice, které mají stejný počet řádků a sloupců. pro libovolnou čtvercovou matici A_n×n, její transpozice má stejné pořadí, tj. transpozice A, A^tmá pořadí n × n. Řádky a sloupce jsou zaměněny v transpozici čtvercové matice.

Transponujte matici 2 × 2

Pro libovolné 2 × 2 matice A,

A =egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

jeho transpozice je A^t,

A^t= egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

Příklad: Najděte transpozici matice A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

Řešení:

Transponujte matici A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} je

linkedlist a arraylist

A^t=egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

Transponujte matici 3 × 3

Pro libovolné 3 × 3 matice A,

A =egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

jeho transpozice je A^t,

A^t= egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

Příklad: Najděte transpozici matice A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Řešení:

Transponujte matici A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} je

A^t=egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

Determinant transpozice matice

Determinant transpozice matice A se rovná samotnému determinantu A, tj. pro jakoukoli čtvercovou matici A

|A| = |A ^T |

Vlastnosti transpozice matice

Pojďme se dozvědět o důležitých vlastnostech transpozice matice:

• Čtvercová matice A řádu n × n je považována za ortogonální matici, je-li AA^T= A^TA = I, kde I je matice identity řádu n × n.
• Čtvercová matice A řádu n × n se považuje za symetrickou matici, pokud je její transpozice stejná jako původní matice, tj.^T= A.
• Čtvercová matice A řádu n × n se nazývá šikmo symetrická matice, pokud je její transpozice rovna záporu původní matice, tj.^T= –A.
• Dvojitá transpozice matice: Transpozice transpoziční matice je samotná původní matice.

(A ^t ) ^t = A

• Transpozice součinu matic: Tato vlastnost to říká

(AB) ^t = B ^t A ^t

Důkaz:

Pokud jsou matice A a B řádů m × n a n × p, v tomto pořadí.

a

A^ta B^tjsou transpozicí matic A a B řádů n × ma p × n (z pravidla součinu matic).

Znamená to, že pokud A = [a(ij)] a A^t= [c(of)]

Potom [c(ji)] = [a(ij)]

a,

Pokud B = [b(jk)] a B^t= [d(kj)]

Potom [d(kj)] = [b(jk)]

Nyní z pravidla součinu matic můžeme napsat,

AB je matice m × p a (AB)^tje matice p × m.

Také B^tje matice p × n a A^tje matice n × m.

To znamená,

(B^t)(A^t) je matice p × m.

Proto,

(AB)^ta (B^t)(A^t) jsou obě matice p × m.

Nyní můžeme psát,

(k, i)^čtprvek (AB)^t= (i, k)^čtprvek AB

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i)-tý prvek (B ^t )(A ^t )

Proto,

prvky (AB) ^t a (B ^t )(A ^t ) jsou rovny.

Proto,

(AB) ^t = (B ^t )(A ^t )

• Násobení konstantou: Pokud se matice vynásobí skalární hodnotou a provede se její transpozice, pak se výsledná matice bude rovnat transpozici původní matice vynásobené skalární hodnotou, tj. (kA)^t= kA^t, kde k je skalární hodnota.

Důkaz:

Uvažujme matici A = [a_ij]_{m × n}a skalární k.

Řád dané matice A je m × n.

Pokud se matice A vynásobí skalární hodnotou k, pak se všechny prvky matice vynásobí touto skalární konstantou k, avšak řád matice kA zůstane stejný, tj. m × n.

Nyní pořadí transpozice matice kA, tj. (kA)^tbude n × m.

Protože řád matice A je m × n, řád její transpoziční matice, tj.^tbude n × m.

Pokud matice A^tse násobí skalární hodnotou k, pak řádem matice kA^tbude také n × m.

Takže pořadí matic (kA)^ta kA^tje stejný, tj. n × m.

Nyní dokažme, že odpovídající prvky (kA)^ta kA^tjsou rovny.

(i, j)-tý prvek (kA)^tse bude rovnat (j, i)-tému prvku kA.

(i, j)^čtprvek (kA)^t= (j, i)^čtprvek kA

⇒ (i, j)^čtprvek (kA)^t= (i, j)^čtprvek kA^t

Řekneme tedy, že odpovídající prvky (kA)^ta kA^tjsou rovny.

Jako řád a odpovídající prvky (kA)^ta kA^tjsou rovny,

Proto můžeme dojít k závěru, že (kA) ^t = kA ^t .

np kde

• Transpozice sčítání matic: Tato vlastnost to říká.

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

Důkaz:

Zde A a B jsou dvě matice pořadí m × n

Nechat, A = [a(ij)] a B = [b(ij)] řádu m × n .

Tak, (A + B) je také v pořádku m × n matice

Taky, A ^t a B ^t jsou v pořádku n × m matrice.

Takže Transpozice matice (A + B) nebo (A + B) ^t je n × m matice.

Nyní můžeme říci, A ^t + B ^t je také n × m matice.

Nyní, z pravidla transpozice,
(j, i). prvek (A + B) ^t = (i, j) th prvek (A + B)

= (i, j) th prvek A + (i, j) th prvek B
= (j, i). prvek A ^t + (j, i). prvek B ^t
= (j, i). prvek (A ^t + B ^t )

Proto,

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

• Je-li A čtvercová matice libovolného řádu a je invertibilní, pak inverzní její transpozice je rovna transpozici inverzní matice původní matice, tj. (A^t)^-1= (A^-1)^t.

Důkaz:

Abych to dokázal (A^t)^-1= (A^-1)^t, uvažujme nesingulární čtvercovou matici A.

RHS = (A^-1)^t

Nyní vynásobte (A^-1)^tod A^t

= (A^-1)^t× A^t

Víme, že (AB)^t= B^tA^t

Jejda koncept v Javě

Takže (A^-1)^tA^t= (AA^-1)^t

Víme, že AA^-1= Já, kde I je matice identity.

Takže (A^-1)^tA^t= já^t

⇒ (A^-1)^tA^t= Já (Protože, I^t= já)

⇒ (A^-1)^t= (A^t)^-1= LHS

Tím pádem prokázáno.

Proto, (A ^t ) ^-1 = (A ^-1 ) ^t

Lidé také čtou:

• Adjunkce matice
• Determinant matice
• Inverzní k matici

Řešené příklady na transpozici matice

Příklad 1: Najděte transpozici matice A = egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

Řešení:

Transpozice matice A je A^t

A^t=egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

Příklad 2: Pro matice, A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} a B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

Dokažte, že pro tyto matice platí vlastnost (AB) ^t = (B ^t )(A ^t )

Řešení:

Zde jsou A a B 23 a 3×2 matrice resp. Takže podle součinového pravidla matice můžeme najít jejich součin a výsledné matice by byly z 2×2 matice.

L.H.S

Nyní,

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

Takže transpozice matice AB je,

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

a

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

Tak,

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

Proto,

(AB) ^t = B ^t A ^t

Příklad 3: Ověřte, zda (Q ^T ) ^T = Q nebo ne.

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Řešení:

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

Proto ověřeno.

Příklad 4: Ověřte, zda je níže uvedená matice symetrická či nikoliv.

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

Řešení:

Víme, že čtvercová matice P řádu n × n je považována za symetrickou matici, pokud je její transpozice stejná jako původní matice, tj.^T= P.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

Nyní, P^Tse získá výměnou jeho řádků do sloupců.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Jak P^T= P, daná čtvercová matice je symetrická.

Příklad 5: Pro matice A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} a B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

Dokažte, že tyto matice mají tuto vlastnost (A + B) ^t = A ^t + B ^t

Řešení:

L.H.S

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

Tak,

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

a,

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

Nyní,

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

Proto,

(A + B) ^t = A ^t + B ^t

Často kladené otázky o transpozici matice

Co je transpozice matice?

Transpozice matice je matice, která se získá záměnou řádků a sloupců matice. Transpozice matice A je označena jako A^t. Pro danou matici řádu m×n je transpozice matice řádu n×m.

Jaké je pořadí transpozice čtvercové matice?

Pro čtvercovou matici se řád matice při transpoe nemění, proto pro matici řádu n×n je řád její transpozice také n×n.

výukový program pro mikroslužby

Jaká je adiční vlastnost transponované matice?

Adiční vlastnost transpozice matice říká, že součet dvou transponovaných matic je vždy roven součtu transpozice jednotlivých matic, tj.

(A+B)′ = A′+B′

Jaká je vlastnost násobení transponované matice?

Násobící vlastnost transpozice matice říká, že součin transpozice dvou matic je vždy roven součinu transpozice jednotlivých matic v opačném pořadí, tj.

(A×B)′ = B′ × A′

Jak vypočítat transpozici matice?

Transpozici libovolné matice lze snadno nalézt změnou hodnot v řádcích s hodnotami ve sloupcích.