Znalost matic je nezbytná pro různá odvětví matematiky. Matice jsou jedním z nejmocnějších nástrojů v matematice. Z matic pocházejí determinanty, nyní v tomto článku vidíme jednu z vlastností determinantu.
V tomto článku uvidíme, jak najít Adjunkce matice. Chcete-li vědět o Adjunkce matice musíme vědět o Kofaktor matice.
Obsah
- Definice adjunkce matice
- Minor z Matrixu
- Kofaktor matice
- Transpozice Matrixu
- Jak najít Adjoint of a Matrix?
- Vlastnosti adjunkce matice
- Hledání inverze pomocí adjunkce matice
Definice adjunkce matice
Adjoint matice je transpoziční matice kofaktoru dané matice. Pro libovolnou čtvercovou matici A vypočítat její adj. matice musíme nejprve vypočítat kofaktorovou matici dané matice a poté najít její determinant. Chcete-li vypočítat Ajoint matice, postupujte podle následujících kroků:
Krok 1 : Vypočítejte Minor všech prvků dané matice A.
Krok 2: Najděte kofaktorovou matici C pomocí vedlejších prvků.
Krok 3: Najděte adjungovanou matici A pomocí transpozice kofaktorové matice C.
Pro libovolnou matici A 2×2 je obrázek jejího Adjointu uveden níže,
Nyní se dozvíme o Minor, Cofactor a Transpose matice.
Minor z Matrixu
Vedlejší prvek matice je matice nebo prvek, který se vypočítá skrytím řádku a sloupce matice prvku, pro který se vypočítává vedlejší prvek. U matice 2×2 je vedlejší prvek prvek, který se zobrazí skrytím řádku a sloupce prvku, pro který se vypočítává vedlejší prvek.
Dozvědět se víc o, Minority a kofaktory
Kofaktor matice
Kofaktor je číslo, které získáme, když odstraníme sloupec a řádek určeného prvku v matici. Znamená to vzít jeden prvek z matice a vymazat celý řádek a sloupec tohoto prvku z matice, pak které prvky jsou přítomny v této matici, která se nazývá kofaktor.
Jak najít kofaktor matice
K nalezení kofaktoru prvku matice můžeme použít následující kroky:
Krok 1: Odstraňte celý řádek a sloupec, který obsahuje uvažovaný prvek.
Krok 2: Vezměte zbývající prvky tak, jak jsou v matici po kroku 1.
Krok 3: Najděte determinant matice vytvořené v kroku 2, který se nazývá Méně důležitý prvku.
Krok 4: Nyní použijte vzorec pro kofaktor prvku aijtj. (-1)i+jMijkde Mij je moll prvku v ičtřádek a jčtsloupec, který je již vypočten v kroku 3.
Krok 5: Výsledkem kroku 4 je kofaktor uvažovaného prvku a podobně můžeme vypočítat kofaktor každého prvku matice, abychom našli matici kofaktoru dané matice.
Příklad: Najděte matici kofaktorů
Řešení:
Daná matice je
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Najdeme kofaktor prvku v prvním řádku ve třetím sloupci, tj. 3.
Krok 1: Odstraňte celý řádek a sloupec, který obsahuje uvažovaný prvek.
tj.,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Krok 2: Vezměte zbývající prvky tak, jak jsou v matici po kroku 1.
tj.,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Krok 3: Najděte determinant matice vytvořené v kroku 2, který se nazývá moll prvku.
Menší 3 palce
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Krok 4: Nyní použijte vzorec pro kofaktor prvku aijtj. (-1)i+jMij
Kofaktor prvku 3 = (-1)1+3(32) = 32
Krok 5: Pokračujte v postupu pro všechny prvky, abyste našli matici kofaktorů A,
tj. matice kofaktorů A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transpozice Matrixu
Transpozice matice je matice, která vzniká vzájemnou změnou řádků a sloupců matice. Transpozice matice A je označena jako ATnebo A'. Je-li řád matice A m×n, pak řád transponované matice je n×m.
Dozvědět se víc o, Transpozice matice
Jak najít Adjoint of a Matrix?
Abychom našli Adjoint matice, musíme nejprve najít kofaktor každého prvku a pak najít další 2 kroky. viz kroky níže,
Krok 1: Najděte kofaktor každého prvku přítomného v matici.
Krok 2: Vytvořte další matici s kofaktory jako jejími prvky.
Krok 3: Nyní najděte transpozici matice, která pochází z kroku 2.
Jak najít Adjoint matice 2×2
Podívejme se na příklad pro pochopení metody k nalezení adjunkce matice 2×2.
Příklad: Find the Adjoint of
Řešení:
Daná matice je
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Krok 1: Najděte kofaktor každého prvku.
Kofaktor prvku v A[1,1]: 5
Kofaktor prvku na A[1,2]: -4
Kofaktor prvku v A[2,1]: -3
Kofaktor prvku v A[2,2]: 2
Krok 2: Vytvořte matici z Cofactors
tj.,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Krok 3: Transpozice kofaktorové matice,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Jak najít Adjoint matice 3×3
Vezměme si příklad matice 3×3, abychom pochopili, jak vypočítat Adjoint této matice.
Příklad: Find the Adjoint of
Řešení:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Krok 1: Najděte kofaktor každého prvku.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Krok 2: Vytvořte matici z Cofactors
základy selenu
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Krok 3: Transponujte matici C k adjunkci dané matice.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Která je adjunkcí dané matice A.
Vlastnosti adjunkce matice
Adjunkce matice má různé vlastnosti, některé z nich jsou následující:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| ján
- Úprava (BA) = (Úprava B) (Úprava A)
- |Adj A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Úprava A)
Hledání inverze pomocí adjunkce matice
Hledání inverze je jednou z důležitých aplikací Adjointu Matrixu. K nalezení inverzní matice pomocí Adjoint můžeme použít následující kroky:
Krok 1: Najít determinant matice .
Krok 2: Pokud je determinant nulový, pak matice není invertibilní a neexistuje žádná inverzní.
Krok 3: Pokud je determinant nenulový, najděte adjungant matice.
Krok 4: Vydělte adjunkce matice determinantem matice.
Krok 5: Výsledkem kroku 4 je inverzní hodnota dané matice.
Příklad: Najděte inverzní k
Řešení:
Daná matrice
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
Inverzní k A tedy neexistuje.
Dozvědět se víc o, Inverzní k matici
Řešené příklady adjunkce matice
Příklad 1: Najděte Adjoint dané matice
Řešení:
Krok 1: Najděte kofaktor každého prvku
Abychom našli kofaktor každého prvku, musíme jeden po druhém smazat řádek a sloupec každého prvku a po smazání vzít přítomné prvky.
Kofaktor prvků při A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Kofaktor prvků při A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Kofaktor prvků při A[0,2] = 3:
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Kofaktor prvků při A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Kofaktor prvků při A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Kofaktor prvků při A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Kofaktor prvků při A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Kofaktor prvků při A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Kofaktor prvků při A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10Matrice vypadá s kofaktory takto:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} Konečná matice kofaktorů:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Krok 2: Najděte transpozici matice získané v kroku 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} To je Adjunkce matice.
Příklad 2: Najděte Adjoint dané matice
Řešení:
Krok 1: Najděte kofaktor každého prvku
Abychom našli kofaktor každého prvku, musíme jeden po druhém smazat řádek a sloupec každého prvku a po smazání vzít přítomné prvky.
Kofaktor prvku při A[0,0] = -1:
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Kofaktor prvků na A[0,1] = -2:
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Kofaktor prvků na A[0,2] = -2:
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Kofaktor prvků na A[2,0] = 2:
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Kofaktor prvků na A[2,1] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Kofaktor prvků na A[2,2] = -2:
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Kofaktor prvků na A[3,0] = 2:
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Kofaktor prvků na A[3,1] = -2:
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Kofaktor prvků na A[3,2] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3Konečná matice kofaktorů:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Krok 2: Najděte transpozici matice získané v kroku 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} To je Adjunkce matice.
Často kladené otázky o Adjoint of a Matrix
Co je Adjoint matice?
Adjoint čtvercové matice je transponováním matice kofaktorů původní matice. Je také známá jako adjugate matrix.
Jak se počítá adjunkce matice?
Pro výpočet adjunkce matice je potřeba najít kofaktorovou matici dané matice a poté ji transponovat.
Co je použití adjunkce matice?
Klíčovou aplikací nebo použitím adjointu matice je nalezení inverze k invertibilním maticím.
Jaký je vztah mezi inverzí matice a jejím sousedem?
Inverzní matici získáme vydělením jejího adjungovaného determinantem. To znamená, že pokud A je čtvercová matice a det(A) je nenulová, pak
A -1 = adj(A)/det(A)
Co je Adjugate Matrix?
Adjungovaná matice se také nazývá Adjugate Matrix. Je to transpozice kofaktoru dané matice.
Jaký je rozdíl mezi adjointem a transpozicí matice?
Adjoint matice je transpozice matice kofaktorů, zatímco transpozice matice je získána výměnou jejích řádků a sloupců.
Je čtvercová matice vždy invertibilní?
Ne, čtvercové matice nejsou vždy invertibilní. Čtvercová matice je invertibilní pouze v případě, že má nenulový determinant.
Lze vypočítat adjunkci nečtvercové matice?
Ne, adjungování matice lze vzhledem k její definici vypočítat pouze pro čtvercovou matici.