Vlastní čísla a vlastní vektory jsou skalární a vektorové veličiny spojené s Matice používá se pro lineární transformaci. Vektor, který se nemění ani po aplikaci transformací, se nazývá vlastní vektor a skalární hodnota spojená s vlastními vektory se nazývá Vlastní čísla . Vlastní vektory jsou vektory, které jsou spojeny se sadou lineárních rovnic. Pro matici se vlastní vektory také nazývají charakteristické vektory a můžeme najít vlastní vektor pouze čtvercových matic. Vlastní vektory jsou velmi užitečné při řešení různých problémů matic a diferenciálních rovnic.

V tomto článku se na příkladech seznámíme s vlastními hodnotami, vlastními vektory pro matice a dalšími.

Obsah

• Co jsou to vlastní hodnoty?
• Co jsou to vlastní vektory?
• Rovnice vlastního vektoru
• Co jsou to vlastní čísla a vlastní vektory?
• Jak najít vlastní vektor?
• Typy vlastních vektorů
• Pravý vlastní vektor
• Levý vlastní vektor
• Vlastní vektory čtvercové matice
• Vlastní vektor matice 2 × 2
• Vlastní vektor matice 3 × 3
• Vlastní prostor
• Aplikace vlastních hodnot
• Diagonalizujte matici pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů
• Řešené příklady na vlastních vektorech
• Často kladené otázky o vlastních vektorech

Co jsou to vlastní hodnoty?

Vlastní čísla jsou skalární hodnoty spojené s vlastními vektory v lineární transformaci. Slovo „Eigen“ je německého původu, což znamená „charakteristický“. Jedná se tedy o charakteristickou hodnotu, která udává faktor, kterým jsou vlastní vektory nataženy ve svém směru. Nezahrnuje změnu směru vektoru kromě případů, kdy je vlastní hodnota záporná. Když je vlastní hodnota záporná, směr se právě obrátí. Rovnice pro vlastní hodnotu je dána vztahem

Vypnuto = λv

Kde,

• A je matice,
• v je přidružený vlastní vektor a
• λ je skalární vlastní hodnota.

Co jsou to vlastní vektory?

Vlastní vektory pro čtvercové matice jsou definovány jako nenulové vektorové hodnoty, které po vynásobení čtvercovými maticemi dávají škálovací násobek vektoru, tj. definujeme vlastní vektor pro matici A jako v, pokud specifikuje podmínku, Vypnuto = λv

Násobek škálovače λ ve výše uvedeném případě se nazývá vlastní hodnota čtvercové matice. Vždy musíme nejprve najít vlastní čísla čtvercové matice, než najdeme vlastní vektory matice.

Pro libovolnou čtvercovou matici A řádu n × n je vlastním vektorem sloupcová matice řádu n × 1. Najdeme-li vlastní vektor matice A by, Av = λv, v se v tomto nazývá pravý vlastní vektor matice A a vždy se násobí na pravou stranu, protože maticové násobení není svou povahou komutativní. Obecně, když najdeme vlastní vektor, je to vždy správný vlastní vektor.

Můžeme také najít levý vlastní vektor čtvercové matice A pomocí vztahu, vA = vl

Zde je v levý vlastní vektor a vždy se násobí na levou stranu. Je-li matice A řádu n × n, pak v je sloupcová matice řádu 1 × n.

Rovnice vlastního vektoru

Rovnice vlastního vektoru je rovnice, která se používá k nalezení vlastního vektoru libovolné čtvercové matice. Rovnice vlastního vektoru je,

Vypnuto = λv

Kde,

• A je daná čtvercová matice,
• v je vlastní vektor matice A, a
• l je libovolný násobek scaleru.

Co jsou to vlastní čísla a vlastní vektory?

Pokud A je a čtvercová matice řádu n × n pak můžeme snadno najít vlastní vektor čtvercové matice podle níže uvedené metody,

Víme, že vlastní vektor je dán pomocí rovnice Av = λv, pro identitní matici řádu stejného jako řád A, tj. n × n použijeme následující rovnici,

(A-AI)v = 0

Řešením výše uvedené rovnice dostaneme různé hodnoty λ jako λ₁, l₂, ..., l_ntyto hodnoty se nazývají vlastní čísla a dostáváme jednotlivé vlastní vektory související s každým vlastním číslem.

Zjednodušením výše uvedené rovnice dostaneme v, což je sloupcová matice řádu n × 1 a v se zapisuje jako,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Jak najít vlastní vektor?

Vlastní vektor následující čtvercové matice lze snadno vypočítat pomocí kroků níže,

Krok 1: Najděte vlastní čísla matice A pomocí rovnice det |(A – λI| =0, kde I je identitní matice řádu podobná matici A

Krok 2: Hodnoty získané v kroku 2 jsou pojmenovány jako λ₁, l₂, l₃….

Krok 3: Najděte vlastní vektor (X) spojený s vlastním číslem λ₁pomocí rovnice, (A – λ₁I) X = 0

Krok 4: Opakujte krok 3 a vyhledejte vlastní vektor spojený s ostatními zbývajícími vlastními čísly λ₂, l₃….

Po těchto krocích získáte vlastní vektor související s danou čtvercovou maticí.

Typy vlastních vektorů

Vlastní vektory vypočítané pro čtvercovou matici jsou dvou typů, a to:

• Pravý vlastní vektor
• Levý vlastní vektor

Pravý vlastní vektor

Vlastní vektor, který je vynásoben danou čtvercovou maticí z pravé strany, se nazývá pravý vlastní vektor. Vypočítá se pomocí následující rovnice,

Z _R = λV _R

Kde,

• A je dána čtvercová matice řádu n×n,
• l je jednou z vlastních hodnot a
• V _R je sloupcová vektorová matice

Hodnota V_Rje,

řetězec na znak java

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Levý vlastní vektor

Vlastní vektor, který je vynásoben danou čtvercovou maticí z levé strany, se nazývá levý vlastní vektor. Vypočítá se pomocí následující rovnice,

V _L A = V _L l

Kde,

• A je dána čtvercová matice řádu n×n,
• l je jednou z vlastních hodnot a
• V _L je řádková vektorová matice.

Hodnota V_Lje,

V _L = [v ₁ , v ₂ , v ₃ ,…, v _n ]

Vlastní vektory čtvercové matice

Vlastní vektor čtvercových matic řádu n × n najdeme snadno. Nyní najdeme následující čtvercové matice:

• Vlastní vektory matice 2 × 2
• Vlastní vektory matice 3 × 3.

Vlastní vektor matice 2 × 2

Vlastní vektor matice 2 × 2 lze vypočítat pomocí výše uvedených kroků. Příkladem téhož je,

Příklad: Najděte vlastní čísla a vlastní vektor pro matici A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Řešení:

Pokud jsou vlastní čísla reprezentována pomocí λ a vlastní vektor je reprezentován jako v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Poté se vlastní vektor vypočítá pomocí rovnice,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

A = 6 a A = -1

Vlastní čísla jsou tedy 6 a -1. Potom příslušné vlastní vektory jsou,

Pro λ = 6

(A-AI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

pokud jinak java

⇒ 5a – 2b = 0

Zjednodušením výše uvedené rovnice dostaneme,

5a=2b

Požadovaný vlastní vektor je,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Pro λ = -1

(A-AI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

zjednodušením výše uvedené rovnice dostaneme,

a = -b

Požadovaný vlastní vektor je,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Pak jsou vlastní vektory dané matice 2 × 2egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Toto jsou dva možné charakteristické vektory, ale mnohé z odpovídajících násobků těchto vlastních vektorů lze také považovat za další možné charakteristické vektory.

Vlastní vektor matice 3 × 3

Vlastní vektor matice 3 × 3 lze vypočítat pomocí výše uvedených kroků. Příkladem téhož je,

Příklad: Najděte vlastní čísla a vlastní vektor pro matici A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Řešení:

Pokud jsou vlastní čísla reprezentována pomocí λ a vlastní vektor je reprezentován jako v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Poté se vlastní vektor vypočítá pomocí rovnice,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Zjednodušením výše uvedeného determinantu dostaneme

⇒ (2-l) (l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

metoda řetězců v jazyce Java

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Pro λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Zjednodušením výše uvedené rovnice dostaneme

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Nechť b = k₁a c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Vlastní vektor je tedy

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

brát k₁= 1 a k₂= 0

vlastní vektor je,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

brát k₁= 0 a k₂= 1

vlastní vektor je,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Pro λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Zjednodušením výše uvedené rovnice dostaneme,

-4a + 2b + 2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Nechť b = k₁a c = k₂, a brát k₁= k₂= 1,

dostaneme,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Vlastní vektor je tedy

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Vlastní prostor

Vlastní prostor matice definujeme jako množinu všech vlastních vektorů matice. Všechny vektory ve vlastním prostoru jsou na sobě lineárně nezávislé.

Abychom našli vlastní prostor matice, musíme provést následující kroky

Krok 1: Najděte všechna vlastní čísla zadané čtvercové matice.

Krok 2: Pro každé vlastní číslo najděte odpovídající vlastní vektor.

Krok 3: Vezměte množinu všech vlastních vektorů (řekněme A). Takto vytvořená výsledná množina se nazývá vlastní prostor následujícího vektoru.

Z výše uvedeného příkladu dané matice A 3 × 3 je takto vytvořený vlastní prostor {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Aplikace vlastních hodnot

Některé z běžných aplikací vlastních hodnot jsou:

Lineární algebra

Diagonalizace: Vlastní čísla se používají k diagonalizaci matic, což zjednodušuje výpočty a efektivněji řeší lineární systémy.

rozdíl mezi gigabajtem a megabajtem

Umocňování matice: Vlastní čísla hrají klíčovou roli při výpočtu umocňování matice.

Kvantová mechanika

Schrödingerova rovnice: Vlastní čísla hamiltonovského operátoru odpovídají energetickým hladinám kvantových systémů a poskytují informace o možných stavech.

Vibrace a strukturální analýza:

Mechanické vibrace: Vlastní čísla představují vlastní frekvence vibračních systémů. Ve strukturální analýze pomáhají pochopit stabilitu a chování konstrukcí.

Statistika

Kovarianční matice: Ve vícerozměrné statistice se vlastní čísla používají při analýze kovariančních matic a poskytují informace o šíření a orientaci dat.

Počítačová grafika

Principal Component Analysis (PCA): Vlastní čísla se v PCA používají k nalezení hlavních komponent datové sady, čímž se snižuje rozměrnost při zachování základních informací.

Řídicí systémy

Stabilita systému: Vlastní čísla matice systému jsou rozhodující při určování stability řídicího systému. Analýza stability pomáhá zajistit, že odezva systému je omezená.

Diagonalizujte matici pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů

K nalezení diagonálních matic se používají vlastní čísla a vlastní vektory. A diagonální matice je matice, kterou lze zapsat jako,

A = XDX ^-1

Kde,

• D je matice, která vzniká nahrazením jedniček v matici identity vlastními čísly a
• X je matice tvořená vlastními vektory.

Koncept diagonální matice můžeme pochopit na následujícím příkladu.

Příklad: Diagonalizujte matici A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Řešení:

Již jsme řešili vlastní čísla a vlastní vektory A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Vlastní hodnoty A jsou λ = 0, λ = 0 a λ = -8

Vlastní vektory A jsouegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Tím pádem,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Můžeme snadno najít inverzní hodnotu X jako,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Přečtěte si více,

• Základní operace s maticemi
• Matice identity
• Inverzní k matici

Řešené příklady na vlastních vektorech

Příklad 1: Najděte vlastní vektory matice A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Řešení:

Vlastní hodnoty matice se nalézají pomocí,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

pole řetězců

(1 – l)³= 0

Vlastními hodnotami tedy jsou,

A = 1, 1, 1

Protože jsou všechna vlastní čísla stejná, máme tři stejné vlastní vektory. Najdeme vlastní vektory pro λ = 1 pomocí (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

řešením výše uvedené rovnice dostaneme,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Pak je vlastní vektor,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Příklad 2: Najděte vlastní vektory matice A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Řešení:

Vlastní hodnoty matice se nalézají pomocí,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Vlastní hodnoty jsou tedy

A = 5,5

Protože jsou všechna vlastní čísla stejná, máme tři stejné vlastní vektory. Vlastní vektory pro λ = 1 najdeme pomocí

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Jednoduše řečeno výše, dostaneme,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Pak je vlastní vektor,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Často kladené otázky o vlastních vektorech

Co jsou to vlastní vektory?

Vlastní vektor libovolné matice definujeme jako vektor, jehož vynásobením maticí vznikne násobek škálovače matice.

Jak najít Eigenvectors?

Vlastní vektor libovolné matice A označíme v . Vlastní vektor matice se vypočítá tak, že se nejprve najde vlastní hodnota matice.

• Vlastní číslo matice se zjistí pomocí vzorce |A-λI| = 0, kde λ udává vlastní hodnoty.
• Po nalezení vlastního čísla jsme našli vlastní vektor podle vzorce, Av = λv, kde v udává vlastní vektor.

Jaký je rozdíl mezi Eigenvalue a Eigenvector?

Pro libovolnou čtvercovou matici A jsou vlastní čísla reprezentována λ a ta se vypočítá podle vzorce |A – λI| = 0. Po nalezení vlastního čísla najdeme vlastní vektor podle, Av = λv.

Co je to diagonalizovatelná matice?

Jakákoli matice, kterou lze vyjádřit jako součin tří matic jako XDX^-1je diagonalizovatelná matice zde D se nazývá diagonální matice.

Jsou vlastní čísla a vlastní vektory stejné?

Ne, vlastní hodnoty a vlastní vektory nejsou stejné. Vlastní čísla jsou škálovač, který se používá k nalezení vlastních vektorů, zatímco vlastní vektory jsou vektory, které se používají k nalezení transformací maticových vektorů.

Může být vlastní vektor nulový vektor?

Můžeme mít vlastní čísla nulová, ale vlastní vektor nikdy nemůže být nulový vektor.

Co je vzorec Eigenvectors?

Vlastní vektor jakékoli matice se vypočítá pomocí vzorce,

Vypnuto = λv

kde,
l je vlastní hodnota
v je vlastní vektor