Determinant matice 4×4: Determinant matice je základní koncept v lineární algebře, nezbytný pro odvození jediné skalární hodnoty z matice. 4×4 je čtvercová matice se 4 řádky a 4 sloupci, jejíž determinant lze najít vzorcem, který si probereme.
Tento článek prozkoumá definice matice 4 × 4 a průvodce procesem výpočtu determinantu 4 × 4 krok za krokem. Kromě toho zkoumá praktické aplikace této matematické operace.
Obsah
- Co je determinant matice?
- Determinant matice 4×4
- Determinant maticového vzorce 4 × 4
- Determinant maticových příkladů 4×4
- Determinant 4×4 Matrix Practice Questions
Co je determinant matice?
The determinant matice je skalární hodnota, kterou lze vypočítat z prvků a čtvercová matice . Poskytuje důležité informace o matici, například zda je invertibilní a měřítko lineárních transformací reprezentovaných maticí.
Různé metody, jako např kofaktor expanze nebo redukce řádků, lze použít k nalezení determinantu matice v závislosti na velikosti a struktuře matice. Po výpočtu je determinant označen symbolem det nebo svislými pruhy obklopujícími matici.
Determinant matice 4×4
Matice 4×4 je obdélníkové pole čísel uspořádaných do čtyř řad a čtyř sloupců. Každý prvek v matici je identifikován pozicí řádku a sloupce. Obecná forma matice 4×4 vypadá takto:
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
Kdeijpředstavuje prvek umístěný v ičtřádek a jčtsloupec matice.
S maticemi 4×4 se běžně setkáváme v různých oblastech, jako je počítačová grafika, fyzika, inženýrství a matematika. Používají se k reprezentaci transformací, řešení soustav lineárních rovnic a provádění operací v lineární algebře.
Vlastnosti matice 4×4
Zde jsou některé vlastnosti matice 4×4 vysvětlené zjednodušeně:
- Čtvercová matice: Matice 4×4 má stejný počet řádků a sloupců, což z ní činí čtvercovou matici.
- Determinant: Determinant matice 4×4 lze vypočítat pomocí metod, jako je expanze kofaktoru nebo redukce řádků. Poskytuje informace o invertibility matice a faktoru měřítka pro lineární transformace.
- Inverzní: Matice 4×4 je invertibilní je-li jeho determinant nenulový. Inverzní matice 4×4 umožňuje řešení soustav lineárních rovnic a zrušení transformací reprezentovaných maticí.
- Přemístit: Transpozice matice 4×4 se získá výměnou jejích řádků a sloupců. Může být užitečný při určitých výpočtech a transformacích.
- Vlastní čísla a vlastní vektory: Matice 4×4 lze analyzovat a najít jejich vlastní čísla a vlastní vektory , které představují vlastnosti matice při lineárních transformacích.
- Symetrie: V závislosti na konkrétní matici může vykazovat vlastnosti symetrie, jako je symetrická, šikmo symetrická nebo žádná.
- Maticové operace: Různé operace jako sčítání, odčítání, násobení a skalární násobení lze provádět na maticích 4×4 podle specifických pravidel a vlastností.
Přečtěte si podrobně: Vlastnosti determinantů
Determinant maticového vzorce 4 × 4
Determinant jakékoli matice 4 × 4, tj.
to (A) = a jedenáct · to (A jedenáct ) – a 12 · to (A 12 ) + a 13 · to (A 13 ) – a 14 · to (A 14 )
Kdeijoznačuje submatici vymazáním ičtřádek a jčtsloupec.
Jak zjistíte determinant matice 4 × 4?
K nalezení determinantu matice 4×4 můžete použít různé metody, jako je rozšíření o nezletilé, zmenšení řádků nebo použití specifických vlastností.
Jednou z běžných metod je použití rozšiřování podle nezletilých, kdy expandujete podél řádku nebo sloupce vynásobením každého prvku jeho kofaktorem a sečtením výsledků. Tento proces pokračuje rekurzivně, dokud nedosáhnete podmatice 2×2, pro kterou můžete přímo vypočítat determinant. Chcete-li pochopit, jak najít determinant matice 4×4, zvažte příklad.
smyčky while a do while v Javě
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
Krok 1: Rozbalte podél prvního řádku:
it(A) = 2 · it(A jedenáct ) – 1 · it(A 12 ) + 3 · it(A 13 ) – 4 · it(A 14 )
Kdeijoznačuje podmatici získanou vymazáním i-tého řádku a j-tého sloupce.
Krok 2: Vypočítejte determinant každé podmatice 3×3.
Projedenáct
⇒ |Ajedenáct| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]
⇒ |Ajedenáct| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |Ajedenáct| = 10 – 2 (-13) + 4
⇒ |Ajedenáct| = 10 + 26 + 4 = 40
Pro12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16+ 6= 10
Pro13
⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2) (-1)]
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1) (8) + 2 (11)
⇒ |A13| = 8 + 22 = 30
sanjay dutt a
Pro14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2) (-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1) (6) + 2 (11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
Krok 3: Dosaďte determinanty podmatic 3×3 do expanzního vzorce:
(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28
Krok 4: Vypočítejte konečný determinant:
it(A) = 80 – 10 + 90 – 112
it(A) = 48
Takže determinant dané matice 4×4 je 48.
Také zkontrolujte
- Determinant matice 2×2
- Determinant matice 3×3
Determinant maticových příkladů 4×4
Příklad 1: A =
Řešení:
První Rozbalte podél prvního řádku:
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) Nyní vypočítejte determinant každé podmatice 3×3.
Pro jedenáct ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
= -25
python je číselnýPro 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2) -(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
= -14 – 0 – 21
= -35
Pro 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ))-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
Pro 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)(6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
Nyní dosaďte determinanty podmatic 3×3 do expanzního vzorce:
det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
Takže determinant matice (A) je 24.
Příklad 2: Vypočítejte determinant matice
Řešení:
Abychom našli determinant matice ( A ), použijeme metodu rozšíření podle vedlejších významů podél prvního řádku:
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} Nyní spočítejme determinanty podmatic 3×3:
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) co je jquery= 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
Nyní nahraďte tyto determinanty zpět do expanzního vzorce:
it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120
Takže determinant matice ( A ) je det(A) = -120.
Příklad 3: Najděte determinant matice B =
Řešení:
K nalezení determinantu matice ( B ) použijeme metodu rozšíření podle vedlejších významů podél prvního řádku:
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} Nyní spočítejme determinanty podmatic 3×3:
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
Nyní nahraďte tyto determinanty zpět do expanzního vzorce:
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ cokoliv
= 8 + 9 – 36 + 0
= -19
Takže determinant matice ( B ) je det(B) = -19
Determinant 4×4 Matrix Practice Questions
Q1: Vypočítejte determinant následující matice 4×4:
Q2: Najděte determinant matice:
Q3: Vypočítejte determinant následující matice 4×4:
Q4: Určete determinant matice:
Q5: Najděte determinant matice:
nejkrásnější úsměv
Časté otázky o determinantu matice 4×4
Jak zjistíte determinant matice 4×4?
K nalezení determinantu matice 4×4 můžete použít různé metody, jako je expanze kofaktoru nebo techniky redukce řádků.
Co je determinantem matice identity 4×4?
Determinant matice identity 4×4 je 1, protože jde o speciální případ, kdy všechny diagonální prvky jsou 1 a zbytek je 0.
Jak najít determinant matice 4×4 pomocí expanze kofaktoru?
Určení determinantu matice 4×4 pomocí expanze kofaktoru zahrnuje její rozdělení na menší matice 3×3, aplikaci kofaktorového vzorce a sečtení produktů.
Jaký je vzorec determinantu?
Vzorec pro determinant zahrnuje sečtení součinů prvků a jejich kofaktorů v každém řádku nebo sloupci s ohledem na jejich znaménka.
Může být determinant záporný?
Ano, determinanty mohou být záporné, kladné nebo nulové, v závislosti na konkrétní matici a jejích vlastnostech.
Může mít matice 4×4 inverzi?
Matice 4×4 může mít inverzi, pokud je její determinant nenulový; jinak je singulární a postrádá inverzní.
Jak ukážete, že matice 4×4 je invertibilní?
Chcete-li ukázat, že matice 4×4 je invertibilní, potvrďte, že její determinant je nenulový, což naznačuje existenci inverze, a použijte další kritéria, jako je redukce řádků, abyste ověřili invertibilitu.