DETERMINANT MATICE 3×3

Determinant je základní koncept v lineární algebře používaný k nalezení jediné skalární hodnoty pro danou matici. Tento článek vysvětlí, co je matice 3 × 3 a jak vypočítat determinant matice 3 × 3 krok za krokem, a také její aplikace. Ať už jste student, který se učí lineární algebru, nebo nadšenec, který hledá hlubší porozumění maticovým operacím, pochopení determinantu matice 3 × 3 je cennou dovedností, kterou si musíte osvojit.

Co je determinant matice?

Determinant matice je jedno číslo vypočítané ze čtvercové matice. V oblasti lineární algebry se determinanty nacházejí pomocí hodnot ve čtvercové matici. Toto číslo funguje jako faktor měřítka, který ovlivňuje, jak se matice transformuje. Determinanty jsou cenné pro řešení soustav lineárních rovnic, hledání inverzní matice a různé početní operace.

Co je matice 3 × 3?

Matice 3 × 3 je a matice ve kterém je počet řádků a sloupců rovný 3. Protože je počet řádků a sloupců stejný, 3 × 3 je čtvercová matice řádu 3 × 3. Matice je jako tabulka složená z čísel uspořádaných do řádků a sloupců. Slouží k ukládání a práci s daty v matematice a dalších oborech. Zatímco matice 3 × 3 je specifický typ matice, která se skládá ze tří řádků a tří sloupců. Může být reprezentován jako:

3 × 3 matice

testování softwaru

Vlastnosti matice 3 × 3

Stejně jako ostatní matice mají i matice 3 × 3 některé důležité vlastnosti.

Čtvercová matice : Matice 3 × 3 má tři řádky a tři sloupce, což z ní dělá čtvercovou matici.

Determinant: Matice 3 × 3 má determinant, číselnou hodnotu rozhodující pro řešení rovnic a hledání inverzí.

Násobení matice: Matici 3 × 3 můžete vynásobit jinou maticí, pokud počet sloupců v první matici odpovídá počtu řádků ve druhé.

Inverzní: Matice 3 × 3 může mít inverzi, pokud je její determinant nenulový. Inverzní matice po vynásobení původní maticí dává matici identity.

Determinant maticového vzorce 3 × 3

Pro výpočet determinantu matice existují různé metody. Nejběžnějším přístupem je rozdělení dané matice 3 × 3 na menší determinanty 2 × 2. To zjednodušuje proces hledání determinantu a je široce používáno v lineární algebře.

Vezměme čtvercovou matici 3 × 3, která se zapíše jako,

Pro výpočet determinantu matice A, tj. |A|.

Rozbalte matici podél prvků prvního řádku.

Proto,

Jak zjistíte determinant matice 3 × 3?

Pojďme pochopit výpočet matice 3 × 3 na příkladu. Pro danou matici 3 × 3 níže.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Krok 1: Vyberte referenční řádek nebo sloupec

Vyberte řádek a sloupec pro začátek, předpokládejme, že v tomto příkladu vezmeme první prvek (2) jako referenci pro výpočet determinantu matice 3 × 3.

Takže rozšíření podél řady R₁

odstranit

Krok 2: Přeškrtněte řádek a sloupec

Odstraňte vybraný řádek a sloupec, abyste jej zjednodušili v matici 2 × 2.

2×2 Matrix

Krok 3: Najděte determinant matice 2 × 2

Najděte determinant matice 2 × 2 pomocí vzorce

Determinant = (a × d) – (b × c)

Křížové násobení

Zde a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

vložením těchto hodnot do výše uvedeného vzorce determinantu dostaneme

Determinant = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinant = 0- (-1)

Determinant = 0+1

∴ Determinant matice 2 × 2 = 1

Krok 4: Vynásobte vybraným prvkem

Vynásobte determinant matice 2 × 2 vybraným prvkem z referenčního řádku (což je v tomto případě 2, 1 a 3):

první prvek = 2 × 1 = 2

Krok 5: Opakujte tento postup pro druhý prvek ve zvolené referenční řadě

Pro druhý prvek

Najděte Determinant pro druhý prvek 1 zadáním hodnot matice 2×2 do vzorce

Determinant = (a × d) – (b × c)

Zde a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinant = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinant = 8 – 2

Determinant = 6

Nyní vynásobte determinant matice 2 × 2 vybraným prvkem z referenčního řádku (což je v tomto případě 1):

druhý prvek = 1 × 6 = 6

Krok 6: Opakujte tento postup pro třetí prvek ve zvolené referenční řadě

Pro Třetí Element

Najděte Determinant pro třetí prvek 3 vložením hodnot matice 2×2 do vzorce

Determinant = (a × d) – (b × c)

Zde a = 4, b = 0, c = 2, d = -1

Determinant = (4 × -1) – (0 × 2)

java regex $

Determinant = -4 – 0

Determinant = -4

Nyní vynásobte determinant matice 2×2 vybraným prvkem z referenčního řádku (což je v tomto případě 3):

druhý prvek = 3 × (-4) = -12

Krok 7: Použití vzorce

Sečtěte všechny výsledky z kroku 4, 5 a 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 je determinant matice 3 × 3.

Aplikace determinantu matice 3 × 3

Determinant matice lze použít k nalezení inverze a řešení soustavy lineárních rovnic. Naučíme se tedy najít inverzní matici 3 × 3 a také řešit soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla, které zahrnuje použití determinantu matice 3 × 3.

Inverzní k matici 3 × 3

Vzorec pro nalezení inverze ke čtvercové matici A je:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Kde,

A-1 je inverzní k matici A .
Det(A) představuje determinant matice A.
adj(A) znamená adjugát matice A

Jednoduše řečeno, můžete pomocí následujících kroků najít inverzní matici:

Krok 1. Vypočítejte determinant matice A.

Krok 2. Najděte adjugát matice A.

Krok 3 Vynásobte každý prvek v adjugátu 1/det(A).

Tento vzorec se používá pro čtvercové matice (matice se stejným počtem řádků a sloupců) a předpokládá, že determinant je nenulový, což je nutná podmínka, aby matice měla inverzní hodnotu.

Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo poskytuje vzorec pro řešení systému lineárních rovnic pomocí determinantů. Pro soustavu lineárních rovnic s n proměnnými jsou uvedeny ve tvaru

AX=B

Kde,

A = Koeficient čtvercové matice
X = Sloupcová matice s proměnnými
B = Sloupcová matice s konstantami

Uvažujme následující soustavu lineárních rovnic

A₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

A₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

java přidat do pole

. . .

A_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Proměnné x, y, z, …, se určují pomocí následujících vzorců:

x = D_X/D
y = D_a/D
z = D_S/D

Kde:

D je determinant matice koeficientů.
D_Xje determinant matice získaný nahrazením koeficientů x konstantami na pravé straně.
D_aje determinant matice získaný nahrazením koeficientů y
D_Sje determinant matice získaný nahrazením koeficientů z

Cramerovo pravidlo je použitelné, když determinant matice koeficientů D je nenulový. Je-li D = 0, nelze použít pravidlo, které v závislosti na konkrétním případě ukazuje buď žádné řešení, nebo nekonečně mnoho řešení.

Také zkontrolujte

Typy matic
Systém lineárních rovnic se třemi proměnnými
Maticové operace

Determinant 3 × 3 maticově řešených příkladů

Příklad 1: Najděte determinant matice A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinant A = 2 (4×2 – 5×6) – 3 (0×2 – 5×1) + 1 (0×6 – 4×1)

⇒ Determinant A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinant A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinant A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinant A =-44+11

∴ Determinant A, tj. |A| = (-33)

Příklad 2: Najděte determinant matice B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Detrminant B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1 (0×1 – 3×4)

⇒ Determinant B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinant B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinant B =6-12

⇒ Determinant B = (-6)

∴ Determinant B tj. |B| = 6

Příklad 3: Najděte determinant matice C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinant matice C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinant C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinant C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinant C = 24 + 10 -8

⇒ Determinant C = 26

∴ Determinant C tj. |C| = 26

Příklad 4: Řešte danou soustavu rovnic pomocí Cramerova pravidla

řetězec v int

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Řešení:

Krok 1: Nejprve najděte Determinant D matice koeficientů.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

O řešení tohoto determinantu D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Krok 2: Nyní najděte determinanty D_X,D_aa D_S

Pro D_X, nahradíme koeficienty x konstantami na pravé straně:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Pro D_a, nahradíme koeficienty y konstantami:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Pro D_S, nahradíme koeficienty z konstantami:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

O řešení determinantu D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_X= -49 + 42 + 28

Tedy D_X= 21

O řešení determinantu D_a

D_a= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_a= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_a= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_a= -68 + 14 + 24

⇒ D_a= -30

O řešení determinantu D_S

D_S= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_S= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_S= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_S= 20 – 6 – 98

⇒ D_S= -84

Krok 3: Nyní zadejte hodnoty D, D_X, D_aa D_Sve vzorci Carmerova pravidla najít hodnoty x, y a z.

x = D_X/D = 21/(-19)

y = D_a/D = (-30)/(-19)

z = D_S/D = (-84)/(-19)

Cvičné otázky o determinantu matice 3 × 3

Q1. Vypočítejte determinant matice identity:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Najděte determinant matice:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Určete determinant matice:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Vypočítejte determinant matice:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

pivot sql serveru

Q5. Najděte determinant matice:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Určete determinant matice:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}