Derivát Arcsinu x je d/dx (arcsin x) = 1/√1-x² . Označuje se d/dx(arcsin x) nebo d/dx(sin^-1X). Derivát Arcsinu se týká procesu hledání rychlosti změny funkce Arcsin x vzhledem k nezávislé proměnné. Derivát Arcsinu x je také známý jako diferenciace Arcsinu.

V tomto článku se seznámíme s derivátem Arcsinu a jeho vzorcem včetně důkazu vzorce pomocí prvního principu derivací, kvocientového pravidla a metody řetězových pravidel.

Obsah

instance Java

• Co je to derivace v matematice?
• Co je to derivát Arcsinu x?
• Důkaz derivátu Arcsin x
• Řešené příklady na derivaci Arcsinu x

Co je to derivace v matematice?

Derivát funkce je rychlost změny funkce vzhledem k jakékoli nezávisle proměnné. Derivace funkce f(x) je označena jako f'(x) nebo (d /dx)[f(x)]. Derivace goniometrické funkce se nazývá derivace goniometrické funkce nebo trigonometrické derivace. Derivace funkce f(x) je definována jako:

f'(x ₀ ) = lim _h→0 [f(x ₀ + h) – f(x ₀ )] / h

Co je to derivát Arcsinu x?

Mezi inverzní trig deriváty , derivace Arcsinu x je jednou z derivací. Derivace funkce arcsin představuje rychlost, kterou se křivka arcsin v daném bodě mění. Označuje se d/dx(arcsin x) nebo d/dx(sin^-1X). Arcsinx je také známý jako inverzní sin x.

Derivace Arcsinu x je 1/√1-x²

Derivát Arcsin x Formula

Vzorec pro derivaci Arcsinu x je dán takto:

(d/dx) [Arcsin x] = 1/√1-x²

NEBO

(Arcsin x)' = 1/√1-x²

Zkontrolujte také, Inverzní Goniometrická funkce

Důkaz derivátu Arcsin x

Derivaci tan x lze dokázat následujícími způsoby:

• Pomocí Chain Rule
• Použitím prvního principu derivace

Derivát Arcsinu podle Chain Rule

Abychom dokázali derivaci Arcsinu x řetězovým pravidlem, použijeme základní trigonometrický a inverzní trigonometrický vzorec:

• bez²a + cos²y = 1
• sin(arcsin x) = x

Zde je důkaz derivace Arcsinu x:

Nechť y = arcsinx

Brát hřích na obě strany

siny = hřích (arcsinx)

Podle definice inverzní funkce máme

sin(arcsinx) = x

Takže rovnice se stává siny = x …..(1)

Rozlišení obou stran vzhledem k x,

d/dx (siny) = d/dx (x)

útulný · d/dx(y) = 1 [ Jako d/dx(hřích x) = cos x]

dy/dx = 1/útulný

Použití jedné z trigonometrických identit

bez²y+cos²y = 1

∴cos y = √1 – hřích²y = √1–x²[Z (1) máme siny = x]

dy/dx = 1/√(1–x²)

Dosazením y = arcsin x

d/dx (arcsinx) = arcsin′x = 1/√1 – x ²

Zkontrolujte také, Řetězové pravidlo

Derivát Arcsinu podle prvního principu

Dokázat derivaci arcsinu x pomocí První princip derivace , použijeme základní limity a trigonometrické vzorce které jsou uvedeny níže:

• bez²y+cos²y = 1

• lim_x→0x/sinx = 1

• sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2]

Můžeme dokázat derivaci arcsinu podle prvního principu pomocí následujících kroků:

Nechť f(x) = arcsinx

Podle prvního principu máme

frac{d f( x)}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{f (x + h)- f(x)}{h}

dáme f(x) = arcsinx, dostaneme

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{h o 0} frac{arcsin (x + h)- arcsin x}{h}….(1)

Předpokládejme, že arcsin (x + h) = A a arcsin x = B

tak máme,

hřích A = x+h …..(2)

hřích B = x…….(3)

Odečteme (3) od (2), máme

sin A – sinB = (x+h) – x

sinA – sinB = h

Pokud h → 0, (hřích A – hřích B) → 0

hřích A → hřích B nebo A → B

Dosaďte tyto hodnoty do rovnice (1)

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{Sin A- Sin B}

Pomocí sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2] dostaneme

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{2Cos frac{A+B}{2}- 2 Sin frac{A-B}{2}}

který lze zapsat jako:

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{frac{A- B}{2}}{Sin frac{A-B}{2}} imes frac{1}{Cos frac{A+B}{2}}

Teď známe lim_x→0x/sinx = 1, proto se výše uvedená rovnice změní na

frac{d}{dx}(arcsin x) ={1} imes frac{1}{Cos frac{B+B}{2}}

frac{d}{dx}(arcsin x) =frac{1}{Cos {B}}

Použití jedné z trigonometrických identit

bez²y+cos²y = 1

∴ cos B = √1 – hřích²B = √1–x²[Hřích B = x z (3)]

f′(x) = dy/dx = 1 / √(1–x²)

Také zkontrolujte

• Derivace goniometrické funkce
• Diferenciační vzorec
• Derivát Arctan x
• Derivace inverzních funkcí

Řešené příklady na derivaci Arcsinu x

Příklad 1: Najděte derivaci y = arcsin (3x).

Řešení:

Nechť f(x) = arcsin (3x).

Víme, že d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Řetězovým pravidlem,

d/dx(arcsin(3x)) = 1/√(1 – (3x)² · d/dx (3x)

= 1/ √(1-9x²) · (3)

= 3/√ (1-9x²)

Derivace y = arcsin (3x) je tedy 3/√(1 -9x²).

Příklad 2: Najděte derivaci y = arcsin (1/2x).

Řešení:

Nechť f(x) = arcsin (1/2x).

Víme, že d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Řetězovým pravidlem,

d/dx(arcsin(1/2x)) = 1/√(1 – (1/2x)² · d/dx (1/2x)

= 1/ √(1 -(1/4x²) )· (-1/2x²)

hranatý materiál

= 1/√ (4x²– 1)/4x²· (-1/2x²)

= -1/x√4x²- 1

Derivace y = arcsin (1/x) je tedy -1/x√4x²- 1.

Příklad 3: Najděte derivaci y = x arcsin x.

Řešení:

Máme y = x arcsin x.

d/dx(arcsin(1/x)) = x · d/dx (arcsin x) + arcsin x · d/dx (x)

= x [1/√1-x²] + arcsin x (1)

= x/√1-x² + arcsin x
Derivace y = arcsin (1/x) je tedy x/√1-x² + arcsin x

Cvičné otázky o derivaci hříchu x

Q1. Najděte derivaci arcsin(5x).

Q2. Najděte derivaci x³arcsin(x).

Q3. Vyhodnocení: d/dx [ arcsin(x) / x²+ 1]

Q4. Vyhodnoťte derivaci arcsin(x) – tan(x)

Často kladené dotazy týkající se derivátu Arcsinu

Co je derivát Arcsinu?

Derivace Arcsinu x je 1/√1-x²

Co je derivace v matematice?

V matematice je derivace mírou toho, jak se funkce mění, když se mění její vstup (nezávislá proměnná). Derivace funkce f(x) je označena jako f'(x) nebo (d /dx)[f(x)].

Co je derivace arcsin(1/x)?

Derivace arcsinu(1/x) je (-1) / (x√x² – 1).

Co je derivát?

Derivace funkce je definována jako rychlost změny funkce vzhledem k nezávislé proměnné.

Co je derivace hříchu x?

Derivát sin x je cos x.