Trigonometrické vzorce jsou rovnice, které spojují strany a úhly trojúhelníků. Jsou nezbytné pro řešení široké škály problémů v matematice, fyzice, strojírenství a dalších oborech.

Zde jsou některé z nejběžnějších typů trigonometrických vzorců:

• Základní definice: Tyto vzorce definují trigonometrické poměry (sinus, kosinus, tangens atd.) v podmínkách stran pravoúhlého trojúhelníku.
• Pythagorova věta: Tato věta dává do souvislosti délky stran v pravoúhlém trojúhelníku.
• Úhlové vztahy: Tyto vzorce spojují trigonometrické poměry různých úhlů, jako jsou vzorce součtu a rozdílu, vzorce dvojitého úhlu a vzorce polovičního úhlu.
• Reciproční identity: Tyto vzorce vyjadřují jeden trigonometrický poměr v podmínkách jiného, ​​jako je sin(θ) = 1/coc(θ).
• Jednotkový kruh: Jednotková kružnice je grafickým znázorněním trigonometrických poměrů a lze ji použít k odvození mnoha dalších vzorců.
• Sinusový a kosinový zákon: Tyto zákony spojují strany a úhly jakéhokoli trojúhelníku, nejen pravoúhlého.

Čtěte dále a dozvíte se o různých goniometrických vzorcích a identitách, vyřešených příkladech a praktických problémech.

Obsah

• Co je to trigonometrie?
• Přehled vzorce trigonometrie
• Základní trigonometrické poměry
• Trigonometrické identity
• Seznam trigonometrických vzorců

Co je to trigonometrie?

Trigonometrie je definována jako odvětví matematiky, které se zaměřuje na studium vztahů zahrnujících délky a úhly trojúhelníků. Trigonometrie se skládá z různých druhů problémů, které lze řešit pomocí goniometrických vzorců a identit.

Funkce trigonometrie

Goniometrické funkce jsou matematické funkce, které spojují úhly pravoúhlého trojúhelníku s délkami jeho stran. Mají široké uplatnění v různých oblastech, jako je fyzika, inženýrství, astronomie a další. Mezi primární goniometrické funkce patří sinus, kosinus, tečna, kotangens, sečna a kosekans.

Přehled vzorce trigonometrie

Trigonometrické vzorce jsou matematické výrazy, které spojují úhly a strany a Pravoúhlý trojuhelník . Existují 3 strany pravoúhlého trojúhelníku je vytvořen z:

• Přepona : Toto je nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku.
• Kolmá/Protější strana : Je to strana, která svírá s daným úhlem pravý úhel.
• Základna : Základna se vztahuje k přilehlé straně, kde jsou spojeny přepona i protější strana.

Poměr trigonometrie

Pro studenty tříd 9, 10, 11, 12 jsou zde stručně uvedeny všechny trigonometrické poměry, identity součinu, vzorce polovičního úhlu, vzorce pro dva úhly, identity součtů a rozdílů, identity kofunkčních identit, znaménko poměrů v různých kvadrantech atd. .

spouštění skriptů v linuxu

Zde je seznam vzorců v trigonometrii, o kterých budeme diskutovat:

• Základní trigonometrické poměrové vzorce
• Vzorce jednotkového kruhu
• Trigonometrické identity

Základní trigonometrické poměry

V trigonometrii existuje 6 poměrů. Tyto funkce se označují jako goniometrické funkce. Níže je uveden seznam trigonometrické poměry , včetně sinus, kosinus, sekans, kosekans, tangens a kotangens.

Jednotkový kruhový vzorec v trigonometrii

Pro jednotkovou kružnici, jejíž poloměr je roven 1, i je úhel. Hodnoty přepony a základny se rovnají poloměru jednotkové kružnice.

Přepona = přilehlá strana (základna) = 1

Poměry trigonometrie jsou dány vztahem:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• dětská postýlka θ = x/y
• sec 6 = 1/x
• cosec θ = 1/y

Diagram goniometrických funkcí

Trigonometrické identity

Vztah mezi goniometrickými funkcemi je vyjádřen pomocí goniometrických identit, někdy označovaných jako trig identity nebo trig vzorce. Zůstávají pravdivé pro všechny hodnoty reálných čísel přiřazených proměnných v nich.

• Reciproční identity
• Pythagorejské identity
• Identity periodicity (v radiánech)
• Vzorec pro sudý a lichý úhel
• Kofunkční identity (ve stupních)
• Součtové a rozdílové identity
• Dvojité úhly identity
• Vzorce inverzní trigonometrie
• Trojúhelníkové identity
• Identity polovičního úhlu
• Součet k identitám produktu
• Identity produktu

Pojďme si tyto identity podrobně probrat.

Reciproční identity

Všechny reciproční identity jsou získány pomocí pravoúhlého trojúhelníku jako reference. Reciproční identity jsou následující:

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• postýlka θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/kosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/dětská postýlka θ

Pythagorejské identity

Podle Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku, pokud je „c“ přepona a „a“ a „b“ jsou dvě větve, pak c2 = a2 + b2. Pomocí této věty a trigonometrických poměrů můžeme získat Pythagorovy identity. Tyto identity používáme k převodu jednoho trig poměru na jiný .

• bez²θ + cos²θ = 1
• 1 + tak²θ = sek²i
• 1 + dětská postýlka²θ = kosec²i

Tabulka vzorců trigonometrie

Identity periodicity (v radiánech)

Tyto identity lze použít k posunutí úhlů o π/2, π, 2π atd. Tyto identity jsou také známé jako identity s kofunkčními funkcemi.

Všechno trigonometrické identity opakovat po určité době. Proto mají cyklickou povahu. Tato perioda pro opakování hodnot je různá pro různé goniometrické identity.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Zde je tabulka, která porovnává trigonometrické vlastnosti v různých kvadrantech:

Vzorec pro sudý a lichý úhel

Vzorce sudých a lichých úhlů, také známé jako identity sudé-liché, se používají k vyjádření goniometrických funkcí záporných úhlů pomocí kladných úhlů. Tyto goniometrické vzorce jsou založeny na vlastnostech sudých a lichých funkcí.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• sec(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Kofunkční identity (ve stupních)

Kofunkční identity nám poskytují vzájemný vztah mezi různými trigonometrickými funkcemi. Kofunkce jsou zde uvedeny ve stupních:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = dětská postýlka x
• cot(90°−x) = tan x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Součtové a rozdílové identity

Identity součtu a rozdílu jsou vzorce, které uvádějí do vztahu sinus, kosinus a tangens součtu nebo rozdílu dvou úhlů se sinusy, kosinusy a tečnami jednotlivých úhlů.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dvojité úhly identity

Dvojité úhlové identity jsou vzorce, které vyjadřují goniometrické funkce úhlů, které jsou dvojnásobkem míry daného úhlu z hlediska goniometrických funkcí původního úhlu.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos(2x) = cos²(x) – bez²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2 sin²(X)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(X)]
• sek (2x) = sek²x/(2 – sek²X)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Vzorce inverzní trigonometrie

Inverzní goniometrické vzorce se vztahují k inverzním goniometrickým funkcím, což jsou inverze k základním goniometrickým funkcím. Tyto vzorce se používají k nalezení úhlu, který odpovídá danému trigonometrickému poměru.

• bez ^-1 (–x) = – hřích ^-1 X
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• tak ^-1 (–x) = – tak ^-1 X
• cosec ^-1 (–x) = – kosec ^-1 X
• sek ^-1 (–x) = π – sec ^-1 X
• dětská postýlka ^-1 (–x) = π – postýlka ^-1 X

Trojúhelníkové identity

Trojité úhlové identity jsou vzorce používané k vyjádření goniometrických funkcí trojitých úhlů (3θ) pomocí funkcí jednotlivých úhlů (θ). Tyto trigonometrické vzorce jsou užitečné pro zjednodušení a řešení goniometrických rovnic, kde jsou zapojeny trojité úhly.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ X

počítat zřetelně

cos 3x=4cos ³ x – 3 cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Identity polovičního úhlu

Poloúhlové identity jsou ty trigonometrické vzorce, které se používají k nalezení sinusu, kosinusu nebo tangens poloviny daného úhlu. Tyto vzorce se používají k vyjádření goniometrických funkcí polovičních úhlů v podmínkách původního úhlu.

jak zakázat vývojářský režim

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Taky,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Součet k identitám produktu

Identity součtu k produktu jsou goniometrické vzorce, které nám pomáhají vyjádřit součty nebo rozdíly goniometrických funkcí jako součin goniometrických funkcí.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + útulný = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − útulný = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Identity produktu

Identity produktu, také známé jako identity produktu k součtu, jsou vzorce, které umožňují vyjádření součinů goniometrických funkcí jako součtů nebo rozdílů goniometrických funkcí.

Tyto trigonometrické vzorce jsou odvozeny ze součtových a diferenčních vzorců pro sinus a kosinus.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Seznam trigonometrických vzorců

Níže uvedená tabulka obsahuje základní trigonometrické poměry pro úhly jako 0°, 30°, 45°, 60° a 90°, které se běžně používají pro řešení problémů.

Vyřešené otázky týkající se vzorce trigonometrie

Zde je několik vyřešených příkladů trigonometrických vzorců, které vám pomohou lépe porozumět pojmům.

Otázka 1: Pokud cosec θ + cot θ = x, zjistěte hodnotu cosec θ – cot θ pomocí trigonometrického vzorce.

Řešení:

cosec θ + postýlka θ = x

Víme, že cosec²θ+ postýlka²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ dětská postýlka θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Otázka 2: Pomocí trigonometrických vzorců ukažte, že tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Řešení:

My máme,

L.H.S= opálení 10 ° So 15 ° takže 75 ° takže 80 °

= opálení (90-80) ° So 15 ° opálení (90-15) ° takže 80 °

= dětská postýlka 80 ° So 15 ° dětská postýlka 15 ° takže 80 °

= (postýlka 80 ° *tak 80 ° ) (postýlka 15 ° * So 15 ° )

= 1 = R.H.S

Otázka 3: Pokud sin θ cos θ = 8, najděte hodnotu (sin θ + cos θ) ² pomocí trigonometrických vzorců.

Řešení:

(sin θ + cos θ)²

návrhové vzory v jazyce Java

= bez²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Otázka 4: Pomocí trigonometrických vzorců dokažte, že (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Řešení:

L.H.S = (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1)

= [(tan θ + sec θ) – (sek²θ – tak²θ)]/(tan θ – sek θ + 1), [Od, sek.²θ – tak²θ = 1]

mysql změnit typ sloupce

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + tan θ) (sek θ – tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (1 – sek θ + tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (tan θ – sek θ + 1)}/(tan θ – sek θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin 6)/cos 9 = R.H.S. Dokázal.

Časté dotazy o trigonometrických vzorcích a identitách

Co je to trigonometrie?

Trigonometrie je odvětví matematiky, které se zaměřuje na vztahy mezi úhly a stranami trojúhelníků, zejména pravoúhlých trojúhelníků.

Jaké jsou tři základní trigonometrické poměry?

• Sin A = kolmice/ přepona
• Cos A = základ/hypotenza
• Tan A= Kolmá/ Základna

Na který trojúhelník lze použít goniometrické vzorce?

Trigonometrické vzorce jsou použitelné pro pravoúhlé trojúhelníky.

Jaké jsou hlavní trigonometrické poměry?

Sinus, kosinus, tečna, kotangens, sekanta a kosekant.

Pro který úhel se hodnota poměru opálení rovná poměru lůžkovin?

Pro hodnotu 45° je opálení 45°= postýlka 45° = 1.

Jaký je vzorec pro sin3x?

Vzorec pro sin3x je 3sin x – 4 sin³X.