Moment setrvačnosti je vlastnost tělesa v rotačním pohybu. Moment setrvačnosti je vlastnost rotačních těles, která má tendenci bránit se změně rotačního pohybu tělesa. Je podobná setrvačnosti jakéhokoli tělesa při translačním pohybu. Matematicky je moment setrvačnosti dán jako součet součinu hmotnosti každé částice a druhé mocniny vzdálenosti od rotační osy. Měří se v jednotkách kgm ² .

Pojďme se podrobně dozvědět o Momentu setrvačnosti v článku níže.

Obsah

• Definice momentu setrvačnosti
• Formule Moment setrvačnosti
• Faktory ovlivňující moment setrvačnosti
• Jak vypočítat moment setrvačnosti?
• Moment setrvačnosti Formule pro různé tvary
• Poloměr otáčení
• Věty o momentu setrvačnosti
• Momenty setrvačnosti pro různé předměty

Definice momentu setrvačnosti

Moment setrvačnosti je tendence tělesa v rotačním pohybu, který je proti jeho změně rotační pohyb vlivem vnějších sil. Moment setrvačnosti se chová jako úhlová hmota a nazývá se rotační setrvačnost. Moment setrvačnosti je analogický s mechanickým Setrvačnost z těla.

MOI je definován jako množství vyjádřené součtem součinu Hmotnost každé částice s druhou mocninou její vzdálenosti od osy rotace pro jakoukoli částici vykonávající rotační pohyb.

Jednotka momentu setrvačnosti

Moment setrvačnosti je skalární veličina a jednotka SI momentu setrvačnosti je kgm ² .

Moment setrvačnosti Rozměrný vzorec

Protože moment setrvačnosti je dán jako součin hmotnosti a čtverce vzdálenosti. Své rozměrový vzorec je dán součinem rozměrového vzorce hmotnosti a druhé mocniny rozměrového vzorce délky. Rozměrový vzorec momentu setrvačnosti je, ML ²

Co je setrvačnost?

Setrvačnost je vlastnost hmoty, díky které má tendenci odolávat změně stavu svého pohybu. To znamená, že těleso v klidu se snaží zůstat v klidu a odolávat jakékoli síle, která se ho snaží uvést do pohybu, a těleso v pohybu se snaží pokračovat v pohybu a odolávat jakékoli síle, která se ho snaží přivést ke změně velikosti jeho pohybu. Pokud jde o množství, rovná se maximální síle, která se snaží změnit svůj stav pohyb .

Dozvědět se víc o Setrvačnost .

Formule Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti je a skalární veličina . Matematicky se součin druhé mocniny hmotnosti částice a vzdálenosti od osy rotace nazývá moment setrvačnosti částice k ose rotace.

Obecný vzorec pro zjištění momentu setrvačnosti jakéhokoli objektu je,

já = pan ²

kde,
m je hmotnost předmětu'
r je vzdálenost od osy otáčení

Pro těleso sestávající ze spojitých nekonečně malých částic se k výpočtu momentu setrvačnosti používá integrální forma momentu setrvačnosti.

I = ∫dl

Já = int_{0}^{M} r^2 dm

Moment setrvačnosti soustavy částic

Moment setrvačnosti systému částic je dán vzorcem,

I = ∑m _i r _i ²

kde,
r _i je kolmá vzdálenost i^čtčástice z osy
m _i je hmotnost i^čtčástice

Výše uvedená rovnice momentu setrvačnosti říká, že moment setrvačnosti pro systém částic je roven součtu součinu hmotnosti každé částice a druhé mocniny vzdálenosti od osy rotace každé částice.

Pro níže uvedený obrázek

Moment setrvačnosti první částice = m₁×r₁²

Moment setrvačnosti druhé částice = m₂×r₂²

Moment setrvačnosti třetí částice = m₃×r₃²

Podobně,

Moment setrvačnosti n^čtčástice = m_n×r_n²

Nyní moment setrvačnosti celého tělesa kolem osy otáčení AB se bude rovnat součtu momentu setrvačnosti všech částic, takže

já = m₁×r₁²+ m₂×r₂²+ m₃×r₃²+……+m_n×r_n²

věk rihanny

I = Σm _i ×r _i ²

kde,
já představují moment setrvačnosti tělesa kolem osy otáčení
m _i je hmotnost i^čtčástice,
r _i je poloměr i^čtčástice
S představuje součet.

Z rovnice můžeme říci, že moment setrvačnosti tělesa k pevné ose je roven součtu součinu hmotnosti každé částice tohoto tělesa a druhé mocniny její kolmé vzdálenosti od pevné osy.

Faktory ovlivňující moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti jakéhokoli objektu závisí na následujících hodnotách:

• Tvar a velikost objektu
• Hustota materiálu předmětu
• Osa rotace

Jak vypočítat moment setrvačnosti?

Používá se několik způsobů vypočítat moment setrvačnosti jakéhokoli rotujícího předmětu.

• U stejnoměrných objektů se moment setrvačnosti vypočítá tak, že se vezme součin jeho hmotnosti s druhou mocninou jeho vzdálenosti od osy rotace (r²).
• U nestejnoměrných objektů vypočítáme moment setrvačnosti tak, že vezmeme součet součinu hmotností jednotlivých bodů na každém různém poloměru.

I = ∑m _i r _i ²

Moment setrvačnosti Formule pro různé tvary

Tato tabulka popisuje výrazy pro moment setrvačnosti pro některé symetrické objekty spolu s jejich rotační osou:

Poloměr otáčení

The Poloměr otáčení tělesa je definována jako kolmá vzdálenost od osy rotace k hmotnému bodu, jehož hmotnost se rovná hmotnosti celého tělesa a moment setrvačnosti se rovná skutečnému momentu setrvačnosti předmětu tak, jak byl předpokládá se, že je zde soustředěna celková hmota těla. Je to pomyslná vzdálenost. Poloměr otáčení je označen K.

Pokud je hmotnost a poloměr otáčení tělesa M a K, pak moment setrvačnosti tělesa je

Já = MK ² ……(1)

Poloměr otáčení tělesa je tedy kolmý k ose rotace, jejíž čtverec vynásobený hmotností tohoto tělesa udává moment setrvačnosti tohoto tělesa kolem této osy.

Opět podle rovnice (1), K²= I/M

K = √ (I/m)

Poloměr otáčení tělesa kolem osy se tedy rovná druhé odmocnině poměru tělesa kolem této osy.

Věty o momentu setrvačnosti

Existují dva typy teorémů, které jsou velmi důležité s ohledem na moment setrvačnosti:

• Věta o paralelní ose
• Věta o kolmé ose

Věta o kolmé ose

Věta o kolmé ose uvádí, že součet momentu setrvačnosti tělesa ke dvěma vzájemně kolmým osám ležícím v rovině tělesa je roven momentu setrvačnosti tělesa ke třetí ose, která je kolmá na obě osy a prochází jejich bodem. křižovatky.

Na obrázku výše VŮL a LTD jsou dvě osy v rovině tělesa, které jsou na sebe kolmé. Třetí osa je OZ která je kolmá k rovině tělesa a prochází průsečíkem VŮL a LTD sekery. Li já _X , já _a , a já _S jsou momenty setrvačnosti tělesa kolem osy VŮL , LTD , a OZ os, respektive, pak podle této věty

já _X + já _a = já _S

Věta o paralelní ose

Podle Věta o paralelní ose , moment setrvačnosti tělesa k dané ose je součtem momentu setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm tohoto tělesa a součinu druhé mocniny hmotnosti tělesa a kolmé vzdálenosti mezi dvě osy.

Nechť ve výše uvedeném obrázku, musíme najít moment setrvačnosti já _Ó tělesa procházejícího bodem Ó a kolem osy kolmé k rovině, přičemž moment setrvačnosti tělesa procházejícího těžištěm C a kolem osy rovnoběžné s danou osou je já _C , pak podle této věty

já _Ó = já _C + Ml ²

kde
M je hmotnost celého těla
l je kolmá vzdálenost mezi dvěma osami.

Momenty setrvačnosti pro různé předměty

Moment setrvačnosti různých objektů je popsán níže v tomto článku

Moment setrvačnosti obdélníkové desky

Je-li hmotnost desky M, délka l a šířka b, pak moment setrvačnosti prochází těžištěm a kolem osy kolmé k rovině desky.

I = M(l ² + b ² / 12)

Moment setrvačnosti disku

Pokud má disk hmotnost M a poloměr r, pak moment setrvačnosti kolem geometrické osy disku je

I = 1/2 (Mr ² )

Moment setrvačnosti tyče

Je-li hmotnost tyče M a délka l, pak moment setrvačnosti kolem osy kolmé k délce tyče a procházející jejím těžištěm

I = ML ² /12

Moment setrvačnosti kruhu

Pokud je hmotnost prstence M a poloměr prstence r, pak moment setrvačnosti kolem osy procházející kolmo ke středu prstence je

Já = Mr ²

kajal aggarwal

Moment setrvačnosti koule

Pokud má pevná koule hmotnost M a poloměr r, pak moment setrvačnosti kolem jejího průměru je

I = 2/5 Mr ²

Moment setrvačnosti pevného válce

Moment setrvačnosti pevného válce o poloměru ‚R‘ a hmotnosti M je dán vztahem

I = 1/2MR ²

Moment setrvačnosti dutého válce

Dutý válec má dva poloměry, a to vnitřní poloměr a vnější poloměr. Moment setrvačnosti dutého válce o hmotnosti M, vnějším poloměru R₁a vnitřní poloměr R₂je dáno jako

I = 1/2M (R ₁ ² + R ₂ ² )

Moment setrvačnosti pevné koule

Moment setrvačnosti pevné koule o hmotnosti „M“ a poloměru „R“ je dán jako

I = 2/5MR ²

Moment setrvačnosti duté koule

Moment setrvačnosti duté koule o hmotnosti M a poloměru „R“ je dán jako

I = 2/3MR ²

Moment setrvačnosti prstenu

Moment setrvačnosti prstence se udává pro dva případy, kdy osa rotace prochází středem a kdy osa rotace prochází průměrem.

Moment setrvačnosti prstence kolem osy procházející středem je dán

převést řetězec na int

Já = MR ²

Moment setrvačnosti prstence kolem osy procházející průměrem je dán

Já = Mr ² /2

Moment setrvačnosti náměstí

Moment setrvačnosti čtverce strany „a“ ​​je dán jako

já = a ⁴ /12

Moment setrvačnosti čtvercové desky o straně délky „l“ a hmotnosti M je dán jako

I = 1/6 ml ²

Moment setrvačnosti trojúhelníku

Moment setrvačnosti trojúhelníku je dán pro 3 situace, první, když osa prochází středem, druhá, když osa prochází základnou a třetí, když je osa kolmá k základně. Podívejme se na vzorec pro ně jeden po druhém. Pro trojúhelník se základnou ‚b‘ a výškou ‚h‘ je vzorec pro moment setrvačnosti dán následovně

Když osa prochází těžištěm

I = bh ³ /36

Když osa prochází základnou

I = bh ³ /12

Když je osa kolmá k základně

I = (hb/36) (b ² – b ₁ b + b ₁ ² )

Rozdíl mezi momentem setrvačnosti a setrvačností

Rozdíl mezi setrvačností a momentem setrvačnosti je uveden v tabulce níže:

Kinetická energie rotujícího těla

Předpokládejme těleso o hmotnosti ‚m‘ rotující rychlostí v ve vzdálenosti ‚r‘ od osy rotace. Jeho úhlová rychlost je pak dána vztahem ω = v/r pak v = rω. Nyní víme, že Kinetická energie těla je dáno

KE = 1/2 mv ²

⇒ KE = 1/2 m(rω)²

⇒ KE = 1/2mr²Ach²

⇒ KE = 1/2Iω ²

Kinetická energie rotujícího tělesa je tedy dána polovinou součinu momentu setrvačnosti a úhlová rychlost z těla. Také se nazývá kinetická energie rotujícího tělesa Rotační kinetická energie . Vzorec rotační kinetické energie je uveden jako

KE = 1/2Iω ²

Moment setrvačnosti (I) je nezávislý na úhlové rychlosti tělesa. Je funkcí hmotnosti rotujícího tělesa a vzdálenosti tělesa od osy rotace. Pozorujeme tedy, že úhlový pohyb je analogický s lineárním pohybem, to znamená, že význam momentu setrvačnosti je v tom, že poskytuje představu o tom, jak jsou hmoty rozloženy v různých vzdálenostech od osy rotace v rotujícím tělese.

Aplikace momentu setrvačnosti

Moment of Inertia má různé aplikace, z nichž některé jsou popsány níže:

• Díky většímu momentu setrvačnosti se Země otáčí kolem své osy se stejnou úhlovou rychlostí.
• Pod dětským motorem na hraní je umístěno malé pohyblivé kolečko. Po tření tohoto kola o zem a opuštění motoru vlivem momentu setrvačnosti kola motor ještě nějakou dobu běží.
• Každý motor se skládá z velkého a těžkého kola připevněného k jeho hřídeli, přičemž většina jeho hmoty je na jeho obvodu. Proto je jeho moment setrvačnosti vysoký. Toto kolo se nazývá setrvačník. Točivý moment, který pohání hřídel motoru, se neustále zvyšuje. Proto rotace hřídele nemusí být rovnoměrná, ale díky přítomnosti pohybujícího se kola s větší setrvačností se hřídel nadále otáčí téměř rovnoměrnou rychlostí.
• V kole volských povozů, rikš, skútrů, jízdních kol atd. je většina hmoty soustředěna na jeho kruhu nebo ráfku. tato obruč nebo rutina je připevněna k ose kola pevnými paprsky. Tím se zvýší jeho moment setrvačnosti. Proto, když se nohy při jízdě na kole přestanou pohybovat, kolo se ještě nějakou dobu otáčí.

Také zkontrolujte

• Kinematika rotačního pohybu
• Pohyb tuhého tělesa
• Pohyblivý pohyb

Řešené příklady na momenty setrvačnosti

Příklad 1: Těleso o hmotnosti 500 g se otáčí kolem osy. vzdálenost těžiště tělesa od osy otáčení je 1,2m. najděte moment setrvačnosti tělesa kolem osy otáčení.

Řešení:

Vzhledem k tomu, že M = 500 g = 0,5 kg, r = 1,2 m.

instanceof

Je zřejmé, že lze předpokládat, že celá hmota tělesa je umístěna v jeho těžišti. Pak moment setrvačnosti tělesa kolem osy otáčení.

Já = Mr²

I = 0,5 × (1,2)²

I = 0,72 kg m²

Příklad 2: Poloměr otáčení kolem osy vzdálené 12 cm od těžiště tělesa o hmotnosti 1,2 kg je 13 cm. Vypočítejte poloměr otáčení a moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm.

Řešení:

Vzhledem k tomu, že M = 1,0 kg, K = 13 cm, l = 12 cm, K_CM= ?, já_CM= ?

Z věty o rovnoběžné ose I = I_CM+ Ml²

K²= K_CM2+ l²

nebo K_CM2= K²– l²

K_CM2 = (13)²– (12)²= 25

K_CM= 5

Nyní moment setrvačnosti I_CM= MK_CM2

já_CM= 1,0 × (0,05)²= 2,5 × 10^-3kg m²

Příklad 3: Těleso o hmotnosti 0,1 kg se otáčí kolem osy. je-li vzdálenost těžiště tělesa od osy otáčení 0,5 m, pak najděte moment setrvačnosti tělesa.

Řešení:

Vzhledem k tomu, že M = 0,1 kg a r = 0,5 m

takže já = Mr²

I = 0,1 × (0,5)²

I = 0,025 kg m²

Příklad 4: Moment setrvačnosti prstenců kolem osy procházející jeho středem kolmo k rovině kruhového prstence je 200 gm cm ² . Jaký bude moment setrvačnosti jeho průměru?

Řešení:

Moment setrvačnosti kruhového prstence kolem osy procházející dalším středem kolmým k jeho rovině

PAN²= 200 gm cm²

Moment setrvačnosti přibližně k průměru

= 1/2 MR²

= 1/2 x 200 = 100 gm cm²

Nejčastější dotazy týkající se momentů setrvačnosti

Jak vypočítat moment setrvačnosti?

Základní vzorec pro zjištění momentu setrvačnosti jakéhokoli jednotného objektu je,

já = pan ²

kde,
m je hmotnost předmětu'
r je vzdálenost od osy otáčení

Jak vypočítat moment setrvačnosti paprsku?

Moment setrvačnosti paprsku podél středu a vodorovné osy s ním se vypočítá pomocí vzorce,

I = ML ² / 12

Na čem závisí moment setrvačnosti tělesa?

Moment setrvačnosti jakéhokoli objektu závisí na níže uvedených faktorech:

• Hmotnost těla,
• Osa otáčení
• Tvar a velikost objektu

Jaká je jednotka momentu setrvačnosti?

Jednotkou momentu setrvačnosti je kgm ²

Může být moment setrvačnosti negativní?

Ne, moment setrvačnosti nemůže být nikdy záporný.

Co je hmotnostní moment setrvačnosti?

Hmotnostní moment setrvačnosti je měření odporu tělesa vůči změně jeho momentu hybnosti nebo směru. Hmotnostní moment setrvačnosti pro hmotu bodu je dán vztahem I = mr²a pro soustavu částic je hmotnostní moment setrvačnosti dán jako I = Σ_im_ir_i²

Co je plošný moment setrvačnosti?

Plošný moment setrvačnosti je vlastnost 2D tvarové roviny, která ukazuje, jak jsou body rozptýleny vzhledem k libovolné ose v rovině. Plošný moment setrvačnosti je také známý jako druhý moment plochy nebo kvadratický moment plochy. Vzorec pro plošný moment setrvačnosti v rovině xy je uveden jako I_xy= ∫xy dxdxy = ∫xy dA