Inverzní k matici 3 × 3 je matice který po vynásobení původním Matrixem dává matice identity jako produkt. Inverze matice je základním aspektem lineární algebry. Tento proces hraje zásadní roli při řešení soustav lineárních rovnic a různých matematických aplikacích. Pro výpočet inverzní matice je nutné vypočítat přidruženou matici, zkontrolovat invertibilitu matice zkoumáním jejího determinantu (který by se neměl rovnat nule) a použít vzorec pro odvození inverzní matice.

Tento článek popisuje různé koncepty inverze matice 3 × 3 a jak najít inverzní matici 3 × 3 výpočtem kofaktorů, adjointů a determinantů matice 3 × 3. Dále v tomto článku najdete také vyřešené příklady pro lepší pochopení a jsou zde uvedeny i cvičné otázky, abychom si ověřili, co jsme se z toho naučili.

Obsah

• Co je inverzní matice 3 × 3?
• Jak najít inverzní matici 3 × 3?
• Prvky použité k nalezení inverzní matice 3 × 3
• Inverzní k maticovému vzorci 3 × 3
• Hledání inverzní matice 3 × 3 pomocí operací s řádky

Co je inverzní matice 3 × 3?

Inverzní matice 3 × 3 je matice, která po vynásobení původní maticí vede k matici identity. Chcete-li najít inverzní matici, můžete vypočítat adjungovanou matici, určit, zda je matice invertibilní (nesingulární) kontrolou jejího determinantu (který by se neměl rovnat nule), a poté použít vzorec A^-1= (adj A) / (det A). Inverzní matice umožňuje řešit soustavy lineárních rovnic a provádět různé matematické operace.

Jak najít inverzní matici 3 × 3?

Postupujte podle níže uvedených kroků, abyste našli inverzní matici 3 × 3:

Krok 1: Nejprve ověřte, zda lze matici invertovat. Chcete-li to provést, vypočítejte determinant matice. Pokud determinant není nula, pokračujte dalším krokem.

Krok 2: Vypočítejte determinant menších matic 2 × 2 v rámci větší matice.

Krok 3: Vytvořte matici kofaktorů.

Krok 4: Získejte Adjugate nebo Adjoint matice provedením transpozice kofaktorové matice.

Krok 5: Nakonec vydělte každý prvek v adjugační matici determinantem původní matice 3 x 3.

Související Přečíst

• Cofactor and Minors of Matrix
• Transpozice Matrixu

Prvky použité k nalezení inverzní matice 3 × 3

K nalezení inverzní matice 3 × 3 se používají hlavně dva prvky:

• Adjunkce Matrixu
• Determinant matice

Spojení matice 3 × 3

The adjunkce matice A se najde transpozicí kofaktorové matice A. Chcete-li podrobně vypočítat adjungování matice, postupujte podle poskytnutých pokynů.

Pro matici 3 × 3 je kofaktorem libovolného prvku determinant matice 2 × 2 vytvořené odstraněním řádku a sloupce obsahujícího tento prvek. Při hledání kofaktorů střídáte pozitivní a negativní znamení.

Například daná matice A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Minor matice se získá následovně:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Vypočítejte determinanty matic 2 × 2 vytvořených diagonálním násobením a odečtením součinů zleva doprava, tj.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

herec rohit Shetty

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Kofaktorová matice je tedy:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Transpozicí kofaktorové matice získáme adjungovanou matici.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinant matice 3 × 3

Pomocí stejného příkladu, jaký jsme probrali výše, můžeme vypočítat determinant matice A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Vypočítejte determinant matice pomocí prvního řádku,

Det A = 2 (kofaktor 2) + 1 (kofaktor 1) + 3 (kofaktor 3)

že A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

To A = 2 + 4 – 6

jaká je velikost obrazovky mého monitoru

To A = 0

Můžeš zkontrolovat Trik na výpočet determinantu matice 3×3

Inverzní k maticovému vzorci 3 × 3

K nalezení inverze matice A 3 × 3 můžete použít vzorec A-1 = (adj A) / (det A), kde:

• adj A je adjungovaná matice A.
• det A je determinant A.

Aby A-1 existovalo, det A by se nemělo rovnat nule. To znamená:

• A^-1existuje, když det A není nula (A je nesingulární).
• A^-1neexistuje, když det A je nula (A je singulární).

Zde jsou kroky k nalezení inverze matice 3 × 3 pomocí stejného příkladu:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

příklad binárního vyhledávacího stromu

Krok 1: Vypočítejte adjungovanou matici (adj A).

Chcete-li najít adjungovanou matici, nahraďte prvky A jejich odpovídajícími kofaktory.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Krok 2: Najděte determinant A (det A).

K výpočtu determinantu A můžete použít vzorec pro matici 3 × 3. V tomto případě det A = -8.

Krok 3: Aplikujte vzorec A^-1= (adj A) / (det A) k nalezení inverzní matice A^-1.

Vydělte každý prvek přidružené matice determinantem A:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Při zjednodušení zlomků,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Hledání inverzní matice 3 × 3 pomocí operací s řádky

Chcete-li najít inverzní matici 3×3, můžete postupovat takto:

Krok 1: Začněte s danou maticí A 3×3 a vytvořte matici identity I stejné velikosti, umístěte A na levou stranu a I na pravou stranu rozšířené matice, oddělené čárou.

Krok 2: Aplikujte řadu řádkových operací na rozšířenou matici na levé straně, abyste ji transformovali na matici identity I. Matice na pravé straně řádku, která se změní na A^-1, je inverzní k původní matici A.

Další informace Základní operace matic

Také zkontrolujte

• Typy matic
• Invertible Matrix
• Stopa Matrixu

Řešené příklady na inverzní matici 3 × 3

Příklad 1: Najděte inverzní hodnotu

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Řešení:

Malá matice D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Vedlejší matice D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Kofaktor matice, tj. X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transpozice matice X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Nyní najdeme determinant D pomocí prvního řádku:

To D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ To D = 6+0+14

⇒ To D = 20

Inverzní k Matrix D nebo D^-1= Úprava D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Příklad 2: Najděte inverzní hodnotu

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor matice E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Kofaktor matice E, tj. X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Pojďme nyní najít Determinant matice E pomocí prvního řádku:

zkuste catch block java

že E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

To E = -1 + 0 + 1

To E = 0

∴ Protože determinant matice E je ekvivalentní 0, inverzní k matici E nebo E^-1není možné.

Procvičte si otázky na inverzní matici 3 × 3

Q1. Vypočítejte převrácenou hodnotu následující matice 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Najděte inverzní matici B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Určete, zda je matice C invertibilní, a pokud ano, najděte její inverzní:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

f-string python

Q4. Vypočítejte inverzi matice D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. U matice E zkontrolujte, zda je invertibilní, a pokud ano, najděte její inverzní:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inverzní k matici 3×3 – FAQ

1. Co je inverzní matice 3×3?

Inverzní matice 3×3 je další maticí, která po vynásobení původní maticí dává matici identity.

2. Proč je důležité najít inverzní?

Je nezbytný pro řešení soustav lineárních rovnic, transformací a různých matematických operací.

3. Jak vypočítáte inverzi matice 3×3?

Obvykle najdete přidruženou matici, zkontrolujete nenulovou hodnotu determinantu a použijete konkrétní vzorec.

4. Kdy neexistuje inverzní matice 3×3?

Neexistuje, když je determinant matice nulový, takže je singulární.

5. Může mít jakákoli matice 3×3 inverzní hodnotu?

Ne, pouze nesingulární matice s nenulovým determinantem mají inverze.

6. Jakou roli hraje přidružená matice při hledání inverze?

Přidružená matice pomáhá při výpočtu inverze tím, že poskytuje kofaktory pro každý prvek.

7. Ve kterých oborech je široce používán koncept 3×3 Matrix inverze?

Koncept inverze 3×3 Matrix se používá ve strojírenství, fyzice, počítačové grafice a různých matematických disciplínách.

8. Jak získat inverzní matici 3×3?

Chcete-li najít inverzní matici 3×3, můžete postupovat takto:

• Nejprve vypočítejte determinant matice.
• Pokud se determinant nerovná 0, pokračujte dalším krokem. Pokud je 0, matice nemá inverzní hodnotu.
• Najděte matici nezletilých vytvořením matice 3×3 pro každý prvek v původní matici, s výjimkou řádku a sloupce prvku, na který se zaměřujete.
• Vypočítejte matici kofaktorů aplikací vzoru znamének plus a mínus na prvky matice minoritních skupin.
• Transponujte matici kofaktorů prohozením řádků se sloupci.
• Nakonec vydělte transponovanou matici kofaktorů determinantem, abyste získali inverzní hodnotu matice 3×3.