Druhá odmocnina jakékoli číselné hodnoty je hodnota, která při samonásobení vede k původnímu číslu. „√“ je radikální symbol používaný k zobrazení kořene libovolného čísla. Odmocninou rozumíme mocninu 1/2 tohoto čísla. Předpokládejme například, že x je druhá odmocnina libovolného celého čísla y, což znamená, že x=√y. Vynásobením rovnice dostaneme také x²= y.

Druhá odmocnina z kladného čísla dává původní číslo.

Abychom tomuto konceptu porozuměli, víme, že druhá mocnina ze 4 je 16 a druhá odmocnina z 16, √16 = 4. Nyní, jak vidíme, 16 je dokonalý čtverec. To usnadňuje výpočet druhé odmocniny takových čísel. Avšak pro výpočet druhé odmocniny nedokonalého čtverce, jako je 3, 5, 7 atd., je výpočet odmocniny obtížný proces.

Funkce odmocniny je funkce jedna ku jedné, která jako vstup používá kladné číslo a vrací druhou odmocninu daného vstupního čísla.

f(x) = √x

Vlastnosti druhých odmocnin

Některé z důležitých vlastností odmocniny jsou následující:

• Pro dokonalé druhé číslo existuje dokonalá druhá odmocnina.
• Pro číslo končící sudým počtem nul existuje odmocnina.
• Odmocnina ze záporných čísel není definována.
• Pro číslo končící číslicemi 2, 3, 7 nebo 8 pak dokonalá druhá odmocnina neexistuje.
• Pro číslo končící číslicemi 1, 4, 5, 6 nebo 9 bude mít číslo druhou odmocninu.

Jak vypočítat druhou odmocninu?

Dokonalá čtvercová čísla jsou celá čísla, která jsou kladné povahy a lze je snadno vyjádřit ve formě násobení čísla sama o sobě. Dokonalá čtvercová čísla jsou znázorněna jako hodnota mocniny 2 libovolného celého čísla. Výpočet druhé odmocniny z dokonalých čtverců je relativně jednodušší. K nalezení druhé odmocniny čísel se používají především čtyři metody:

• Metoda opakovaného odčítání druhé odmocniny
• Druhá odmocnina metodou primární faktorizace
• Druhá odmocnina metodou odhadu
• Druhá odmocnina metodou dlouhého dělení

Výše uvedené tři metody lze použít při výpočtu druhé odmocniny dokonalých čtverců. Poslední způsob však lze použít pro oba typy čísel.

Metoda opakovaného odčítání odmocnin

Metoda se opírá o následující sekvenci kroků:

Krok 1: Odečtěte po sobě jdoucí lichá čísla od čísla, pro které hledáme druhou odmocninu.

Krok 2: Opakujte krok 1, dokud nedosáhnete hodnoty 0.

Krok 3: Počet opakování kroku 1 je požadovaná druhá odmocnina daného čísla.

Poznámka: Tuto metodu lze použít pouze pro dokonalé čtverce.

Například pro číslo 16 metoda funguje následovně:

16 – 1 = 15

15 – 3 = 12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Proces se opakuje 4x. Tedy √16 = 4.

Druhá odmocnina metodou primární faktorizace

Prvočíselná faktorizace libovolného čísla je reprezentace tohoto čísla ve formě součinu prvočísel. Metoda se opírá o následující sekvenci kroků:

Krok 1: Rozdělte zadané číslo na jeho prvočinitele.

Krok 2: Dvojice podobných faktorů je vytvořena tak, že oba faktory v každé z vytvořených dvojic jsou stejné.

pevná vazba versus brožovaná vazba

Krok 3: Vezměte jeden faktor z každé dvojice.

Krok 4: Součin faktorů se získá odebráním jednoho faktoru z každé dvojice.

Krok 5: Tento získaný produkt je druhou odmocninou daného čísla.

Poznámka: Tuto metodu lze použít pouze pro dokonalé čtverce.

heapify třídit

Například pro číslo 64 metoda funguje následovně:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Druhá odmocnina metodou odhadu

Metoda odhadu se používá pro aproximaci druhé odmocniny daného čísla. Přibližuje druhou odmocninu čísla rozumnému odhadu skutečné hodnoty. Výpočty jsou u této metody jednodušší. Je to však opravdu dlouhý a časově náročný proces.

Krok 1: Najděte nejbližší dokonalý čtverec vyskytující se před a po daném číslu.

Krok 2: Najděte další nejbližší celá čísla a zaokrouhlete je pokaždé, abyste se dostali k nejbližší odpovědi.

Například pro číslo 15 metoda funguje následovně:

9 a 16 jsou dokonalá čtvercová čísla před a po nejbližší 15. Nyní víme,

√16 = 4 a √9 = 3. To znamená, že druhá odmocnina z čísla 15 se vyskytuje mezi 3 a 4. Nyní proces zahrnuje vyhodnocení, zda je druhá odmocnina z čísla 15 blíže 3 nebo 4.

První případ bere 3,5 a 4. Druhá mocnina 3,5 = 12,25 a druhá odmocnina 4 = 16. Odmocnina z celého čísla 15 tedy leží mezi 3,5 a 4 a je blíže 4.

Dále najdeme druhé mocniny 3,8 a 3,9, které jsou ekvivalentní 3,8²= 14,44 a 3,9²= 15,21 resp. To znamená, že √15 leží mezi 3,8 a 3,9. Při dalším hodnocení získáme, že √15 = 3,872.

Druhá odmocnina metodou dlouhého dělení

Metoda dlouhého dělení pro výpočet druhé odmocniny čísel zahrnuje dělení velkých čísel na kroky nebo části, čímž se problém rozdělí na posloupnost snadnějších kroků.

Například pro číslo 180 metoda funguje následovně:

Krok 1: Přes každou dvojici číslic čísla začínající místem jednotky je umístěn pruh.

Krok 2: Číslo zcela vlevo se pak vydělí největším číslem tak, aby čtverec byl menší nebo roven číslu v páru nejvíce vlevo.

Krok 3: Nyní se číslo pod dalším pruhem napravo od zbytku sníží. Poslední číslice získaného podílu se přičte k děliteli. Nyní je dalším krokem nalezení čísla napravo od získaného součtu tak, aby spolu s výsledkem součtu tvořilo nového dělitele pro novou dividendu.

Krok 4: Získané číslo v podílu je ekvivalentní číslu vybranému v děliteli.

Krok 5: Stejný postup se opakuje s použitím desetinné čárky a ke zbytku se přidávají nuly ve dvojicích.

Krok 6: Kvocient tvoří druhou odmocninu čísla.

Vzorové otázky

Otázka 1. Vypočítejte druhou odmocninu ze 144 metodou prvočíselnosti?

Řešení:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

menu nastavení telefonu Android

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Otázka 2. Jaký je způsob, jak zjednodušit druhou odmocninu?

Řešení:

Prvočíselný rozklad daného čísla lze vypočítat. V případě, že faktor nelze seskupit, použije se k jeho seskupení odmocnina. Pro zjednodušení se používá následující pravidlo:

√xy = √(x × y), kde x a y jsou kladná celá čísla.

Například √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

V případě zlomků se používá následující pravidlo:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Například:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Otázka 3. Řešte: √(x + 2) = 4

Řešení:

Víme,

√(x + 2) = 4

Při kvadraturu obou stran získáme;

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

datová struktura

Proto máme,

x = 2 nebo x = -6

Otázka 4. Může být druhá odmocnina záporného čísla celé číslo? Vysvětlit.

Řešení:

Víme, že záporná čísla nemohou mít druhou odmocninu. Důvodem je to, že pokud se vynásobí dvě záporná čísla, získaný výsledek bude vždy kladné číslo. Proto bude druhá odmocnina záporného čísla ve tvaru komplexního čísla.

Otázka 5. Vypočítejte druhou odmocninu z 25 metodou opakovaného odčítání?

Řešení:

Provedením výše uvedených kroků máme,

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Protože se proces opakuje 5krát, máme,√25 = 5.

Otázka 6. Vypočítejte druhou odmocninu z 484 pomocí metoda dlouhého dělení?

Řešení:

Metodou dlouhého dělení máme,

Nyní,

Zbytek je 0, takže 484 je dokonalé čtvercové číslo, takže

√484 = 22