Frustum kužele je zvláštní tvar, který vznikne, když kužel uřízneme rovinou rovnoběžnou s jeho základnou. Kužel je trojrozměrný tvar s kruhovou základnou a vrcholem. Takže komolý kužel kužele je pevný objem, který vzniká odstraněním části kužele s rovinou rovnoběžnou s kruhovou základnou. Frustum není definováno pouze pro kužely, ale může být definováno také pro různé typy pyramid (čtvercový jehlan, trojúhelníkový jehlan atd.).

alternativy watchcartoononline.io

Některé z běžných tvarů komolého kužele, které objevujeme v našem každodenním životě, jsou kbelíky, stínidlo lampy a další. Pojďme se dozvědět více o komolých kuželech v tomto článku.

Co je Frustum of Cone?

Frustum je latinské slovo, které znamená kusy, proto frustum of cone je pevný kus kužele. Když pravý kruhový kužel je řez rovinou rovnoběžnou se základnou kužele a takto získaný tvar se nazývá komolý kužel kužele. Níže uvedený obrázek nám ukazuje, jak rovina řeže kužel rovnoběžně s jeho základnou, aby vytvořila komolý kužel kužele.

Nyní je komolý kužel kužele snadno definován jako,

Pokud je pravý kruhový kužel odříznut rovinou rovnoběžnou s jeho základnou, tvar části mezi rovinou řezu a základní rovinou se nazývá komolý kužel.

Síť kusu kužele

Pokud se rozřízne trojrozměrný (3D) tvar a vytvoří se dvourozměrný tvar, takto získaný tvar se nazývá síť. Dá se předpokládat, že když je síť figurky správně složena, vytvoří požadovaný 3D tvar. Níže uvedený obrázek ukazuje síť komolého kužele.

Vlastnosti kusu kužele

Vlastnosti komolého kužele jsou velmi podobné jako komolý kužel, některé z důležitých vlastností komolého kužele jsou,

• Základna kužele původní kužel je obsažen v komolém kuželu, ale jeho vrchol není v komolém kuželu obsažen.
• Vzorce komolého kužele jsou závislé na jeho výšce a dvou poloměrech (odpovídajících horní a spodní základně).
• Výška komolého kužele je kolmá vzdálenost mezi středy jeho dvou základen.

Vzorce kusu kužele

Frustum of Cone je takový tvar, který je často vidět v našem každodenním životě, například stolní lampy, vědra atd. Důležité vzorce pro komolý kužel kužele jsou:

• Objem kusu kužele
• Povrchová plocha komolého kužele

Pojďme se o těchto vzorcích podrobně dozvědět níže,

Objem kusu kužele

Frustum of cone je nakrájená část kužele, kde je malý kužel odstraněn z většího kužele. Proto pro výpočet objemu komolého kužele stačí vypočítat rozdíl mezi objemem většího a menšího kužele.

Předpokládejme,

• Celková výška kužele má být H + h
• Celková výška sklonu musí být l' + L
• Poloměr úplného kužele je r
• Poloměr nakrájeného kužele je r'

Protože objem kužele je dán jako V = 1/3πr²h

Objem kompletního kužele V₁= 1/3πr²(H+h)

Objem menšího kužele V₂= 1/3πr'²(h)

Nyní lze objem komolého kužele (V) vypočítat pomocí vzorce,

V=V₁– V₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r'²(h)]… (1)

Pomocí vlastnosti podobnosti trojúhelníků △OCD a △OAB lze napsat,

r/(H + h) = r'/h

r / r' = (H + h) / h

H + h = h / r'

Dosaďte tuto hodnotu (H+h) v rovnici (1) a zjednodušte,

V = 1/3π[r²(rh / r') – r'²(h)}

= 1/3π[{hr³– hod’³} / r’]…(2)

Pomocí vlastnosti podobného trojúhelníku opět v △OCD a △OAB zjistíme hodnotu h

r/(H + h) = r'/h

r / r' = (H + h) / h

rh = (H + h) r'

rh = Hr’ + hod’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Dosazením těchto hodnot do rovnice (2)

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r']

= 1/3π[{r³-r'³}h / r']

= 1/3π[{r³-r'³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r'²+rr’)

Tím pádem,

Objem komolého kužele = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr')

Povrchová plocha komolého kužele

Plochu komolého kužele lze vypočítat rozdílem mezi povrch celého kužele a menší kužel (vyjmutý z kompletního kužele). Plochu povrchu komolého kužele lze vypočítat pomocí níže uvedeného diagramu, kde je třeba sečíst plochy povrchu zakřivených ploch a plochy povrchu horní a spodní plochy komolého kužele.

Podobně jako u objemu komolého kužele bude zakřivená plocha také rovna rozdílu mezi plochami většího kužele a menšího kužele.

Na výše uvedeném obrázku jsou trojúhelníky OAB a OCD podobné. Proto lze pomocí kritérií podobnosti napsat,

l’/l = r’/r…(1)

Protože l’ = l – L, tedy z rovnice (1),

(l – L) / l = r' / r

Po křížovém násobení,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Zakřivený povrch úplného kužele = πrl

Zakřivený povrch menšího kužele = πr’l’

Rozdíl mezi zakřivenými plochami úplného kužele a menšího kužele = π (rl – r’l’)

Tedy zakřivená plocha povrchu (CSA) komolého kužele = πl (r – r’l’/l)

Použijte rovnici (1) k nahrazení hodnoty l'/l ve výše uvedené rovnici a zjednodušte,

CSA komolého kužele = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²-r'²)/r

Nyní dosaďte hodnotu l z rovnice (2) a zjednodušte,

CSA komolého kužele = πlr/(r – r’)× (r²-r'²)/r = πl (r + r')

Dá se tedy napsat,

Zakřivený povrch komolého kužele = πl (r + r’)

Nyní spočítejme povrchovou plochu horní a spodní základny komolého kužele tak, aby:

Povrch horní základny komolého kužele o poloměru r' = πr'²

Plocha povrchu spodní základny komolého kužele o poloměru r = πr²

Tak,

Celkový povrch komolého kužele = zakřivený povrch komolého kužele + povrch horní základny + povrch spodní základny

Proto,

Celková plocha komolého kužele = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Celková plocha komolého kužele je tedy = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Tento vzorec lze také napsat jako,

Celková plocha komolého kužele je = πl (r²-r'²)/r + π (r²+ r'²)

Takže se dá napsat,

Celková plocha komolého kužele = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

nebo

Celková plocha komolého kužele = πl (r ² -r' ² )/r + π (r ² + r' ² )

Všimněte si, že l je výška sklonu menšího kužele, kterou lze zadat jako

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Přečtěte si více

• Objem kužele
• Objem válce
• Objem koule

Řešené příklady na Fragment of Cone

Příklad 1: Zjistěte objem komolého kužele, který je vysoký 15 cm a poloměry obou podstav jsou 5 cm a 8 cm.

Řešení:

Pomocí výše studovaného vzorce lze napsat,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

vzhledem k tomu,

V = 15 cm
r'= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Příklad 2: Zjistěte povrch a celkový povrch komolého kužele, který je vysoký 10 cm a poloměry pro obě základny jsou 4 cm a 8 cm.

Řešení:

Známe vzorec pro povrch a celkový povrch komolého kužele. Musíme zapojit požadované hodnoty.

Zakřivený povrch komolého kužele = πl(r+r’)

kde,
L = √ [H²+ (R – r)²]

vzhledem k tomu,
V = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Výpočet hodnoty L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Zakřivená plocha komolého povrchu = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√ (29)

Celková plocha povrchu = zakřivená plocha povrchu Frustum + plocha obou základen

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Příklad 3: Řekněme, že máme otevřený kovový kbelík, jehož výška je 50 cm a poloměry podstavců jsou 10 cm a 20 cm. Najděte oblast kovový plech použitý k výrobě kbelíku.

Řešení:

Kbelík je ve tvaru komolého tvaru, který se uzavírá zespodu. Musíme vypočítat celkový povrch tohoto komolého tvaru.

Dáno
V = 50 cm
r = 10 cm
r = 20 cm

Zakřivená plocha komolého povrchu = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Zakřivená plocha komolého povrchu = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√ (26)

Celková plocha povrchu = zakřivená plocha povrchu Frustum + plocha obou základen

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Příklad 4: Zjistěte vyjádření objemu komolého kužele, je-li jeho výška 6y a poloměry y a 2y.

Řešení:

Pomocí výše studovaného vzorce

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

vzhledem k tomu,

H = 6 let
r'= y
r = 2 roky

V = 1/3 π6[(2y)²+ (a)²+ (y) (2 roky)]

V = 2πy (7 let²)

V = 14πy³jednotka³

Často kladené otázky o kusu kužele

Otázka 1: Co je to Frustum of a Cone?

Odpovědět:

Když řežeme kužel tak, že rovina řezu je rovnoběžná se základnou kužele. Takto získaný výsledný obrazec se nazývá Frustum of the Cone.

Otázka 2: Jaké jsou vzorce Frustum of Cone?

Odpovědět:

Vzorce komolého kužele jsou diskutovány níže. Vezměme komolý poloměr základního poloměru ‚R‘ a horní poloměr ‚r‘, výšku ‚H‘ a výšku sklonu, pak,

• Objem kusu kužele (V) = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)
• Celková plocha komolého kužele = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Otázka 3: Co je CSA frustum?

Odpovědět:

Zakřivený povrch komolého kužele se vypočítá pomocí vzorce,

CSA = πl (r + r')

kde,
r' je poloměr horního kruhu komolého kužele
r je základna poloměru
l je výška sklonu

Otázka 4: Jaká je povrchová plocha komolého kužele?

Odpovědět:

Plocha povrchu komolého kužele se vypočítá pomocí vzorce,

• CSA kusu kužele = πl [ (r²-r'²) / r']
• TSA komolého kužele = π (r²+ r'²) + πl [ (r²-r'²) / r']

Otázka 5: Jaký je objem komolého kužele?

Odpovědět:

Objem komolého kužele se vypočítá pomocí vzorce,

• V = 1/3πh[ (r³-r'³) / r']
• V = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)