Standardní tvar paraboly je y = ax2+ bx + c kde a, b a c jsou reálná čísla a a se nerovná nule. Parabola je definována jako množina všech bodů v rovině, které jsou stejně vzdálené od pevné čáry a pevného bodu v rovině.
V tomto článku pochopíme, co je Parabola, standardní rovnice Paraboly, související příklady a další podrobně.
Obsah
Co je to parabola?
Parabola je kuželosečka definovaná jako množina všech bodů stejně vzdálených od bodu zvaného ohnisko a přímky zvané přímka. Standardní rovnice pro parabolu závisí na její orientaci (směru otevírání) a poloze.
Rovnice paraboly
Rovnice paraboly může být zapsána ve standardním nebo obecném tvaru a oba jsou přidány níže:
Obecné rovnice paraboly
Obecná rovnice paraboly je,
y = 4a(x – h) 2 + k
(nebo)
x = 4a(y – k) 2 + h
Kde (h, k) je vrchol paraboly.
Standardní rovnice paraboly
Standardní rovnice paraboly je,
y = sekera 2 + bx + c
(nebo)
x = je 2 + by + c
kde a nikdy nemůže být nula.
Části paraboly
Některé důležité pojmy a části paraboly jsou:
- Soustředit se: Ohnisko je pevným bodem paraboly.
- Directrix: Směrnice paraboly je přímka kolmá k ose paraboly.
- Ohniskový akord: Tětiva, která prochází ohniskem paraboly a přerušuje parabolu ve dvou odlišných bodech, se nazývá ohnisková tětiva.
- Ohnisková vzdálenost: Ohnisková vzdálenost je vzdálenost bodu (x1, a1) na parabole z ohniska.
- Pravá strana: Latus rectum je ohnisková tětiva, která prochází ohniskem paraboly a je kolmá k ose paraboly. Délka latus rectum je LL‘ = 4a.
- Excentricita: Poměr vzdálenosti bodu od ohniska k jeho vzdálenosti od přímky se nazývá excentricita (e). Pro parabolu je excentricita rovna 1, tj. e = 1.
Parabola má čtyři standardní rovnice založené na orientaci paraboly a její ose. Každá parabola má jinou příčnou osu a konjugovanou osu.
| Parabolická rovnice | Parabola | Vzorce parametrů paraboly |
|---|---|---|
| a 2 = 4ax |  Horizontální parabola |
|
| a 2 = -4ax |  Horizontální parabola |
|
| X 2 = 4 dny |  Vertikální parabola |
|
| X 2 = -4ay |  Vertikální parabola |
|
Následují pozorování ze standardního tvaru rovnic paraboly:
- Parabola je symetrická vůči své ose. Například y2= 4ax je symetrický vzhledem k ose x, zatímco x2= 4ay je symetrický vzhledem k ose y.
- Pokud je parabola symetrická podle osy x, pak se parabola otevírá směrem doprava, pokud je koeficient x kladný, a doleva, pokud je koeficient x záporný.
- Pokud je parabola symetrická podle osy y, pak se parabola otevírá směrem nahoru, je-li koeficient y kladný, a směrem dolů, pokud je koeficient y záporný.
Následují standardní rovnice paraboly, kdy osa symetrie je buď rovnoběžná s osou x nebo osou y a vrchol není v počátku.
| Parabolická rovnice | Parabola | Vzorce parametrů paraboly |
|---|---|---|
| (a – k)2= 4a(x – h) |  Horizontální parabola |
|
| (a – k)2= -4a(x – h) |  Horizontální parabola |
|
| (x – h)2= 4a(y – k) |  Vertikální parabola |
|
| (x – h)2= -4a(y – k) |  Vertikální parabola |
|
Rovnice derivace paraboly
Nechť P je bod na parabole, jehož souřadnice jsou (x, y). Z definice paraboly je vzdálenost bodu P k ohnisku (F) rovna vzdálenosti stejného bodu P ke přímce paraboly. Nyní uvažujme bod X na přímce, jehož souřadnice jsou (-a, y).
Z definice excentricity paraboly máme
e = PF/PX = 1
⇒ PF = PX
Souřadnice ohniska jsou (a, 0). Nyní pomocí vzorce souřadnicové vzdálenosti můžeme najít vzdálenost bodu P (x, y) k ohnisku F (a, 0).
PF = √[(x – a)2+ (a – 0)2]
⇒ PF = √[(x – a)2+ a2] ------ (1)
Rovnice přímky je x + a = 0. Pro zjištění vzdálenosti PX použijeme vzorec pro kolmou vzdálenost.
PX = (x + a)/√[12+02]
⇒ PX = x +a —————— (2)
Již víme, že PF = PX. Dejte tedy rovnítko mezi rovnice (1) a (2).
√[(x – a)2+ a2] = (x + a)
Umocněním na obě strany dostaneme,
⇒ [(x – a)2+ a2] = (x + a)2
⇒ x2+ a2– 2ax + y2= x2+ a2+ 2ax
⇒ a2– 2ax = 2ax
⇒ a2= 2ax + 2ax ⇒ a 2 = 4ax
Tím jsme odvodili rovnici paraboly. Podobně můžeme odvodit standardní rovnice dalších tří parabol.
- a2= -4ax
- X2= 4 dny
- X2= -4ay
a 2 = 4ax a 2 = -4ax, x 2 = 4ay a x 2 = -4ay jsou standardní rovnice paraboly.
Články související s Parabola:
- Kruhová rovnice
- Elipsová rovnice
- Rovnice hyperboly
- Aplikace Paraboly v reálném životě
Příklady na rovnici paraboly
Příklad 1: Najděte délku latového rekta, ohniska a vrcholu, pokud rovnice paraboly je y 2 = 12x.
Řešení:
vzhledem k tomu,
Rovnice paraboly je y2= 12x
Porovnáním dané rovnice se standardním tvarem y2= 4ax
4a = 12
⇒ a = 12/4 = 3
Víme, že,
Pravá strana paraboly = 4a = 4 (3) = 12
Nyní ohnisko paraboly = (a, 0) = (3, 0)
Vrchol dané paraboly = (0, 0)
Příklad 2: Najděte rovnici paraboly, která je symetrická podle osy X a prochází bodem (-4, 5).
Řešení:
vzhledem k tomu,
Parabola je symetrická kolem osy X a má svůj vrchol v počátku.
Rovnice tedy může mít tvar y2= 4ax nebo y2= -4ax, kde znaménko závisí na tom, zda se parabola otevírá směrem doleva nebo doprava.
Parabola se musí otevírat vlevo, protože prochází skrz (-4, 5), která leží ve druhém kvadrantu.
Takže rovnice bude: y2= -4ax
Dosazením (-4, 5) ve výše uvedené rovnici
⇒ (5)2= -4a(-4)
⇒ 25 = 16a
⇒ a = 25/16
Proto rovnice paraboly je: y2= -4(25/16)x (nebo) 4y2= -25x.
Příklad 3: Najděte souřadnice ohniska, osy, rovnice přímky a latového rekta paraboly x 2 = 16 let.
Řešení:
vzhledem k tomu,
Rovnice paraboly je: x2= 16 let
Porovnáním dané rovnice se standardním tvarem x2= 4 roky,
4a = 16 ⇒ a = 4
Koeficient y je kladný, takže parabola se otevírá směrem nahoru.
Také osa symetrie je podél kladné osy Y.
Proto,
Ohnisko paraboly je (a, 0) = (4, 0).
Rovnice přímky je y = -a, tj. y = -4 nebo y + 4 = 0.
Délka latus rectum = 4a = 4(4) = 16.
Příklad 4: Najděte délku latového rekta, ohniska a vrcholu, pokud je rovnice paraboly 2(x-2) 2 + 16 = y.
Řešení:
vzhledem k tomu,
Rovnice paraboly je 2 (x-2)2+ 16 = a
Porovnáním dané rovnice s obecnou rovnicí paraboly y = a(x – h)2+ k, dostáváme
a = 2
(h, k) = (2, 16)
Víme, že,
Délka latus rectum paraboly = 4a
= 4(2) = 8
Nyní zaměření= (a, 0) = (2, 0)
Nyní, Vertex = (2, 16)
Příklad 5: Rovnice paraboly je x 2 – 12x + 4y – 24 = 0, pak najděte jeho vrchol, ohnisko a směrovou přímku.
Řešení:
vzhledem k tomu,
Rovnice paraboly je x2– 12x + 4 roky – 24 = 0
⇒ x2– 12x + 36 – 36 + 4 roky – 24 = 0
⇒ (x – 6)2+ 4 roky – 60 = 0
⇒ (x – 6)2= -4(y + 15)
Získaná rovnice je ve tvaru (x – h)2= -4a(y – k)
-4a = -4 ⇒ a = 1
Takže vrchol = (h, k) = (6, – 15)
Ohnisko = (h, k – a) = (6, -15-1) = (6, -16)
Rovnice přímky je y = k + a
⇒ y = -15 + 1 ⇒ y = -14
⇒ y + 14 = 0
Časté otázky o rovnici paraboly
Jak zjistíte standardní rovnici paraboly?
Standardní forma paraboly je y2= 4ax nebo x2= 4 dny.
Jaká je normální rovnice paraboly?
Rovnice normály k parabole y2= 4ax se sklonem m je dáno jako: y = mx – 2:00 – ráno 3
Jak zjistíte vrchol paraboly?
Pro danou parabolu: y = ax2+ bx + c jeho vrchol lze nalézt pomocí vzorce x = − b/2a. Vložte tuto hodnotu x zpět do rovnice a najděte odpovídající souřadnici y.
Shilpa Shetty