Ekvivalenční třída jsou skupinou prvků množiny založené na specifickém pojmu ekvivalence definované relací ekvivalence. Relace ekvivalence je relace, která splňuje tři vlastnosti: reflexivitu, symetrii a tranzitivitu. Ekvivalenční třídy rozdělují množinu S na disjunktní podmnožiny. Každá podmnožina se skládá z prvků, které spolu souvisí v rámci daného vztahu ekvivalence.

V tomto článku probereme koncept Equivalence Class dostatečně podrobně včetně jeho definice, příkladu, vlastností a také řešených příkladů.

Obsah

• Co jsou třídy ekvivalence?
• Příklady třídy ekvivalence
• Vlastnosti tříd ekvivalence
• Ekvivalenční třídy a oddíly

Co jsou třídy ekvivalence?

Třída ekvivalence je název, který dáváme podmnožině S, která zahrnuje všechny prvky, které jsou si navzájem ekvivalentní. Ekvivalent je závislý na specifikovaném vztahu, který se nazývá vztah ekvivalence. Pokud existuje vztah ekvivalence mezi libovolnými dvěma prvky, nazývají se ekvivalentní.

Definice třídy ekvivalence

Vzhledem k relaci ekvivalence na množině S je třída ekvivalence vzhledem k prvku a v S množinou všech prvků v S, které souvisejí s a, tj.

[a] NEBO x souvisí s a

Uvažujme například množinu celých čísel ℤ a vztah ekvivalence definovaný pomocí kongruence modulo n. Dvě celá čísla a a b jsou považována za ekvivalentní (označují se jako (a ≡ b mod(n), pokud mají stejný zbytek při dělení n. V tomto případě je třída ekvivalence celého čísla a množinou všech celých čísel, která mají stejný zbytek jako a při dělení n.

prohlášení k případu verilog

Co je to vztah ekvivalence?

O jakémkoli vztahu R se říká, že je ekvivalenční realizací tehdy a pouze tehdy, když splňuje následující tři podmínky:

• Reflexivita: Pro jakýkoli prvek a, a souvisí sám se sebou.
• Symetrie: Jestliže a souvisí s b, pak b souvisí s a.
• Přechodnost: Jestliže a souvisí s b a b souvisí s c, pak a souvisí s c.

Přečtěte si více o Vztah ekvivalence .

Některé příklady vztahu ekvivalence jsou:

Rovnost na sadě: Nechť X je libovolná množina a definujte relaci R na X takovou, že a R b právě tehdy, když a = b pro a, b ϵ X.

• Reflexivita: Za každé a ϵ X, a = a (triviálně pravdivé).
• Symetrie: Jestliže a = b, pak b = a (triviálně pravdivé).
• Přechodnost: Jestliže a = b a b = c, pak a = c (triviálně pravdivé).

Modul shody n: Nechť n je kladné celé číslo a definujte vztah R na celých číslech ℤ takový, že a R b právě tehdy, když a – b je dělitelné n.

• Reflexivita: Za každé a ϵ ℤ, a – a = 0 je dělitelné n.
• Symetrie: Je-li a – b dělitelné n, pak -(a – b) = b – a je také dělitelné n.
• Přechodnost: Je-li a – b dělitelné n a b – c je dělitelné n, pak a – c je také dělitelné n.

Příklady třídy ekvivalence

Známým příkladem vztahu ekvivalence je vztah rovná se (=). Jinými slovy, dva prvky dané množiny jsou si navzájem ekvivalentní, pokud patří do stejné třídy ekvivalence. Vztahy ekvivalence lze vysvětlit pomocí následujících příkladů:

Vztah ekvivalence na celých číslech

Vztah ekvivalence: Congruence modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

• Třída ekvivalence 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
• Třída ekvivalence 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
• Třída ekvivalence 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
• Třída ekvivalence 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
• Třída ekvivalence 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Vztah ekvivalence na reálných číslech

Vztah ekvivalence: Absolutní rozdíl (a ~ b, pokud |a – b| <1)

• Třída ekvivalence 0: [0] = (-0,5, 0,5)
• Třída ekvivalence 1: [1] = (0,5; 1,5)
• Třída ekvivalence 2: [2] = (1,5; 2,5)
• Třída ekvivalence 3: [3] = (2,5, 3,5)

Přečtěte si více,

• Skutečná čísla
• Celá čísla
• Racionální čísla

Vlastnosti tříd ekvivalence

Vlastnosti tříd ekvivalence jsou:

• Každý prvek patří přesně do jedné třídy ekvivalence.
• Třídy ekvivalence jsou disjunktní, tj. průnik libovolných dvou tříd ekvivalence má nulovou množinu.
• Sjednocení všech tříd ekvivalence je původní množina.
• Dva prvky jsou ekvivalentní právě tehdy, když jsou jejich třídy ekvivalence stejné.

Přečtěte si více,

• Unie množin
• Průnik množin
• Disjunktní množiny

Ekvivalenční třídy a oddíly

Skupiny prvků v množině souvisejících vztahem ekvivalence, zatímco kolekce těchto tříd ekvivalence pokrývající celou množinu bez překrývání se nazývá oddíl.

Rozdíl mezi třídami ekvivalence a oddílem

Klíčový rozdíl mezi třídami ekvilavalence a oddílem je uveden v následující tabulce:

Řešené příklady na třídě ekvivalence

Příklad 1: Dokažte, že relace R je ekvivalenčním typem v množině P= { 3, 4, 5,6 } dané relací R = (p, q):.

Řešení:

Vzhledem k tomu: R = (p, q):. Kde p, q patří k P.

Reflexní vlastnost

Z poskytnutého vztahu |p – p| = | 0 |=0.

• A 0 je vždy sudá.
• Proto |p – p| je sudý.
• Proto se (p, p) vztahuje k R

Takže R je reflexivní.

Symetrická vlastnost

liška vs vlk

Z daného vztahu |p – q| = |q – p|.

• Víme, že |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
• Proto |p – q| je sudý.
• Další |q – p| je také sudý.
• Pokud tedy (p, q) ∈ R, pak (q, p) také patří do R.

Proto je R symetrické.

Přechodná vlastnost

• Pokud |p – q| je sudé, pak (p-q) je sudé.
• Podobně, pokud |q-r| je sudé, pak (q-r) je také sudé.
• Součet sudých čísel je příliš sudý.
• Můžeme to tedy řešit jako p – q+ q-r je sudé.
• Dále, p – r je dále sudé.

v souladu s tím

• |p – q| a |q-r| je sudé, pak |p – r| je sudý.
• V důsledku toho, pokud (p, q) ∈ R a (q, r) ∈ R, pak (p, r) také odkazuje na R.

Proto je R tranzitivní.

Příklad 2: Uvažujme A = {2, 3, 4, 5} a R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Řešení:

Dáno: A = {2, 3, 4, 5} a

Vztah R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4 )}.

topologie sítě

Aby R bylo relací ekvivalence, musí R splňovat tři vlastnosti, tj. reflexivní, symetrickou a tranzitivní.

Reflexivní : Vztah R je reflexivní, protože (5, 5), (2, 2), (3, 3) a (4, 4) ∈ R.

Symetrický : Vztah R je symetrický, jako kdykoli (a, b) ∈ R, (b, a) také souvisí s R, tj. (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Tranzitivní : Relace R je tranzitivní, jako když se (a, b) a (b, c) vztahují k R, (a, c) se vztahují také k R, tj. (3, 5) ∈ R a (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

V souladu s tím je R reflexivní, symetrické a tranzitivní.

R je tedy vztah ekvivalence.

Cvičné úlohy na třídě ekvivalence

Problém 1: aRb je-li a+b sudé. Určete, zda se jedná o vztah ekvivalence a jeho vlastnosti.

Problém 2: xSy, pokud x a y mají stejný měsíc narození. Analyzujte, zda jde o vztah ekvivalence.

Problém 3: Uvažujme A = {2, 3, 4, 5} a R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3 ), (4, 2), (4, 4)}. Potvrďte, že R je vztah ekvivalence.

Problém 4: Dokažte, že relace R je ekvivalenčním typem v množině P= { 3, 4, 5,6 } dané relací R = je sudá .

Třída ekvivalence: Často kladené otázky

1. Co je třída ekvivalence?

Třída ekvivalence je podmnožina v rámci množiny, tvořená seskupením všech prvků, které jsou si navzájem ekvivalentní v rámci daného vztahu ekvivalence. Představuje všechny členy, které jsou tímto vztahem považovány za rovnocenné.

2. Co je symbol pro třídu ekvivalence?

Symbol pro třídu ekvivalence se obvykle píše jako [a], kde a je reprezentativní prvek třídy. Tato notace označuje množinu všech prvků ekvivalentních a pod určitým vztahem ekvivalence.

3. Jak zjistíte třídu ekvivalence sady?

Chcete-li najít třídu ekvivalence množiny, postupujte takto:

Krok 1: Definujte vztah ekvivalence.

Krok 2: Vyberte prvek ze sady.

Krok 3: Identifikujte ekvivalentní prvky k vybraným prvkům.

Krok 4: Vytvořte třídu ekvivalence obsahující všechny prvky ekvivalentní vybranému prvku.

4. Jaký je rozdíl mezi třídou ekvivalence a oddílem?

Třídy ekvivalence jsou podmnožiny tvořené vztahem ekvivalence, zatímco oddíly jsou nepřekrývající se podmnožiny pokrývající celou množinu. Každá třída ekvivalence je podmnožinou v oddílu, ale ne každý oddíl vzniká z vztahu ekvivalence.

5. Co je to vztah ekvivalence?

Relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní, rozdělující množinu na disjunktní podmnožiny.