Ostré, tupé, rovnoramenné, rovnostranné… Pokud jde o trojúhelníky, existuje mnoho různých odrůd, ale jen několik z nich je „zvláštních“. Tyto speciální trojúhelníky mají strany a úhly, které jsou konzistentní a předvídatelné a lze je použít ke zkrácení cesty přes vaše problémy s geometrií nebo trigonometrií. A trojúhelník 30-60-90 – vyslovovaný „třicet šedesát devadesát“ – je skutečně velmi zvláštním typem trojúhelníku.
V této příručce vás provedeme tím, co je trojúhelník 30-60-90, proč funguje a kdy (a jak) využít své znalosti o něm. Tak jdeme na to!
Co je trojúhelník 30-60-90?
Trojúhelník 30-60-90 je speciální pravoúhlý trojúhelník (pravoúhlý trojúhelník je jakýkoli trojúhelník, který obsahuje úhel 90 stupňů), který má vždy úhly stupňů 30 stupňů, 60 stupňů a 90 stupňů. Protože se jedná o speciální trojúhelník, má také hodnoty délky stran, které jsou vždy ve vzájemném vztahu.
Základní poměr trojúhelníků 30-60-90 je:
Strana proti úhlu 30°: $x$
Strana protilehlá úhlu 60°: $x * √3$
Strana proti úhlu 90°: x$
Například trojúhelník 30-60-90 stupňů může mít délky stran:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
jak zakázat vývojářský režim v androidu
(Proč je delší větev 3? V tomto trojúhelníku je nejkratší větev ($x$) $√3$, takže pro delší větev je $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. A přepona je 2krát nejkratší větev nebo √3$)
A tak dále.
Strana protilehlá úhlu 30° je vždy nejmenší , protože 30 stupňů je nejmenší úhel. Strana protilehlá úhlu 60° bude mít střední délku , protože 60 stupňů je středně velký stupňový úhel v tomto trojúhelníku. A konečně strana protilehlá úhlu 90° bude vždy největší stranou (přepona) protože 90 stupňů je největší úhel.
Ačkoli to může vypadat podobně jako jiné typy pravoúhlých trojúhelníků, důvodem, proč je trojúhelník 30-60-90 tak výjimečný, je to, že k nalezení každého druhého měření potřebujete pouze tři informace. Pokud znáte hodnotu dvou úhlových mír a délky jedné strany (nezáleží na tom, na které straně), víte vše, co potřebujete vědět o svém trojúhelníku.
Můžeme například použít vzorec trojúhelníku 30-60-90 k vyplnění všech zbývajících informačních prázdných polí níže uvedených trojúhelníků.
Příklad 1
Vidíme, že se jedná o pravoúhlý trojúhelník, ve kterém je přepona dvakrát delší než délka jedné z nohou. To znamená, že to musí být trojúhelník 30-60-90 a menší daná strana je proti 30°.
Delší noha proto musí být naproti úhlu 60° a měřit * √3$ neboli √3$.
Příklad 2
seznam programů python
Můžeme vidět, že to musí být trojúhelník 30-60-90, protože vidíme, že se jedná o pravoúhlý trojúhelník s jedním daným rozměrem, 30°. Neoznačený úhel pak musí být 60°.
Protože 18 je míra naproti úhlu 60°, musí se rovnat $x√3$. Nejkratší noha pak musí měřit /√3$.
(Všimněte si, že délka větve bude ve skutečnosti /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, protože jmenovatel nemůže obsahovat radikál/druhou odmocninu).
A přepona bude (18/√3)$
(Všimněte si, že opět nemůžete mít ve jmenovateli radikál, takže konečná odpověď bude skutečně dvojnásobek délky nohy √3$ => √3$).
Příklad 3
Opět máme dvě měření úhlu (90° a 60°), takže třetí míra bude 30°. Protože se jedná o trojúhelník 30-60-90 a přepona je 30, bude nejkratší větev rovna 15 a delší větev 15√3.
Není třeba konzultovat magickou osmičku – tato pravidla vždy fungují.
Proč to funguje: Důkaz 30-60-90 trojúhelníkové věty
Proč ale tento speciální trojúhelník funguje tak, jak funguje? Jak víme, že tato pravidla jsou legitimní? Pojďme si projít, jak přesně funguje věta o trojúhelníku 30-60-90, a dokažme, proč budou tyto délky stran vždy konzistentní.
Nejprve na chvíli zapomeňme na pravoúhlé trojúhelníky a podívejme se na rovnostranný trojúhelník.
Rovnostranný trojúhelník je trojúhelník, který má všechny stejné strany a všechny stejné úhly. Protože vnitřní úhly trojúhelníku vždy tvoří 180° a 0/3 = 60 $, rovnostranný trojúhelník bude mít vždy tři úhly 60°.
Nyní sestupme o výšku od nejvyššího úhlu k základně trojúhelníku.
Teď máme vytvořil dva pravé úhly a dva shodné (rovné) trojúhelníky.
Jak víme, že jsou to stejné trojúhelníky? Protože jsme spadli z výšky rovnostranný trojúhelník, rozdělili jsme základnu přesně na polovinu. Nové trojúhelníky také sdílejí jednu délku strany (výšku) a každý z nich má stejnou délku přepony. Protože mají společné tři délky stran (SSS), znamená to trojúhelníky jsou shodné.
Poznámka: Tyto dva trojúhelníky nejsou pouze shodné na základě principů délky strany-strana-strana neboli SSS, ale také na základě měření strany-úhel-strana (SAS), úhlu-úhel-strana (AAS) a úhlu- boční úhel (ASA). V podstatě? Jsou zcela určitě shodné.
Nyní, když jsme prokázali shodu dvou nových trojúhelníků, můžeme vidět, že každý z horních úhlů musí být roven 30 stupňům (protože každý trojúhelník již má úhly 90° a 60° a sečtením musí být 180°). To znamená vytvořili jsme dva trojúhelníky 30-60-90.
A protože víme, že jsme základnu rovnostranného trojúhelníku rozpůlili, můžeme vidět, že strana protilehlá úhlu 30° (nejkratší strana) každého z našich trojúhelníků 30-60-90 je přesně polovina délky přepony. .
Nazvěme tedy naši původní délku strany $x$ a naši půlenou délku $x/2$.
ta plná forma
Nyní nám zbývá jen najít naši střední délku, kterou oba trojúhelníky sdílejí. K tomu můžeme jednoduše použít Pythagorovu větu.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 – {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Takže nám zbývá: $x/2, {x√3}/2, x$
Nyní vynásobme každou míru 2, jen abychom si usnadnili život a vyhli se všem zlomkům. Tímto způsobem nám zbývá:
$x$, $x√3$, x$
Můžeme tedy vidět, že trojúhelník 30-60-90 bude vždy mít konzistentní délky stran $x$, $x√3$ a x$ (nebo $x/2$, ${√3x}/2$ a $x$).
Naštěstí pro nás můžeme dokázat pravdivost pravidel trojúhelníku 30-60-90 i bez toho všeho.
Kdy použít pravidla trojúhelníku 30-60-90
Znalost pravidel trojúhelníku 30-60-90 vám ušetří čas a energii na množství různých matematických problémů, jmenovitě na širokou škálu problémů s geometrií a trigonometrií.
Geometrie
Správné pochopení trojúhelníků 30-60-90 vám umožní řešit geometrické otázky, které by buď nebylo možné vyřešit bez znalosti těchto poměrových pravidel, nebo by přinejmenším zabralo značný čas a úsilí k vyřešení „dlouhé cesty“.
Pomocí speciálních poměrů trojúhelníků můžete zjistit chybějící výšky trojúhelníků nebo délky nohou (aniž byste museli použít Pythagorovu větu), najít plochu trojúhelníku pomocí chybějící informace o výšce nebo délce základny a rychle vypočítat obvody.
Kdykoli potřebujete rychlost k zodpovězení otázky, bude se vám hodit zapamatování si zkratek, jako jsou vaše pravidla 30-60-90.
Trigonometrie
Zapamatování a pochopení poměru trojúhelníků 30-60-90 vám také umožní vyřešit mnoho problémů s trigonometrií, aniž byste potřebovali kalkulačku nebo museli své odpovědi aproximovat v desetinné podobě.
Trojúhelník 30-60-90 má pro každý úhel poměrně jednoduché sinusy, kosinusy a tečny (a tato měření budou vždy konzistentní).
Sinus 30° bude vždy /2$.
Kosinus 60° bude vždy $ 1/2 $.
otevřete soubor pomocí java
I když jsou ostatní sinusy, kosinusy a tečny poměrně jednoduché, tyto dva se nejsnáze zapamatují a pravděpodobně se objeví v testech. Takže znalost těchto pravidel vám umožní najít tato trigonometrická měření co nejrychleji.
Tipy pro zapamatování pravidel 30-60-90
Víte, že tato pravidla poměru 30-60-90 jsou užitečná, ale jak si udržet informace v hlavě? Zapamatování si pravidel trojúhelníku 30-60-90 je věcí zapamatování si poměru 1: √3: 2 a vědomí, že délka nejkratší strany je vždy proti nejkratšímu úhlu (30°) a nejdelší délka strany je vždy protilehlá. největší úhel (90°).
Někteří lidé si poměr zapamatují tím, že si myslí: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, “ protože posloupnost „1, 2, 3“ je obvykle snadno zapamatovatelná. Jediným opatřením pro použití této techniky je zapamatovat si, že nejdelší strana je ve skutečnosti x$, ne $x$ krát $√3$.
Dalším způsobem, jak si zapamatovat své poměry, je použijte mnemotechnickou slovní hříčku v poměru 1: odmocnina 3: 2 v jejich správném pořadí. Například 'Jackie Mitchell škrtla Lou Gehrig a 'vyhrála i Ruthy'': jedna, odmocnina tři, dva. (A je to skutečný fakt z historie baseballu!)
Pohrajte si se svými vlastními mnemotechnickými pomůckami, pokud vás tyto nelákají – zazpívejte si poměr k písni, najděte si vlastní fráze „jedna, tři, dvě“ nebo vymyslete báseň s poměrem. Můžete si dokonce jen pamatovat, že trojúhelník 30-60-90 je polovina rovnostranného a zjistit míry odtud, pokud si je neradi pamatujete.
Jakkoli vám dává smysl pamatovat si tato pravidla 30-60-90, ponechte si tyto poměry hlavou pro budoucí otázky týkající se geometrie a trigonometrie.
konverze nfa na dfa
Memorování je váš přítel, ale můžete to udělat.
Příklad 30-60-90 Otázky
Nyní, když jsme se podívali na to, jak a proč trojúhelníky 30-60-90, pojďme si projít několik praktických problémů.
Geometrie
Stavební dělník opře 40stopý žebřík o bok budovy pod úhlem 30 stupňů nad zemí. Pozemek je rovný a strana budovy je kolmá k terénu. Jak daleko v budově dosahuje žebřík, na nejbližší nohu?
Bez znalosti našich speciálních pravidel pro trojúhelníky 30-60-90 bychom museli k nalezení řešení tohoto problému použít trigonometrii a kalkulačku, protože máme pouze jednu stranu trojúhelníku. Ale protože víme, že se jedná o a speciální trojúhelník, můžeme najít odpověď během několika sekund.
Pokud jsou budova a země na sebe kolmé, musí to znamenat, že budova a země svírají pravý (90°) úhel. Samozřejmostí je také to, že žebřík dosedá na zem pod úhlem 30°. Můžeme tedy vidět, že zbývající úhel musí být 60°, což z toho dělá trojúhelník 30-60-90.
Nyní víme, že přepona (nejdelší strana) této 30-60-90 je 40 stop, což znamená, že nejkratší strana bude mít polovinu této délky. (Nezapomeňte, že nejdelší strana je vždy dvakrát – x$ – tak dlouhá jako nejkratší strana.) Protože nejkratší strana je proti úhlu 30° a tento úhel je mírou stupně žebříku od země, znamená to, že horní část žebříku narazí na budovu 20 stop nad zemí.
Naše konečná odpověď je 20 stop.
Trigonometrie
Je-li v pravoúhlém trojúhelníku sin Θ = /2$ a nejkratší délka větve je 8. Jaká je délka chybějící strany, která NENÍ přeponou?
Protože znáte svá pravidla 30-60-90, můžete tento problém vyřešit, aniž byste potřebovali pythagorovu větu nebo kalkulačku.
Bylo nám řečeno, že se jedná o pravoúhlý trojúhelník a z našich speciálních pravidel pro pravoúhlý trojúhelník víme, že sinus 30° = /2$. Chybějící úhel proto musí být 60 stupňů, což z něj dělá trojúhelník 30-60-90.
A protože toto je trojúhelník 30-60-90 a bylo nám řečeno, že nejkratší strana je 8, přepona musí být 16 a chybějící strana musí být * √3$ neboli √3$.
Naše konečná odpověď je 8√3.
Take-Aways
Vzpomínka na pravidla pro trojúhelníky 30-60-90 vám pomohou zkrátit cestu přes různé matematické problémy . Mějte však na paměti, že i když je znalost těchto pravidel užitečným nástrojem, který je třeba mít na paměti, většinu problémů můžete vyřešit i bez nich.
Sledujte pravidla $x$, $x√3$, x$ a 30-60-90 jakýmkoli způsobem, který vám dává smysl, a snažte se je dodržovat, pokud můžete, ale nepropadejte panice, pokud máte na mysli prázdná místa, když je čas krize. Ať tak či onak, máš to.
A pokud potřebujete další praxi, pokračujte a podívejte se na toto Trojúhelníkový kvíz 30-60-90 . Šťastné zkoušení!