Odvozovací vzorce v kalkulu jsou jedním z důležitých nástrojů kalkulu, protože derivační vzorce se široce používají k snadnému nalezení derivátů různých funkcí a také nám pomáhají prozkoumat různé oblasti matematiky, inženýrství atd.

Tento článek zkoumá všechny odvozené vzorce úzce zahrnující obecný derivační vzorec, derivační vzorce pro logaritmické a exponenciální funkce, derivační vzorce pro trigonometrické poměry, derivační vzorce pro inverzní trigonometrické poměry a derivační vzorce pro hyperbolické funkce. Derivační vzorec je důležitý pro studenty třídy 12 pro jejich deskové zkoušky. Budeme také řešit některé příklady derivací pomocí různých derivačních vzorců. Pojďme se podrobně projít tématem derivačního vzorce.

Obsah

• Co je derivát?
• Co jsou odvozené vzorce?
• Základní derivační vzorce – pravidla derivace v kalkulu
• Seznam odvozených vzorců
• Některé další odvozené vzorce
• Jak najít deriváty?
• Aplikace derivačního vzorce

Co je derivát?

The deriváty reprezentují rychlost funkce vzhledem k jakékoli proměnné. Derivace funkce f(x) je označena jako f'(x) nebo (d/dx) [f(x)]. Proces hledání derivátů se nazývá diferenciace.

Nejzákladnější derivační vzorec je definice derivátu, který je definován jako:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Existují různé derivační vzorce včetně obecných derivačních vzorců, derivačních vzorců pro goniometrické funkce a derivačních vzorců pro inverzní goniometrické funkce atd.

Přečtěte si podrobně: Počet v matematice

Co jsou odvozené vzorce?

Derivační vzorce jsou ty matematické výrazy, které nám pomáhají vypočítat derivaci nějaké specifické funkce s ohledem na její nezávislou proměnnou. Jednoduše řečeno, vzorce, které pomáhají při hledání derivací, se nazývají derivační vzorce. Existuje více derivačních vzorců pro různé funkce.

Příklady derivačního vzorce

Některé příklady vzorců pro deriváty jsou uvedeny takto:

• Pravidlo výkonu: Pokud f(x) = xⁿ, kde n je konstanta, pak derivace je dána vztahem:

f'(x) = nx ^n-1

• Konstantní pravidlo: Pokud f(x) = c, kde c je konstanta, pak je derivace nula:

f'(x) = 0

• Exponenciální funkce: Pokud f(x) = e^X, pak:

f'(x) = e ^X

Proberme všechny vzorce související s derivátem strukturovaným způsobem.

Základní derivační vzorce – pravidla derivace v kalkulu

Některé z nejzákladnějších vzorců k nalezení derivátu jsou:

• Konstantní pravidlo
• Pravidlo moci
• Pravidlo rozdílu součtu
• Pravidlo produktu
• Pravidlo podílu
• Řetězové pravidlo

Proberme tato pravidla podrobně:

Konstantní pravidlo pro deriváty

Konstantní pravidlo pro deriváty je dáno:

(d/dx) konstanta = 0

Pravidlo moci pro deriváty

Mocninné pravidlo pro derivace je dáno takto:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Pravidlo součtového rozdílu pro deriváty

Pravidlo součtu a rozdílu pro deriváty je dáno vztahem:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

porovnat řetězce java

Produktové pravidlo pro deriváty

Produktové pravidlo pro deriváty je dáno takto:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Kvocientové pravidlo pro deriváty

Podílové pravidlo pro deriváty je dáno vztahem:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Řetězové pravidlo pro deriváty

Řetězové pravidlo pro derivaci je dáno takto:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Seznam odvozených vzorců

Derivační vzorce pro různé funkce jsou uvedeny níže:

Exponenciální a logaritmické derivační vzorce

Derivační vzorce pro exponenciální a logaritmické funkce jsou uvedeny níže:

• (d/dx) e^X= a^X
• (d/dx) a^X= a^XV a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) log_Ax= (1/x lna)

Přečtěte si více,

• Logaritmy
• Derivace exponenciálních funkcí

Vzorce trigonometrických derivací

Derivační vzorce pro goniometrické funkce jsou uvedeny níže:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²X
• (d/dx) postýlka x = -cosec²X
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x postýlka x

Dozvědět se víc o Derivace goniometrických funkcí .

Derivační vzorec pro inverzní goniometrické funkce

Derivační vzorce pro inverzní goniometrické funkce jsou uvedeny níže:

• (d/dx) bez^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) tak^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) dětská postýlka^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sec^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) kosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Přečtěte si více, Derivace inverzních spouštěcích funkcí .

Derivace hyperbolických funkcí

Derivační vzorce pro goniometrické funkce jsou uvedeny níže:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = sám²X
• (d/dx) coth x = -cosech²X
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Některé další odvozené vzorce

Existují některé další funkce, jako jsou implicitní funkce, parametrické funkce a derivace vyšších řádů, jejichž derivační vzorce jsou uvedeny níže:

Implicitní derivační vzorec

Metoda nalezení derivace implicitní funkce se nazývá implicitní derivace. Vezměme si příklad, abychom pochopili metodu implicitního hledání derivátů.

Příklad: Najděte derivaci xy = 2

Řešení:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Z dané rovnice y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

ex uživatelského jména

Dozvědět se víc o Implicitní diferenciace .

Parametrický derivační vzorec

Pokud je funkce y(x) vyjádřena v podmínkách třetí proměnné t a x a y mohou být reprezentovány v x = f(t) a y = g(t), pak se tento typ funkce nazývá parametrická funkce.

Pokud y je funkcí x a x = f(t) a y = g(t) jsou dvě diferencovatelné funkce parametru t, pak derivace parametrické funkce je dána vztahem:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), takže (dx/dt) ≠ 0

Přečtěte si více o Parametrická diferenciace .

Vzorec derivátu vyššího řádu

Hledání derivace funkce pro více než jeden čas dává derivaci vyššího řádu funkce.

n ^čt Derivát = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Přečtěte si více o Derivát vyššího řádu .

Jak najít deriváty?

Chcete-li najít derivace funkce, postupujte takto:

• Nejprve zkontrolujte typ funkce, zda je algebraická, goniometrická atd.
• Po nalezení typu aplikujte na funkci odpovídající derivační vzorce.
• Výsledná hodnota udává derivaci funkce pomocí derivačního vzorce.

Aplikace derivačního vzorce

Existuje mnoho aplikací odvozených vzorců. Některé z těchto aplikací jsou uvedeny níže:

• Deriváty se používají k nalezení rychlosti změny libovolného množství.
• Lze jej použít k nalezení maxima a minima.
• Používá se při zvyšování a snižování funkcí.

Lidé také vidí:

• Diferenciační vzorce
• Diferenciační a integrační vzorec
• Logaritmická diferenciace

Řešené příklady na derivační vzorec

Příklad 1: Najděte derivaci x ⁵ .

Řešení:

Nechť y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Příklad 2: Najděte derivaci log ₂ X.

Řešení:

Nechť y = log₂X

⇒ y’ = (d/dx) [log₂X]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Příklad 3: Najděte derivaci funkce f(x) = 8 . 6 ^X

Řešení:

f(x) = 8. 6^X

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^X]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^X]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Příklad 4: Najděte derivaci funkce f(x) = 3sinx + 2x

Řešení:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Příklad 5: Najděte derivaci funkce f(x) = 5cos ^-1 x + e ^X

Řešení:

f(x) = 5cos^-1x + e^X

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^X]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + a^X

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + a^X

Cvičební úlohy na odvozeném vzorci

Problém 1: Vyhodnotit: (d/dx) [x⁴].

Problém 2: Najděte derivaci y = 5cos x.

Problém 3: Najděte derivaci y = cosec x + cot x.

Problém 4: Najděte derivaci f(x) = 4^X+ log₃x + tak^-1X.

Problém 5: Vyhodnoťte: (d/dx) [40].

Problém 6: Najděte derivaci f(x) = x⁵+ 5x³+ 1.

Často kladené otázky o odvozeném vzorci

Co je derivát?

Hodnota, která představuje rychlost změny funkce vzhledem k jakékoli proměnné, se nazývá derivace.

Jak jsou zastoupeny deriváty?

Derivace jsou reprezentovány jako (d/dx) nebo pokud f(x) je funkce, pak derivace f(x) je reprezentována jako f'(x).

Jak se počítá derivace konstanty?

Derivace konstanty je vždy nula. V matematickém zápisu, pokud je „C“ konstanta, pak dC/dx = 0.

Napište obecný derivační vzorec xⁿ.

Obecný vzorec pro derivaci xⁿ= nx^n-1.

Jak vypočítat deriváty funkce?

Pro výpočet derivací funkce můžeme použít derivační vzorec podle dané funkce.

Jaký je vzorec pro derivaci logaritmické funkce?

Derivace přirozené logaritmické funkce, ln(x), je 1/x. V matematickém zápisu, pokud y = ln(x), pak dy/dx = 1/x.

Který vzorec se používá k nalezení derivace exponenciálních funkcí?

Derivace exponenciální funkce, y = a^X(kde „a“ je konstanta), se zjistí pomocí vzorce dy/dx = a^X× ln(a).

Co jsou deriváty vyššího řádu?

Derivace vyššího řádu jsou derivace funkce brané více než jednou. Druhá derivace je derivací prvního, třetí je derivace druhého a tak dále.

Co je derivační vzorec pro e^X?

Derivace funkce f(x) = e^X(kde „e“ je Eulerovo číslo, přibližně 2,71828) je jednoduše f'(x) = e^X.

Napište derivační vzorec pro u/v.

Derivace podílu dvou funkcí u(x) a v(x) je dána pravidlem podílu:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Co je odvozený vzorec pro 1/x?

Derivace funkce f(x) = 1/x je dána vztahem:

kruskalův algoritmus

f'(x) = -1/x ²