Derivace funkce arkus tangens se označuje jako tan^-1(x) nebo arctan(x). To se rovná 1/(1+x ² ) . Derivace funkce arkus tangens se zjistí určením rychlosti změny arc tan funkce vzhledem k nezávislé proměnné. Technika hledání derivací goniometrických funkcí se nazývá goniometrická derivace.

Derivát Arctanu

V tomto článku se seznámíme s derivací arc tan x a jejím vzorcem včetně důkazu vzorce. Kromě toho jsme pro lepší pochopení poskytli také některé řešené příklady.

Derivát Arctan x

Derivace funkce arkus tangens neboli arctan(x) je 1/(1+x ² ). Arktus x představuje úhel, jehož tangens je x. Jinými slovy, pokud y = arctan(x), pak tan(y) = x.

Derivaci funkce lze najít pomocí pravidla řetězce. Pokud máte složenou funkci jako arctan(x), diferencujete vnější funkci s ohledem na vnitřní funkci a poté vynásobíte derivací vnitřní funkce.

Derivát Arctan x Formula

Vzorec pro derivaci inverze k tan x je dán vztahem:

d/dx(arktan(x)) = 1/(1+x ² )

Také zkontrolujte :

• Arctan – vzorec, graf, identity, doména, rozsah a často kladené otázky
• Počet v matematice
• Inverzní Goniometrická funkce

Důkaz derivátu Arctan x

Derivaci inverze k tan x lze dokázat následujícími způsoby:

• Použitím Řetězové pravidlo
• Použitím Metoda implicitní diferenciace
• Použití prvních principů derivátů

Derivát Arctan x podle Chain Rule

Abychom dokázali derivaci Arctanu x pomocí řetězového pravidla, použijeme základní trigonometrický a inverzní trigonometrický vzorec:

• sek²y = 1 + tan²a
• tan(arktan x) = x

Zde je důkaz derivace arctanu x:

java řetězec na int

Předpokládejme, že y = arctan(x)

Opálením na obou stranách dostaneme:

tan y = tan(arktan X)

tan y = x [jako tan (arktan x) = x]

Nyní rozlišujte obě strany vzhledem k x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [jako d/dx(x) = 1]

Aplikací řetězového pravidla pro diferenciaci tan y vzhledem k x dostaneme

d/dx(tan y) = sec²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/sec²a

dy/dx = 1/1 + tan²y [jako sek²y = 1 + tan²a]

Nyní známe tan y = x, dosadíme-li hodnotu ve výše uvedené rovnici, kterou dostaneme

dy/dx = 1/1 + x²

Derivace Arctan x metodou implicitní diferenciace

Derivát arctanu x lze dokázat pomocí metody implicitní diferenciace. Použijeme základní trigonometrické vzorce, které jsou uvedeny níže:

• sek²x = ( 1 + tan²X )

• Jestliže y = arctan x ⇒ x = tan y a x²= tak²a

Začněme důkazem pro derivát arctanu x , předpokládejme f(x) = y = arctan X

Metodou implicitní diferenciace

f(x) = y = arctan X

⇒ x = tan y

Použití derivace na obou stranách vzhledem k x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Násobení a dělení pravé strany dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = sec²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Jako sek²x = (1 + tan²X )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²a )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Proto f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Derivát Arctan x podle prvního principu

K prokázání derivace arctanu x pomocí prvního principu derivace použijeme základní limity a trigonometrické vzorce, které jsou uvedeny níže:

• lim_h→0arctan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Začněme s důkazem pro derivaci arctanu x

máme arctan(x) = y

Aplikujte definici derivace, kterou dostaneme

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Také zkontrolujte

• Derivace inverzních goniometrických funkcí
• Diferenciační vzorce
• Inverzní goniometrické identity

Příklady na derivát Arctan x

Příklad 1: Najděte derivaci funkce f(x) = arctan(3x).

Řešení:

Použijeme řetězové pravidlo, které říká, že pokud je g(x) diferencovatelné v x a f(x) = arctan (g(x)), pak derivace f'(x) je dána vztahem:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

V tomto případě g(x) = 3x, takže g'(X) = 3. Použití vzorce řetězového pravidla:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Příklad 2: Najděte derivaci funkce h(x) = tan ^-1 (x/2)

Řešení:

Použijeme řetězové pravidlo, podle kterého f(x) = tan^-1(g(x)), pak derivace f'(x) je dána vztahem:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

V tomto případě g(x) = x/2, takže g'(X) = 1/2. Použití vzorce řetězového pravidla:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Zjednodušením dostaneme,

f'(x) = 2/(4+x²)

Příklad 3: Najděte derivaci f(x) = arctan (2x ² )

Řešení:

Použijeme řetězové pravidlo, které říká, že pokud je g(x) diferencovatelné v x a f(x) = arctan (g(x)), pak derivace f'(x) je dána vztahem:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

V tomto případě g(x) = 2x², takže g'(X) = 4x.

Použití vzorce řetězového pravidla:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arktan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Cvičné otázky k derivátu Arctan x

Q.1: Najděte derivaci funkce f(x) = x ² arkán (2x)

Q.2: Najděte derivaci funkce k(x) = arctan (X ³ +2x)

Q.3: Najděte derivaci funkce p(x) = x arctan(x ² +1)

Q.4: Najděte derivaci funkce f(x) = arctan (x)/1+x

Q.5: Najděte derivaci funkce r(x) = arctan (4x)

Přečtěte si více,

• Derivace v matematice
• Derivace tan inverze x
• Arktan

Derivát Arctan x – FAQ

Co je to derivace v matematice?

V matematice derivace měří, jak se funkce mění, když se mění její vstup (nezávislá proměnná). Derivace funkce f(x) se označuje jako f'(x) nebo (d /dx)[f(x)].

Co je to derivát tan ^-1 (X)?

Derivát opálení^-1(x) vzhledem k x je 1/1+x²

Co je inverze k tan x?

Arctan je inverzní funkce tan a je to jedna z inverzních goniometrických funkcí. Je také známá jako arktanová funkce.

Co je Chain Rule v Arktanu (X)?

Řetězové pravidlo je pravidlo diferenciace. Pro arctan (u), řetězové pravidlo říká, že pokud f(x) = arctan(u), pak f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. Aplikujeme-li to na arctan(x), kde u=x, dostaneme 1/1+x²

Co je derivát f(x) = x tan ^-1 (X)?

Derivace f(x) = xtan^-1(x) lze nalézt pomocí pravidla produktu. Výsledek je tak ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Co je to Anti Derivative of Arctan x?

Antiderivát arctanu x je dán ∫tan^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Co je derivát?

Derivace funkce je definována jako rychlost změny funkce vzhledem k nezávisle proměnné.