logo

TechCodeview

Inverzní goniometrické identity

Inverzní goniometrické identity: V matematice jsou inverzní goniometrické funkce také známé jako arcus funkce nebo anti-trigonometrické funkce. Inverzní goniometrické funkce jsou inverzní funkce základních goniometrických funkcí, tj. sinus, kosinus, tečna, kosekans, sečna a kotangens. Používá se k nalezení úhlů s libovolným trigonometrickým poměrem. Inverzní goniometrické funkce se obecně používají v oblastech, jako je geometrie, strojírenství atd. Reprezentace inverzních goniometrických funkcí jsou:

Jestliže a = f(b), pak inverzní funkce je



b = f-1(A)

vložit do klávesnice

Příklady inverzních inverzních goniometrických funkcí jsou sin-1x, cos-1x, takže-1x atd.

Obsah



Doména a rozsah inverzních goniometrických identit

Následující tabulka ukazuje některé goniometrické funkce s jejich doménou a rozsahem.

Funkce Doména Rozsah
y = bez-1X[-jedenáct][-p/2, p/2]
y = cos-1X[-jedenáct][0, p]
y = kosec-1X R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1X R - (-jedenáct)[0, π] – {π/2}
y = tak-1X R (-p/2, p/2)
y = dětská postýlka-1X R (0, p)

Vlastnosti inverzních goniometrických funkcí

Následují vlastnosti inverzních goniometrických funkcí:

Vlastnost 1:



  1. bez-1(1/x) = kosec-1x, pro x ≥ 1 nebo x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sek-1x, pro x ≥ 1 nebo x ≤ -1
  3. tak-1(1/x) = dětská postýlka-1x, pro x> 0

Vlastnost 2:

  1. bez-1(-x) = -hřích-1x, pro x ∈ [-1 , 1]
  2. tak-1(-x) = -tan-1x, pro x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, pro |x| ≥ 1

Nemovitost 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, pro x ∈ [-1 , 1]
  2. sek-1(-x) = π – sec-1x, pro |x| ≥ 1
  3. dětská postýlka-1(-x) = π – postýlka-1x, pro x ∈ R

Nemovitost 4

  1. bez-1x + cos-1x = π/2, pro x ∈ [-1,1]
  2. tak-1x + dětská postýlka-1x = π/2, pro x ∈ R
  3. cosec-1x + sec-1x = π/2, pro |x| ≥ 1

Nemovitost 5

  1. tak-1x + tak-1y = tak-1( x + y )/(1 – xy), pro xy <1
  2. tak-1x – tedy-1y = tak-1(x – y)/(1 + xy), pro xy> -1
  3. tak-1x + tak-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), pro xy>1; x, y> 0

Nemovitost 6

  1. 2tan-1x = hřích-1(2x)/(1 + x2), pro |x| ≤ 1
  2. 2tan-1x = cos-1(1-x2)/(1 + x2), pro x ≥ 0
  3. 2tan-1x = tak-1(2x)/(1 – x2), pro -1

Identity inverzní goniometrické funkce

Následují identity inverzních goniometrických funkcí:

  1. bez-1(sin x) = x za předpokladu -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x za předpokladu 0 ≤ x ≤ π
  3. tak-1(tan x) = x za předpokladu -π/2
  4. bez-1x) = x za předpokladu -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos (cos-1x) = x za předpokladu -1 ≤ x ≤ 1
  6. tak tak-1x) = x za předpokladu x ∈ R
  7. cosec (cosec-1x) = x za předpokladu -1 ≤ x ≤ ∞ nebo -∞
  8. sec (sek-1x) = x za předpokladu 1 ≤ x ≤ ∞ nebo -∞
  9. dětská postýlka (dětská postýlka-1x) = x za předpokladu -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2sin-1x = hřích-12x√(1 – x2)
  15. 3sin-1x = hřích-1(3x - 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3tan-1x = tak-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. bez-1x + hřích-1y = bez-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. bez-1x – hřích-1y = bez-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2) (1 – a2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2) (1 – a2)}
  22. tak-1x + tak-1y = tak-1(x + y/1 – xy)
  23. tak-1x – tak-1y = tak-1(x – y/1 + xy)
  24. tak-1x + tak-1a +tan-1z = tak-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Lidé také vidí:

Ukázkové problémy s inverzními goniometrickými identitami

Otázka 1: Zkuste bez -1 x = sek -1 1/√ (1-x 2 )

Řešení:

Nechte bez-1x = y

⇒ sin y = x , (protože sin y = kolmice/hypotenza ⇒ cos y = √(1- kolmice2)/hypotenze)

⇒ cos y = √(1 – x2), zde přepona = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sec-11/√ (1 – x2)

⇒ bez-1x = sek-11/√ (1 – x2)

Tedy dokázáno.

Otázka 2: Zkuste to -1 x = kosec -1 √ (1 + x 2 )/X

Řešení:

Nech to tak-1x = y

⇒ tan y = x, kolmice = x a základna = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (protože přepona = √ (kolmice2+ základna2))

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = kosec-1√ (x2+ 1)/x

⇒ tak-1x = kosec-1√ (x2+ 1)/x

Tedy dokázáno.

Otázka 3: Ohodnoťte se jako -1 X)

Řešení:

Nechte cos-1x = y

⇒ cos y = x , základ = x a přepona = 1 tedy sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = hřích y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/X

⇒ y = tak-1√ (1 – x2)/X

⇒ cos-1x = tak-1√ (1 – x2)/X

Proto tan(cos-1x) = tan(tan-1√ (1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/X.

Otázka 4: tak -1 √(hřích x) + postýlka -1 √(hřích x) = y. Najděte cos a.

Řešení:

To opálení známe-1x + dětská postýlka-1x = /2 tedy porovnáním této identity s rovnicí uvedenou v otázce dostaneme y = π/2

Tedy cos y = cos π/2 = 0.

Otázka 5: tak -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2) tan -1 x, x> 0. Řešte pro x.

Řešení:

tak-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2) tan-1X

⇒ 2tan-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x … (1)

To víme, 2tan-1x = tak-12x/(1 – x2).

Proto lze LHS rovnice (1) zapsat jako

tak-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= tak-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= tak-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= tak-1(1-x2)/(2x)

Protože, LHS = RHS tedy

tak-1(1-x2)/(2x) = opálení-1X

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Protože x musí být větší než 0, je přijatelná odpověď x = 1/√3.

Otázka 6: Zkuste to -1 √x = (1/2) cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Řešení:

Nech to tak-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ tak2y = x

Proto,

RHS = (1/2) cos-1(1 - tak2y)/(1 + tan2a)

= (1/2) cos-1(cos2a bez2y)/(cos2a + bez2a)

= (1/2) cos-1(cos2a bez2a)

= (1/2) cos-1(což 2 roky)

= (1/2) (2 roky)

= a

= tak-1√x

= LHS

Tedy dokázáno.

Otázka 7: tak -1 (2x)/(1 – x 2 ) + dětská postýlka -1 (1-x 2 )/(2x) = π/2, -1

Řešení:

tak-1(2x)/(1 – x2) + dětská postýlka-1(1-x2)/(2x) = π/2

⇒ tak-1(2x)/(1 – x2) + tak-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2tan-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ tak-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 nebo x = -1 – √2

Ale podle otázky x ∈ (-1, 1) je tedy pro danou rovnici množina řešení x ∈ ∅.

Otázka 8: tak -1 1/(1 + 1,2) + tan -1 1/(1 + 2,3) + … + tak -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 X. Řešení pro x.

Řešení:

tak-11/(1 + 1,2) + tan-11/(1 + 2,3) + … + tan-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ tak-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + tan-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + tak-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ (takže-12 – tak-11) + (tak-13 – tak-12) + … + (tak-1(n + 1) – tak-1n) = tak-1X

⇒ tak-1(n + 1) – tak-11 = tak-1X

⇒ tak-1n/(1 + (n + 1).1) = tan-1X

⇒ tak-1n/(n + 2) = tan-1X

⇒ x = n/(n + 2)

Otázka 9: Pokud 2tan -1 (bez x) = tak -1 (2s x) pak vyřešte x.

Řešení:

2tan-1(bez x) = tak-1(2 s x)

⇒ tak-1(2hřích x)/(1 – hřích2x) = tak-1(2/cos x)

⇒ (2hřích x)/(1 – hřích2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2X

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 nebo sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 nebo tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 nebo x = π/4

Ale při x = π/2 daná rovnice neexistuje, proto je x = π/4 jediným řešením.

Otázka 10: Dokažte tu postýlku -1 [ {√(1 + hřích x) + √(1 – hřích x)}/{√(1 + hřích x) – √(1 – hřích x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Řešení:

Nechť tedy x = 2y

LHS = dětská postýlka-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= dětská postýlka-1[{√(cos2a + bez2y + 2sin y cos y) + √ (cos2a + bez2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2a + bez2y + 2sin y cos y) – √(cos2a + bez2y – 2sin a cos y)} ]

= dětská postýlka-1[{√(cos y + sin y)2+ √ (cos y – hřích y)2} / {√(cos y + sin y)2– √ (cos a – hřích a)2}]

= dětská postýlka-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= dětská postýlka-1(2cos y)/(2sin y)

= dětská postýlka-1(dětská postýlka a)

= a

= x/2.

Cvičte problémy s inverzními goniometrickými identitami

Úloha 1: Řešte pro x v rovnici sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Problém 2: Dokažte, že opálení -1 (1) + tak -1 (2) + tak -1 (3) = str

Problém 3: Vyhodnoťte cos⁡(bez -1 (0,5))

Problém 4: Pokud je opálení -1 (x) + tan -1 (2x) = π/4, pak najděte x

Časté dotazy k inverzním goniometrickým identitám

Co jsou inverzní goniometrické funkce?

Inverzní goniometrické funkce jsou inverzní funkce k základním goniometrickým funkcím (sinus, kosinus, tečna, kosekans, sečna a kotangens). Používají se k nalezení úhlů odpovídajících daným trigonometrickým poměrům.

Proč jsou inverzní goniometrické funkce důležité?

Inverzní goniometrické funkce jsou nezbytné v různých oblastech, jako je geometrie, inženýrství a fyzika, protože pomáhají určovat úhly z goniometrických poměrů, což je klíčové pro řešení mnoha praktických problémů.

Jaké jsou obory a obory inverzních goniometrických funkcí?

Každá inverzní goniometrická funkce má specifické domény a rozsahy:

s v -1 (x) : Doména [-1, 1] a Rozsah [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : doména [-1, 1] a rozsah [ 0, π]

tak⁡ -1 (x) : Doména R a rozsah (- π/2, π/2)

Lze v kalkulu použít inverzní goniometrické funkce?

Ano, inverzní goniometrické funkce se často používají v počtu pro integraci a derivaci. Jsou zvláště užitečné pro integraci funkcí, které zahrnují goniometrické výrazy.