Arktan je definována jako inverzní funkce tangens. Arctan(x) se označuje jako tan^-1(X). Existuje šest goniometrických funkcí a inverzní hodnota všech šesti funkcí je potlačena jako hřích^-1x, cos^-1x, takže^-1x, kosec^-1x, sek^-1x a dětská postýlka^-1X.

Arctan (opálení^-1x) není podobné 1 / tan x. opálení^-1x je inverzní hodnota k tan x, zatímco 1/ tan x je převrácená hodnota k tan x. opálení^-1x se používá k řešení různých goniometrických rovnic. V tomto článku budeme podrobně studovat vzorec arctanové funkce, graf, vlastnosti a další.

Obsah

• Co je Arctan?
• Co je Arctan Formula?
• Arktanské identity
• Doména a rozsah Arktan
• Vlastnosti Arktanu (x).
• Arctanský stůl

Co je Arctan?

Arcatan je opakem goniometrická funkce tan x. Poměr odvěsny a základny v pravoúhlém trojúhelníku se nazývá goniometrická funkce a její inverzní hodnota dává arktanovou funkci. To je vysvětleno jako,

tan (π/4) = 1

⇒ π/4 = tan^-1(1)…(toto je arktanská funkce)

Pokud máme pravoúhlý trojúhelník s úhlem θ, pak tan θ je kolmice/základna, pak arktanová funkce je,

θ = tan ^-1 (kolmice/základna)

Další informace Inverzní goniometrická funkce

Co je Arctan Formula?

Tangenta je goniometrická funkce a v pravoúhlém trojúhelníku se funkce tečny rovná poměru odvěsny a základny (kolmice/základna).

Arctan je odkaz na inverzní funkci tečny. Symbolicky je arctan reprezentován pálením^-1x v goniometrických rovnicích.

Definice arktanského vzorce

Jak bylo diskutováno výše, základní vzorec pro arktan je dán vztahem arctan (kolmice/základna) = θ, kde θ je úhel mezi přeponou a základnou pravoúhlého trojúhelníku. Tento vzorec používáme pro arctan, abychom našli hodnotu úhlu θ ve stupních nebo radiánech.

Předpokládejme, že tangens úhlu θ se rovná x.

x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 X

Vezměme pravoúhlý trojúhelník ABC s úhlem BCA jako θ. Strana AB je kolmá (p) a strana BC je základna (b). Nyní, když jsme studovali, tečna se rovná kolmici k základně.

tj. tan θ = kolmice/základna = p/b

stav java while

A pomocí výše uvedeného výrazu

θ = tan ^-1 (p/b)

Arktanské identity

Existují různé arktanské identity, které se používají k řešení různých goniometrických rovnic. Některé z důležitých arktanských identit jsou uvedeny níže,

• arctan(-x) = -arctan(x), pro všechna x ∈ R
• tan(arctan x) = x, pro všechna reálná čísla x
• arctan (tan x) = x, pro x ∈ (-π/2, π/2)
• arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x), pokud x> 0
• arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π, pokud x <0
• sin(arctan x) = x/ √(1+x²)
• cos(arktan x) = 1/ √(1+x²)
• arctan(x) = 2arctan {x/(1 + √(1+x²))}
• arctan(x) = ∫_Ó^X1/√ (1+z²)dz

Jak aplikovat Arctan Formula?

Arctanův vzorec se používá při řešení různých goniometrických problémů a totéž je vysvětleno v příkladu přidaném níže.

Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku PQR, pokud je výška trojúhelníku √3 jednotky a základna trojúhelníku je 1 jednotka. Najděte úhel.

Chcete-li najít úhel (θ)

θ = arctan (kolmice/výška)

θ = arctan (√3/1)

6 = 60°

Doména a rozsah Arktan

Všechny goniometrické funkce včetně tan (x) mají vztah mnoho ku jedné. Inverzní funkce však může existovat pouze tehdy, má-li vztah jedna ku jedné a on. Z tohoto důvodu musí být doména tan x omezena, jinak inverzní nemůže existovat. Jinými slovy, goniometrická funkce musí být omezena na její hlavní větev, protože chceme pouze jednu hodnotu.

• Doména arctan x je Reálné číslo
• Rozsah arctanu (x) je (-p/2, p/2)

Víme, že obor a obor goniometrické funkce se převedou na obor a obor inverzní goniometrické funkce. Můžeme tedy říci, že doménou tan^-1x jsou všechna reálná čísla a rozsah je (-π/2, π/2).

Zajímavým faktem je, že arctanovou funkci můžeme rozšířit na komplexní čísla. V takovém případě budou definičním oborem arctanu všechna komplexní čísla.

Vlastnosti Arktanu (x).

Vlastnosti Arctan x se používají pro řešení různých goniometrických rovnic. Existují různé trigonometrické vlastnosti, které je třeba studovat pro studium trigonometrie. Některé důležité vlastnosti arctanové funkce jsou uvedeny níže v tomto článku:

• tak tak^-1x) = x
• tak^-1(-x) = -tan^-1X
• tak^-1(1/x) = dětská postýlka^-1x, když x> 0
• tak^-1x + tak^-1y = tak^-1[(x + y)/(1 – xy)], když xy <1
• tak^-1x – tak^-1y = tak^-1[(x – y)/(1 + xy)], když xy> -1
• tak^-1x + dětská postýlka^-1x = π/2
• tak^-1(tan x) = x [když x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2), kde n ∈ Z}]
• tak^-1(tan x) = x [když x NENÍ lichý násobek π/2. jinak opálení^-1(tan x) není definováno.]
• 2 tak^-1x = hřích^-1(2x / (1+x²)), když |x| ≤ 1
• 2 tak^-1x = cos^-1((1x²) / (1+x²)), když x ≥ 0
• 2 tak^-1x = tan-1(2x / (1-x²)), když -1

Arctanský stůl

Jakýkoli úhel, který je vyjádřen ve stupních, lze také převést na radiány. Abychom tak učinili, vynásobíme hodnotu stupně faktorem π/180°. Kromě toho funkce arctan bere jako vstup reálné číslo a vydává odpovídající jedinečnou hodnotu úhlu. Níže uvedená tabulka uvádí hodnoty arctanových úhlů pro některá reálná čísla. Ty lze také použít při vykreslování arctanového grafu.

Jak jsme studovali výše, hodnotu arctanu lze odvodit ve stupních nebo radiánech. Níže uvedená tabulka tedy ilustruje odhadované hodnoty arctanu.

Arctanský graf

Grafem Arctanské funkce je nekonečný graf. Definičním oborem arktanu je R (reálná čísla) a obor arktanové funkce je (-π/2, π/2). Graf funkce Arctan je popsán níže na obrázku níže:

Graf je vytvořen pomocí hodnoty známých bodů pro funkci y = tan^-1(X)

• x = ∞ ⇒ y = π/2
• x = √3 ⇒ y = π/3
• x = 1/√3 ⇒ y = π/6
• x = 0 ⇒ y = 0
• x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
• x = -√3 ⇒ y = -π/3
• x = -∞ ⇒ y = -π/2

Arctan x Derivát

Derivát arctanu je velmi důležitý pro studium matematiky. Derivace arctanové funkce se vypočítá pomocí následujícího konceptu:

y = arctan x (let)…(1)

Opálení z obou stran

tan y = tan (arctan x) [víme, že tan (arctan x) = x]

tan y = x

Rozlišení obou stran (pomocí řetězového pravidla)

sek²y × dy/dx = 1

dy/dx = 1/sec²a

dy/dx = 1 / (1 + tan²y) {použití, odd²y = 1 + tan²a}

d / dx (arktan x) = 1 / (1 + x ² )

Arktan Integral

Integrál arctanu je definován jako primitivní funkce inverzní tangens. Integrace Arctan x je odvozena pomocí konceptu uvedeného níže,

Vezměme f(x) = tan^-1x a g(x) = 1

Víme, že ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx

vložením hodnoty f(x) a g(x) do výše uvedené rovnice dostaneme,

∫tan ^-1 x dx = x tan ^-1 x – ½ ln |1+x ² | + C

kde C je konstantou integrace

Arktan 0

Arctan 0 je 0. Můžeme také říci, že tan^-1(x) = 0. Tedy Arctan(0) = 0

Arktan 2

Arctan 2 je 63,435. Můžeme to také říci, tan^-1(2) = 63,435. Tedy Arctan(2) = 63,435.

Arktanské nekonečno

Arktánské nekonečno se udává jako lim_x→∞tak^-1x = π/2.

Také zkontrolujte

• Trigonometrický stůl
• Trigonometrické poměry
• Trigonometrické identity

Arktánské příklady

Příklad 1: Zhodnoťte se ^-1 (1).

středové tlačítko css

Řešení:

tak^-1(1)

Hodnota 1 může být také zapsána jako,

1 = opálení (45°)

Nyní,

tak^-1(1) = tak^-1(tan 45°) = 45°

Příklad 2: Zhodnoťte se ^-1 (1,732).

Řešení:

tak^-1(1732)

Hodnota 1,732 může být také zapsána jako

1,732 = tan (60°)

Nyní,

tak^-1(1,732) = tak^-1(tan 60°) = 60°

Příklad 3: Řešte tak ^-1 x + tak ^-1 1/x

Řešení:

• To víme, tan^-1x + tak^-1y = tak^-1[(x + y)/(1 – xy)]

= tak^-1x + tak^-11/x

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – 1)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(0)]

= tak^-1[∞]

= π/2

Příklad 4: Najděte derivaci tan ^-1 √x

Řešení:

Víme to, d/dx (tan^-1x) = 1 / (1 + x²)

⇒ d/dx (tak^-1√x)

Použitím Řetězové pravidlo

= 1 / (1 + [√x]²)

= 1 / (1+x) × d/dx(1/√x)

= 1/(1+x) × 1/2√x

= √x/{2x(x+1)}

Tedy derivát d/dx (tan^-1√x) je √x/{2x(x+1)}

Otázky z praxe v Arktanu

Q1. Najděte derivát tan ^-1 (2x ² + 3)

Q2. Najděte integrál opálení ^-1 √x

Q3. Tak se ohodnoťte ^-1 (10)

Q4. Vyřešit tak ^-1 (x) + tan ^-1 (X ² )

Arctan-FAQs

1. Co je Arktan?

Inverzní funkce tangens se nazývá arktan. Označuje se jako arctan x nebo tan^-1X. Vzorec používaný k určení hodnoty arctanu je θ = tan ^-1 (X)

2. Najděte derivát Arktanu.

Derivát arctanu je, d/dx (arktan x) = 1 / (1 + x ² )

3. Je funkce Arctan inverzní funkce Tan?

Ano, funkce arctan je inverzní funkce tan. Jestliže, tan x = y než x = tan^-1a

4. Je Arctan podobný jako Cot?

Ne, arctan není podobný dětské postýlce. Postýlka je oboustranná s funkcí opálení. tj. tan x = 1/cot x, zatímco Arctan je inverzní funkce tan arctan x = tan^-1X

5. Co je Arctan of Infinity?

Jak již víme, že hodnota tan (π/2) = ∞. Arctan je tedy inverzní funkcí k tan, můžeme tedy říci, že arctan(∞) = π/2.

6. Je Arctan a tan^-1stejný?

Ano, Arctan a opálení^-1je stejné jako, Arctan je jiný název pro tan^-1(X)

7. Proč je Arctan (1) pi vyšší než 4?

Hodnota hříchu^-1(π/4) je 1/√2 a hodnota cos^-1(π/4) je 1/√2 a my to víme, tan^-1(π/4) je hřích-¹(π/4)/cos^-1(π/4) a hodnota arcsin a arccos je rovna, pak hodnota arctanu (1) je π/4.