Tětiva kružnice je čára, která spojuje libovolné dva body na obvodu kružnice. Kruh může mít různé tětivy a největší tětiva kruhu je průměr kruhu. Délku akordu můžeme snadno vypočítat pomocí vzorce Chord Length. Jak název napovídá, jedná se o vzorec pro výpočet délky tětivy v kruhu v Geometry.

V tomto článku se seznámíme s definicí tětivy, větami o tětivách a kružnici, vysvětlíme její vlastnosti a vzorce pro výpočet délky tětivy pomocí různých metod. Článek má také některé vyřešené vzorové problémy pro lepší pochopení.

Obsah

chyba: nelze najít nebo načíst hlavní třídu

• Definice kruhu
• Definice akordu kruhu
• Co je vzorec délky akordu?
• Věty o akordu kruhu
• Vlastnosti akordů kruhu
• Vyřešené problémy
• Nejčastější dotazy

Definice kruhu

Kruh je dokonalý kulatý tvar sestávající ze všech bodů v rovině, které jsou umístěny v dané vzdálenosti od daného bodu. Skládají se z uzavřené zakřivené linie kolem centrálního bodu. Body přítomné na čáře jsou ve stejné vzdálenosti od středového bodu. Vzdálenost ke středu kruhu se nazývá poloměr.

Definice akordu kruhu

Úsečka, která spojuje libovolné dva body na obvodu kružnice, se nazývá tětiva kružnice. Protože průměr také spojuje dva body na obvodu kruhu, je to také tětiva kruhu. Ve skutečnosti je průměr nejdelší tětivou kruhu. Jinými slovy, tětiva je úsečka, jejíž oba konce leží na obvodu kruhu. Následující ilustrace nám může pomoci lépe porozumět.

Co je vzorec délky akordu?

Pro výpočet délky tětivy existují dvě základní metody nebo vzorce. délku tětivy lze určit pomocí kolmé vzdálenosti od středu kružnice a také trigonometrickou metodou. Tak lze zjistit délku akordu

• Použití Pythagorovy věty
• Použití kosinového zákona

Pojďme si tyto metody podrobně porozumět následovně:

Metoda 1: Použití Pythagorovy věty

V následujícím diagramu pro tětivu, jak víme, kolmice vedená ze středu kruhu k tětivě jej půlí na dvě poloviny.

V trojúhelnících OAM, pomocí Pythagorova věta ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Protože x je polovina délky tětivy,

Délka tětivy pro jakýkoli kruh s jeho kolmou vzdáleností od středu je tedy dána jako

Délka akordu kruhu = 2 ×[√(r ² – d ² )]

Kde,

• r je poloměr kruhu a
• d je kolmá vzdálenost mezi středem kruhu a tětivou.

Metoda 2: Použití zákona kosinus

Jak víme pro trojúhelník ABC, se stranami a, b a c, the Zákon kosinusu státy,

C ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Pomocí tohoto zákona v následujícím diagramu tětivy svírajícího úhel θ ve středu kružnice můžeme zjistit délku tětivy.

V trojúhelníku OAB pomocí kosinového zákona

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Délka akordu je tedy dána:

Délka akordu = 2r × sin [θ/2]

Kde,

• i je úhel sevřený tětivou ve středu a
• r je poloměr kruhu.

Další související vzorec pro délku akordu

Když dva kruhy sdílejí společnou tětivu, lze délku této společné tětivy vypočítat pomocí vzorce

Délka společné akordy dvou kruhů = 2R ₁ × R ₂ / D

Kde,

• R ₁ a R ₂ odkazuje na poloměr kružnic
• D je vzdálenost mezi dvěma středy kruhu

Věty o akordu kruhu

Tětiva kruhu svírá úhel ve středu kruhu, což nám pomáhá dokázat různé pojmy v kruhu. Existují různé věty založené na tětivě kruhu,

• Věta 1: Rovné akordy Věta o stejných úhlech
• Věta 2: Věta o stejných úhlech Věta o stejných akordech (převrácení věty 1)
• Věta 3: Rovné akordy stejně vzdálené od středové věty

Nyní totéž probereme v článku níže.

Věta 1: Rovné akordy Věta o stejných úhlech

prohlášení: Stejné tětivy překrývají stejné úhly ve středu kruhu, tj. úhel přetažený tětivou je stejný, pokud je tětiva stejná.

Důkaz:

Z obrázku,

V ∆AOB a ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (dáno)
• OA = OD …eq(ii) (poloměr kruhu)
• OB = OC …eq(iii) (poloměr kruhu)

Za podmínek kongruence SSS jsou tedy trojúhelník ∆AOB a ∆COD shodné.

Tím pádem,

∠AOB = ∠DOC (podle CPCT)

Tím je věta ověřena.

Věta 2: Věta o stejných úhlech Věta o stejných akordech (převrácení věty 1)

Prohlášení: Tětivy svírající stejné úhly ve středu kruhu mají stejnou délku. Toto je opak první věty.

Z obrázku,

V ∆AOB a ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (dáno)
• OA = OD …eq(ii) (poloměr kruhu)
• OB = OC …eq(iii) (poloměr kruhu)

V podmínkách kongruence SAS jsou tedy trojúhelník ∆AOB a ∆COD shodné.

Tím pádem,

AB = CD (podle CPCT)

Tím je věta ověřena.

Věta 3: Stejné akordy stejně vzdálené od středové věty

Prohlášení: Rovnocenné tětivy jsou stejně vzdálené od středu, tj. vzdálenost mezi středem kruhu a stejnou tětivou je vždy stejná.

huffmanův kódovací kód

Z obrázku,

V ∆AOL a ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 stupňů)
• OA = OC …eq(ii) (poloměr kruhu)
• OL = OM …eq(iii) (dáno)

Tedy za podmínek RHS kongruence jsou trojúhelníky ∆AOB a ∆COD shodné.

Tím pádem,

AL = CM (podle CPCT)…(iv)

Nyní víme, že kolmice vedená ze středu půlí tětivy.

Z rov.(iv)

2AL=2CM

AB = CD

Tím je věta ověřena.

Vlastnosti akordů kruhu

Existují různé vlastnosti akordů v kruhu, některé z těchto vlastností jsou následující:

• Tětiva, která prochází středem kruhu, se nazývá průměr a je nejdelší tětivou v kruhu.
• Kolmice k tětivě, která je vedena ze středu kružnice, půlí tětivu.
• Akordy, které jsou stejně vzdálené od středu kruhu, jsou stejně dlouhé.
• Existuje pouze jedna kružnice, která prochází třemi kolineárními body.
• Tětivy, které jsou stejně dlouhé, svírají ve středu kruhu stejné úhly.
• Středem kružnice prochází odvěsna tětivy.
• Pokud je poloměr kolmý k tětivě, pak půlí tětivu a oblouk, který protíná. Toto je známé jako věta o kolmé ose.
• Když jsou úhly sevřené tětivou stejné, pak jsou stejné i délky tětiv.
• Pokud se dva akordy v kruhu protínají, pak se součin segmentů jednoho akordu rovná součinu segmentů druhého akordu. Toto je známé jako teorém protínajících se akordů.
• Úhel sevřený tětivou ve středu je dvojnásobkem úhlu, který svírá tětiva na obvodu.

Přečtěte si více,

• Rovnice kruhu
• Oblast kruhu
• Obvod kruhu

Vyřešené úlohy na Chord of a Circle

Úloha 1: Kruh je úhel 70 stupňů, jehož poloměr je 5 cm. Vypočítejte délku tětivy kružnice.

Řešení:

Dáno

• Rádius = 5 cm
• Úhel = 70°

Nyní,

délka tětivy = 2R × Sin [úhel/2]

= 2 × 5 × hřích [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 x 0,5736

= 5,73 cm

Problém 2: V kruhu , poloměr je 7 cm a kolmá vzdálenost od středu kruhu k jeho tětivám je 6 cm. Vypočítejte délku tětivy.

Řešení:

Dáno

• Rádius = 7 cm
• Vzdálenost = 6 cm

Nyní,

Délka tětivy = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2 √13 cm

Úloha 3: Kruh je úhel 60 stupňů, jehož poloměr je 12 cm. Vypočítejte délku tětivy kružnice.

Řešení:

Dáno

• Rádius = 12 cm
• Úhel = 60°

Nyní,

délka tětivy = 2R × Sin [úhel/2]

⇒ 2 × 12 × hřích [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Úloha 4: V kruhu je poloměr 16 cm a kolmá vzdálenost od středu kruhu k jeho tětivám je 5 cm. Vypočítejte délku tětivy.

Řešení:

Dáno

• Rádius = 16 cm
• Vzdálenost = 5 cm

Nyní,

Délka akordu = 2 √r²– d²

⇒ 2 √ (16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256-25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Úloha 6: Vypočítejte délku společné tětivy mezi kružnicemi o poloměru 6 cm a 5 cm. A vzdálenost mezi dvěma středy byla naměřena na 8 cm.

Řešení:

Dáno

Vzdálenost mezi dvěma středy = 8 cm

Poloměr dvou kružnic je R₁a R₂o délce 6 cm a 5 cm

Nyní,

Délka společné tětivy dvou kruhů = (2R₁× R₂) / Vzdálenost mezi dvěma středy kružnic

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Časté otázky o Chord of a Circle

Definujte akord.

Úsečka spojující dva body na obvodu kruhu je známá jako Chord.

Co je vzorec délky akordu?

Vzorec délky tětivy vypočítává délku tětivy v kruhu.

Může být délka akordu větší než průměr kruhu?

Ne, délka tětivy nemůže být větší než průměr, protože průměr je nejdelší tětiva kruhu.

Jak je ovlivněna délka akordu, pokud je blíže středu kruhu?

Když se tětiva blíží ke středu kruhu, jeho délka se blíží maximální délce, tj. průměru.

Jak je ovlivněna délka akordu, pokud je blíže okraji kruhu?

Jak se tětiva přibližuje k okraji kruhu, její délka se blíží 0. Délka tětivy a její vzdálenost od hrany mají tedy nepřímý vztah.

Jaký je vztah mezi délkou akordu a centrálním úhlem kruhu?

Vztah mezi délkou e tětivy a středovým úhlem kruhu je následující:

Délka akordu = 2r × sin [θ/2]

Kde,

• i je úhel sevřený tětivou ve středu a
• r je poloměr kruhu.

Lze vzorec délky akordu použít pro jakýkoli kruh?

Ano, vzorec délky tětivy lze použít pro jakýkoli kruh, pokud je znám poloměr a středový úhel.

Je průměr tětivou kruhu?

Ano, průměr je tětiva kruhu. Je to nejdelší možná tětiva kruhu. Je roven dvojnásobku poloměru kružnice.

D = 2r

rychlé řazení

Kde,

• D je Průměr kruhu
• r je poloměr kruhu