V geometrii je úhel základním měřením geometrického tvaru. Úhel je definován jako stupeň rotace kolem průsečíku dvou čar nebo rovin, které jsou nutné k tomu, aby jedna byla v souladu s druhou. Existují různé druhy úhlů, založené na měření úhlu. Měří se ve stupních nebo radiánech. Úhel je tvar tvořený dvěma přímkami nebo paprsky, které se rozbíhají od společného bodu zvaného vrchol. Když se protnou dva paprsky, tj. když se polopřímky promítnou se společným koncovým bodem, vytvoří se úhel. Nyní se společné koncové body nazývají vrcholy, zatímco paprsky jsou známé jako ramena.

Typy úhlů

1. Ostrý úhel: Ostrý úhel je úhel, který je větší než 0 stupňů a menší než 90 stupňů, tj. je v rozsahu od 0° do 90° (oba s výjimkou).
2. Pravý úhel: Pravý úhel je označován jako úhel, který měří přesně 90 stupňů.
3. Tupý úhel: Tupý úhel je úhel, který je větší než 90 stupňů a menší než 180 stupňů, tj. má rozsah od 90° do 180° (oba s výjimkou).
4. Rovný úhel: Přímý úhel je označován jako úhel, který měří přesně 180 stupňů.
5. Úhel odrazu: Úhel odrazu je úhel, který je větší než 180 stupňů a menší než 360 stupňů, tj. pohybuje se od 180° do 360° (oba s výjimkou).
6. Úplný úhel nebo úplná rotace: Úplný úhel se označuje jako úhel, který měří přesně 360 stupňů.

Existují také další typy úhlů, jako jsou doplňkové úhly, doplňkové úhly a sousední a nesousedící úhly.

• Doplňkové úhly: Říká se, že dva úhly jsou komplementární, pokud je jejich součet pravý úhel, tj. 90°.
• Doplňkové úhly: Dva úhly jsou považovány za doplňkové, pokud je jejich součet roven 180°.
• Přilehlé úhly: Říká se, že dva úhly sousedí, pokud sdílejí společný vrchol a společné rameno.
• Nesousedící úhly: Dva úhly jsou považovány za nesousedící, pokud nesdílejí společný vrchol a společné rameno.

Vzorec pro hledání úhlů

Existují různé typy vzorců pro nalezení úhlu; některé z nich jsou vzorec centrálního úhlu, vzorec dvojitého úhlu, vzorec polovičního úhlu, vzorec složeného úhlu, vzorec vnitřního úhlu atd.

• K určení úhlu segmentu vytvořeného v kruhu používáme vzorec centrálního úhlu.
• K určení chybějícího úhlu v mnohoúhelníku použijeme součet vzorce vnitřních úhlů.
• K nalezení chybějícího úhlu pravoúhlého trojúhelníku používáme trigonometrické poměry.
• K nalezení chybějícího úhlu nepravoúhlého trojúhelníku používáme zákon sinů nebo zákon kosinus.

Vzorové otázky

Otázka 1: Najděte úhel ve vrcholu B daného trojúhelníku pomocí některého z goniometrických vzorců pro hledání úhlů.

Řešení:

vzhledem k tomu,

BC = 3 jednotky = přilehlá strana θ.

AC = 4 jednotky = Opačná strana θ.

V tomto případě známe jak opačné, tak sousední strany θ. Můžeme tedy použít vzorec tečny k nalezení θ.

⇒ tan θ = protilehlá strana/přilehlá strana

⇒ tan θ = 4/3

⇒ θ = tan^-1(4/3) ⇒ 6 = 53,1°

Úhel ve vrcholu B je tedy 53,1°.

Otázka 2: Najděte úhly ve vrcholech X a Y, jestliže ∠Z = 35° a x = 3 palce, y = 8 palců az = 3,5 palce.

Řešení:

vzhledem k tomu,

∠Z = 35° a x = 6 palců, y = 3 palce a z = 3,5 palce

Protože známe všechny tři strany a úhel, můžeme použít vzorec sinusového pravidla.

Ze vzorce sinusového pravidla máme

x/sin X = y/sin Y = z/sin Z

Nyní,

y/sin Y = z/sin Z

⇒ 3/sin Y = 3,5/sin 35°

⇒ 3/bez Y = 3,5/0,574 {Sin 35° = 0,574}

⇒ sin Y = 3 × (0,574/3,5) = 0,492

⇒ ∠Y = hřích⁻¹(0,492) = 29,47°

Víme, že součet tří úhlů v trojúhelníku je 180°.

⇒ ∠X + ∠Y + ∠Z = 180°

⇒ ∠X + 29,47° + 35° = 180°

⇒ ∠X = 180° – 64,47° = 115,53°

Tedy ∠X = 115,53° a ∠Y = 29,47°.

kde je vložit klíč na klávesnici notebooku

Otázka 3: Vypočítejte pátý vnitřní úhel pětiúhelníku, jestliže čtyři z jeho vnitřních úhlů jsou 110°, 85°, 136° a 105°.

Řešení:

Počet stran pětiúhelníku (n) = 5.

Nyní součet všech 5 vnitřních úhlů pětiúhelníku = 180 (n -2)°

= 180 (5 – 2)° = 540°.

Součet daných 4 vnitřních úhlů = 110°+ 85°+ 136°+ a 105°= 436°.

Takže pátý vnitřní úhel = 540° – 436° = 104°

Pátý vnitřní úhel pětiúhelníku je tedy 104°.

Otázka 4: Určete hodnotu y a také míru úhlů na daném obrázku.

Řešení:

Z uvedeného obrázku můžeme pozorovat, že (4y – 6)° a (3y + 5)° jsou komplementární úhly, tj. součet (4y – 6)° a (3y + 5)° je 90 °.

⇒ (4y – 6)° + (3y + 5)° = 90°

⇒ (7y – 1)° = 90°

⇒ 7y = 90° + 1° = 91°

⇒ y = 91°/7 = 13°

Nyní, (4y – 6)° = (4 × 13 – 6)° = (52 – 6)° = 46°

(3y + 5)° = (3 × 13 + 5)° = (39 + 5)° = 44°

Otázka 5: Najděte úhel ve vrcholu Q v daném trojúhelníku pomocí některého ze vzorců pro hledání úhlů.

Řešení:

Dáno, p = QR = 6 cm, q = PR = 9 cm a r = PQ = 7 cm.

Protože známe všechny tři strany a úhel, můžeme použít vzorec kosinusového pravidla k nalezení vrcholu úhlu Q.

⇒ q²= p²+ r²– 2pr cos Q

⇒ 9²= 6²+ 7²– 2 (6) (7) cos Q

⇒ 81 = 36 + 49 – 84 cos Q

⇒ 81 = 85 – 84cos Q

⇒84 cos Q = 81 – 85

⇒ 84 cos Q = -4

⇒ cos Q = -4/84 = -1/21

⇒ ∠Q = cos^-1(-1/21) = 92,72°

Proto úhel ve vrcholu Q, ∠Q = 92,72°.

Otázka 6: Vypočítejte úhel úsečky vytvořené v kružnici, je-li délka oblouku 12π a poloměr 9 cm.

Řešení:

vzhledem k tomu,

Délka oblouku = 12π

Poloměr (r) = 9 cm

Nyní je vzorec úhlu:

⇒ θ = (s×360°)/2pr

⇒ θ = (12π × 360°)/(2π × 5)

⇒ 6 =12 x 360°/10

⇒ 6 = 240°

Úhel je tedy 240°.