Vektorová projekce je stín vektoru nad jiným vektorem. Vektor promítání se získá vynásobením vektoru Cos úhlu mezi dvěma vektory. Vektor má jak velikost, tak směr. Říká se, že dva vektory jsou stejné, pokud mají stejnou velikost a směr. Vektorové promítání je zásadní při řešení numerických metod ve fyzice a matematice.

V tomto článku se podrobně seznámíme s tím, co je vektorová projekce, příkladem vzorce vektorové projekce, vzorcem vektorové projekce, odvozením vzorce vektorového promítání, lineární algebrou vzorce vektorového promítání, vzorcem vektorového promítání 3d a některými dalšími souvisejícími pojmy.

Obsah

• Co je vektorová projekce?
• Vzorec vektorové projekce
• Odvození vzorce vektorové projekce
• Příklady vzorců vektorové projekce
• Praktické aplikace a význam vektorové projekce
• Příklady řešení problémů z reálného světa vektorové projekce

Co je vektorová projekce?

Vektorová projekce je metoda otáčení vektoru a jeho umístění na druhý vektor. Vektor se tedy získá, když je vektor rozdělen na dvě složky, rovnoběžnou a kolmou. Paralelní vektor se nazývá projekční vektor. Vektorová projekce je tedy délka stínu vektoru nad jiným vektorem.

Vektorová projekce vektoru se získá vynásobením vektoru Cos úhlu mezi dvěma vektory. Řekněme, že máme dva vektory ‚a‘ a ‚b‘ a musíme najít projekci vektoru a na vektor b, potom vektor ‚a‘ vynásobíme cosθ, kde θ je úhel mezi vektorem a a vektorem b.

Vzorec vektorové projekce

Livec Aje reprezentován jako A avec Bje reprezentován jako B, vektorová projekce A na B je dána jako součin A s Cos θ, kde θ je úhel mezi A a B. Druhý vzorec pro vektorové promítání A na B je dán jako součin A a B děleno velikostí B. Takto získaný projekční vektor je skalárním násobkem A a má směr ve směru B.

Odvození vzorce vektorové projekce

Odvození vzorce vektorové projekce je diskutováno níže:

Předpokládejme, OP =vec Aa OQ =vec Ba úhel mezi OP a OQ je θ. Nakreslený PN kolmo k OQ.

V pravoúhlém trojúhelníku OPN je Cos θ = ON/OP

⇒ ON = ON Cos θ

⇒ ON = |vec A| Cos θ

ON je projekční vektorvec Anavec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

graf alokace zdrojů

⇒ ON =frac{vec A.vec B}

Proto ON =|vec A|.hat B

Tedy vektorová projekcevec Anavec Bje dáno jakofrac{vec A.vec B}

vektorová projekcevec Bnavec Aje dáno jakofrac{vec A.vec B}

Zkontrolujte také: Typy vektorů

Vektorové promítání Důležité pojmy

Abychom našli vektorovou projekci, musíme se naučit najít úhel mezi dvěma vektory a také vypočítat bodový součin mezi dvěma vektory.

Úhel mezi dvěma vektory

Úhel mezi dvěma vektory je dán jako převrácená hodnota kosinusu bodového součinu dvou vektorů dělená součinem velikosti dvou vektorů.

Řekněme, že máme dva vektoryvec Aavec Búhel mezi nimi je θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

imessage hry s androidem

Bodový součin dvou vektorů

Řekněme, že máme dva vektoryvec Aavec Bdefinováno jakovec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kavec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k pak tečkový součin mezi nimi je uveden jako

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Související článek:

• Vektorové sčítání
• Vektor jednotky
• Vektorová algebra
• Lineární algebra

Příklady vzorců vektorové projekce

Příklad 1. Najděte projekci vektoru 4hat i + 2hat j + hat k na 5hat i -3hat j + 3hat k .

Řešení:

Tady,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Víme, projekce vektoru a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Příklad 2. Najděte projekci vektoru 5hat i + 4hat j + hat k na 3hat i + 5hat j – 2hat k

parciální deriváty v latexu

Řešení:

Tady,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Víme, projekce vektoru a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Příklad 3. Najděte projekci vektoru 5hat i – 4hat j + hat k na 3hat i – 2hat j + 4hat k

Řešení:

Tady,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Víme, projekce vektoru a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Příklad 4. Najděte projekci vektoru 2hat i – 6hat j + hat k na 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Řešení:

Tady,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Víme, projekce vektoru a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Příklad 5. Najděte projekci vektoru 2hat i – hat j + 5hat k na 4hat i – hat j + hat k .

Řešení:

Tady,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Víme, projekce vektoru a na vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Šek: Vektorové operace

Praktické aplikace a význam vektorové projekce

Fyzika

• Silový rozklad : Ve fyzice je vzorec vektorového promítání rozhodující pro rozklad sil na složky rovnoběžné a kolmé k povrchům. Například pochopení síly vyvíjené lanem ve hře přetahování lanem vyžaduje promítnutí vektoru síly na směr lana.

• Výpočet práce : Práce vykonaná silou při přemístění se vypočítá pomocí vektorové projekce. Práce je tečkovým součinem vektoru síly a vektoru posunutí, v podstatě promítá jeden vektor na druhý, aby se našla složka síly ve směru posunutí.

Inženýrství

• Strukturální analýza : Inženýři používají vektorovou projekci k analýze napětí na součástech. Promítáním silových vektorů na konstrukční osy mohou určit složky napětí v různých směrech, což pomáhá při navrhování bezpečnějších a efektivnějších konstrukcí.

• Dynamika tekutin : V dynamice tekutin pomáhá vektorová projekce při analýze proudění tekutin kolem objektů. Promítáním vektorů rychlosti kapaliny na povrchy mohou inženýři studovat vzorce proudění a síly, které jsou klíčové pro aerodynamický design a hydraulické inženýrství.

Počítačová grafika

• Vykreslovací techniky : Vektorová projekce je v počítačové grafice zásadní pro vykreslování stínů a odrazů. Promítáním světelných vektorů na povrchy grafický software vypočítává úhly a intenzitu stínů a odrazů, čímž zvyšuje realističnost 3D modelů.

• Animace a vývoj her : V animaci se vektorová projekce používá k simulaci pohybů a interakcí. Například určení, jak se postava pohybuje po nerovném terénu, zahrnuje promítání pohybových vektorů na povrch terénu, což umožňuje realistické animace.

Šek: Základní vektory v lineární algebře

Příklady řešení problémů z reálného světa vektorové projekce

Příklad 1: GPS navigace

• Kontext : V navigačních systémech GPS se vektorová projekce používá k výpočtu nejkratší cesty mezi dvěma body na zemském povrchu.
• aplikace : Promítnutím vektoru posunutí mezi dvěma geografickými polohami na vektor zemského povrchu mohou algoritmy GPS přesně vypočítat vzdálenosti a směry a optimalizovat tak cestovní trasy.

Příklad 2: Sports Analytics

• Kontext : Ve sportovních analýzách, zejména ve fotbale nebo basketbalu, pomáhá vektorová projekce při analýze pohybů hráčů a trajektorií míče.
• aplikace : Projektováním pohybových vektorů hráčů na herní pole nebo kurt mohou analytici studovat vzorce, rychlosti a efektivitu pohybů, což přispívá ke strategickému plánování a zlepšování výkonu.

Příklad 3: Inženýrství obnovitelné energie

• Kontext : Při návrhu větrných turbín je pochopení složek síly větru zásadní pro optimalizaci výroby energie.
• aplikace : Inženýři promítají vektory rychlosti větru na rovinu lopatek turbíny. Tato analýza pomáhá určit optimální úhel a orientaci lopatek, aby se maximalizovalo zachycení větrné energie.

Příklad 4: Rozšířená realita (AR)

• Kontext : V aplikacích rozšířené reality se vektorová projekce používá k přesnému umístění virtuálních objektů do prostorů reálného světa.
• aplikace : Promítáním vektorů z virtuálních objektů do rovin reálného světa zachycených zařízeními AR mohou vývojáři zajistit, že virtuální objekty budou realisticky interagovat s prostředím, čímž se zlepší uživatelský zážitek.

Šek: Komponenty vektoru

Často kladené otázky o vektorové projekci

Definujte projekční vektor.

Projekční vektor je stínem vektoru na jiném vektoru.

Co je vzorec vektorové projekce?

Vzorec pro projekci vektoru je uveden jakofrac{vec A.vec B}

Jak najít projekční vektor?

Vektor projekce se najde výpočtem bodového součinu dvou vektorů děleného hodnotou, na kterou je vržen stín.

Jaké jsou pojmy potřebné pro výpočet projekčního vektoru?

K výpočtu vektorové projekce potřebujeme znát úhel mezi dvěma vektory a bodový součin dvou vektorů.

Kde se používá Projection Vector?

Projekční vektor se používá k řešení různých fyzikálních numerických řešení, která vyžadují rozdělení vektorové veličiny na její složky.

Jaký je význam vektorové projekce ve fyzice?

Ve fyzice je vektorové promítání klíčové pro rozklad sil, výpočet práce vykonané silou v určitém směru a analýzu pohybu. Pomáhá pochopit, jak různé složky vektoru přispívají k efektům v různých směrech.

Může být vektorová projekce negativní?

Ano, skalární složka vektorové projekce může být záporná, pokud je úhel mezi dvěma vektory větší než 90 stupňů, což znamená, že projekce jde v opačném směru než základní vektor.

kolik je 10 z 60

Jak se vektorová projekce používá ve strojírenství?

Inženýři používají vektorovou projekci k analýze strukturálních napětí, optimalizaci návrhů rozložením sil na zvládnutelné komponenty a v dynamice tekutin ke studiu vzorců proudění proti povrchům.

Jaký je rozdíl mezi skalární a vektorovou projekcí?

Skalární projekce udává velikost jednoho vektoru ve směru druhého a může být kladná nebo záporná. Na druhé straně vektorové promítání nezohledňuje pouze velikost, ale také udává směr promítání jako vektor.

Jaké jsou aplikace vektorové projekce ve skutečném světě?

Vektorové promítání má aplikace v GPS navigaci, sportovní analýze, počítačové grafice pro vykreslování stínů a odrazů a v rozšířené realitě pro umísťování virtuálních objektů do prostorů reálného světa.