LICHOBĚŽNÍKOVÉ PRAVIDLO: DEFINICE, VZOREC, PŘÍKLADY A ČASTO KLADENÉ OTÁZKY

Lichoběžníkové pravidlo je jedním ze základních pravidel integrace, které se používá k definování základní definice integrace. Je to široce používané pravidlo a lichoběžníkové pravidlo je tak pojmenováno, protože udává plochu pod křivkou rozdělením křivky na malé lichoběžníky namísto obdélníků.

Obecně najdeme plochu pod křivkou tak, že rozdělíme plochu na menší obdélníky a pak zjistíme součet všech obdélníků, ale v lichoběžníkovém pravidle se plocha pod křivkou rozdělí na lichoběžníky a pak se vypočítá jejich součet. Lichoběžníkové pravidlo se používá k nalezení hodnoty určitých integrálů v numerické analýze. Toto pravidlo se také nazývá lichoběžníkové pravidlo nebo lichoběžníkové pravidlo. Pojďme se v tomto článku dozvědět více o lichoběžníkovém pravidle, jeho vzorci a důkazu, příkladu a dalších podrobnostech.

Co je lichoběžníkové pravidlo?

Lichoběžníkové pravidlo je pravidlo, které se používá k nalezení hodnoty určitého integrálu tvaru^b∫_Af(x) dx. Víme, že hodnota určitého integrálu^b∫_Af(x) dx je plocha uzavřená pod křivkou y = f(x) a osou x v intervalu aab na ose x. Tuto plochu vypočítáme tak, že celou plochu rozdělíme na několik malých obdélníků a pak zjistíme jejich součet.

V lichoběžníkovém pravidle, jak název napovídá, je plocha pod křivkou rozdělena na několik lichoběžníků a jejich součtem se pak získá plocha křivky. Lichoběžníkové pravidlo neposkytuje nejlepší aproximaci oblasti pod křivkou než Simpsonovo pravidlo, ale přesto je jeho výsledek dostatečně přesný a toto pravidlo je široce používaným pravidlem v kalkulu.

Vzorec lichoběžníkového pravidla

Vzorec lichoběžníkového pravidla je vzorec, který se používá k nalezení oblasti pod křivkou. Nyní k nalezení oblasti pod křivkou pomocí lichoběžníkového pravidla,

Nechť y = f(x) je spojitá křivka definovaná na uzavřeném intervalu [a, b]. Nyní rozdělíme uzavřený interval [a, b] na n stejných podintervalů, z nichž každý má šířku,

Δx = (b – a)/n

Takové,

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_n= b

Nyní pomocí vzorce lichoběžníkového pravidla můžeme najít oblast pod křivkou jako,

∫^b_Af(x) dx = Plocha pod křivkou = (Δx/2) [y₀+ 2 (a₁+ a₂+ a₃+ ….. + a_n-1) + y_n]

kde, y₀, a₁, a₂,…. a_njsou hodnoty funkce v x = 1, 2, 3, ….., n v tomto pořadí.

Odvození vzorce lichoběžníkového pravidla

Vzorec lichoběžníkového pravidla pro výpočet plochy pod křivkou je odvozen rozdělením plochy pod křivkou do několika lichoběžníků a následným zjištěním jejich součtu.

Prohlášení:

Nechť f(x) je spojitá funkce definovaná na intervalu (a, b). Nyní rozdělíme intervaly (a, b) na n stejných podintervalů, kde šířka každého intervalu je,

Δx = (b – a)/n

tak, že a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_n= b

Pak vzorec lichoběžníkového pravidla je,

∫^b_Af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_n)]

kde, x_i= a + i△x

Jestliže n → ∞, R.H.S výrazu dává určitý integrál $int_{a}^{b}f(x) dx$

Důkaz:

Tento vzorec je dokázán rozdělením plochy pod danou křivkou, jak je znázorněno na obrázku výše, na různé lichoběžníky. První lichoběžník má výšku Δx a délka rovnoběžných základen je f(x₀) a f(x₁)

Plocha prvního lichoběžníku = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Podobně plocha zbývajících lichoběžníků je (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], a tak dále.

herec ekta kapoor

Nyní můžeme říci,

∫^b_Af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁)) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂)) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_n))

Po zjednodušení dostaneme,

∫^b_Af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_n))

Tím je dokázáno lichoběžníkové pravidlo.

Jak aplikovat lichoběžníkové pravidlo?

Lichoběžníkové pravidlo najde plochu pod křivkou tak, že plochu pod křivkou rozdělí na různé lichoběžníky a poté najde součet všech lichoběžníků. Lichoběžníkové pravidlo není dokonalou aproximací hodnoty určitého integrálu, protože používá kvadratickou aproximaci.

Musíme najít hodnotu určitého integrálu ∫^b_Af(x) dx. Hodnotu určitého integrálu lze vypočítat pomocí lichoběžníkového pravidla podle následujících kroků:

Krok 1: Označte hodnotu dílčích intervalů n a intervalů a a b.

Krok 2: Najděte šířku dílčího intervalu (△x) pomocí vzorce △x = (b – a)/n

Krok 3: Vložte všechny hodnoty do vzorce lichoběžníkového pravidla a najděte přibližnou plochu dané křivky, která představuje určitý integrál ∫^b_Af(x) dx

∫ ^b _A f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

kde, X _i = a + i△x

Sumační notace lichoběžníkového pravidla

Víme, že plocha lichoběžníku je v podstatě průměr délek rovnoběžných stran vynásobený výškou. Takže v tomto případě zvažte lichoběžník pro i^čtinterval,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Protože celková plocha je součtem všech ploch,

A = A₁+ A₂+ ….+ A_n

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Toto se nazývá sigma notace nebo součtová notace lichoběžníkových součtů.

Riemann Sumy

Riemann shrnuje práci na myšlence ponořit oblast pod křivkou do různých pravoúhlých částí. S rostoucím počtem obdélníků se oblast stále více přibližuje k aktuální oblasti. Na obrázku níže je funkce f(x). Oblast pod touto funkcí je rozdělena do mnoha obdélníků. Celková plocha pod křivkou je součtem ploch všech obdélníků.

Všimněte si, že na obrázku výše se pravý konec obdélníků dotýká křivky. Tomu se říká pravo-Riemannovy součty.

V jiném případě, kdy se levý konec obdélníků dotýká křivky, jak je znázorněno na obrázku níže, se nazývají levé Riemannovy součty.

Řekněme, že Δx je šířka intervalu šířka n je počet intervalů, jak je uvedeno výše. Potom je plocha křivky reprezentovaná součtem dána vztahem,

$old{A = součet^{i = n}_{i = 1}A_{i} = součet^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Součty středního bodu

V Riemannových součtech se levý nebo pravý konec obdélníku dotýká křivky. V tomto případě se střední bod obdélníku dotýká křivky. Všechno ostatní je stejné jako Riemannovy součty. Obrázek níže ukazuje funkci f(x) a různé obdélníky v součtech středního bodu.

Řekněme A_ioznačuje oblast i^čtobdélník. Plocha tohoto obdélníku bude v tomto případě

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Nyní bude celková plocha v zápisu součtu dána,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

Přečtěte si více,

Integrační vzorce
Integrace po částech
Diferenciační a integrační vzorec

Řešený příklad na lichoběžníkovém pravidle

Příklad 1: Najděte oblast ohraničenou funkcí f(x) mezi x = 0 až x = 4 se 4 intervaly.

f(x) = 4

Řešení:

Zde a = 0, b = 4 a n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichoběžníkové pravidlo pro n = 4 je,
převod celého čísla na řetězec

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Dosazením hodnot v této rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

Příklad 2: Najděte oblast ohraničenou funkcí f(x) mezi x = 0 až x = 3 se 3 intervaly.

f(x) = x

Řešení:

Zde a = 0, b = 3 a n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichoběžníkové pravidlo pro n = 3 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Dosazením hodnot v této rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Šipka vpravo T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

Příklad 3: Najděte oblast ohraničenou funkcí f(x) mezi x = 0 až x = 2 se 2 intervaly.

f(x) = 2x

Řešení:

Zde a = 0, b = 2 a n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichoběžníkové pravidlo pro n = 2 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Dosazením hodnot v této rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

Příklad 4: Najděte oblast ohraničenou funkcí f(x) mezi x = 0 až x = 3 se 3 intervaly.

f(x) = x ²

Řešení:

Zde a = 0, b = 3 a n = 3.
matematika náhodná java

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichoběžníkové pravidlo pro n = 3 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Dosazením hodnot v této rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

Příklad 5: Najděte oblast ohraničenou funkcí f(x) mezi x = 0 až x = 4 se 4 intervaly.

f(x) = x ³ + 1

Řešení:

Zde a = 0, b = 4 a n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichoběžníkové pravidlo pro n = 4 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Dosazením hodnot v této rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Šipka doprava T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Šipka doprava T_n= 72$

Příklad 6: Najděte oblast ohraničenou funkcí f(x) mezi x = 0 až x = 4 se 4 intervaly.

f(x) = e ^X

Řešení:

Zde a = 0, b = 4 a n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichoběžníkové pravidlo pro n = 4 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Dosazením hodnot v této rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Šipka doprava T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Šipka doprava T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Aplikace lichoběžníkového pravidla

Numerická integrace:

Primární aplikace lichoběžníkového pravidla je v aproximaci určitých integrálů. Používá se, když je integrace funkce náročná a numerický přístup je schůdnější. Lichoběžníkové pravidlo je často součástí pokročilejších technik numerické integrace.

Fyzika a inženýrství:

Ve fyzice a inženýrství lze lichoběžníkové pravidlo použít k výpočtu veličin, jako je výchylka, rychlost a zrychlení. Například, když jsou experimentální data sbírána v diskrétních časových intervalech, lichoběžníkové pravidlo lze použít k odhadu plochy pod křivkou, což poskytuje aproximaci integrálu.

Ekonomika a finance:

Lichoběžníkové pravidlo lze použít ve finančním modelování k odhadu současné hodnoty budoucích peněžních toků. To je užitečné zejména při analýze diskontovaných peněžních toků (DCF), kde je cílem vypočítat čistou současnou hodnotu investice.

Statistika:

Ve statistice lze lichoběžníkové pravidlo použít k odhadu oblasti pod funkcemi hustoty pravděpodobnosti nebo funkcemi kumulativního rozdělení. To je užitečné zejména v případech, kdy je přesná forma distribuce neznámá nebo složitá.

Často kladené otázky o lichoběžníkovém pravidle

Q1: Co je lichoběžníkové pravidlo?

Odpovědět:

Lichoběžníkové pravidlo je pravidlo, které se používá k nalezení určitého integrálu, rozdělí plochu pod křivkou na několik lichoběžníků a pak se zjistí jejich jednotlivá plocha a následně se vypočítá součet, aby se získala hodnota určitého integrálu.

Q2: Jaký je vzorec lichoběžníkového pravidla?

Odpovědět:

Vzorec lichoběžníkového pravidla je,

∫ ^b _A f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

Q3: Proč se tomu říká vzorec lichoběžníkového pravidla?

Odpovědět:

Vzorec lichoběžníkového pravidla se nazývá lichoběžníkové pravidlo, protože rozděluje plochu pod křivkou na několik lichoběžníků a jejich plocha se pak vypočítá součtem lichoběžníků.

Q4: Jaký je rozdíl mezi lichoběžníkovým pravidlem a pravidlem Riemannových součtů?

Odpovědět:

Hlavní rozdíl mezi lichoběžníkovým pravidlem a pravidlem Riemannových součtů je v tom, že lichoběžníkové pravidlo rozděluje plochu pod křivkou jako lichoběžníky a poté najde plochu pomocí jejich součtu, zatímco Riemannovy součty rozdělují plochu pod křivkou jako lichoběžník a pak najde oblast tak, že vezme jejich součet.