Integrace podle dílů: Integrace podle částí je technika používaná v počtu k nalezení integrálu součinu dvou funkcí. Je to v podstatě obrácení produktového pravidla pro odlišení.

Integrace funkce není vždy snadná, někdy musíme integrovat funkci, která je násobkem dvou nebo více funkcí, v tomto případě, pokud máme najít integraci, musíme použít integraci podle konceptu části, která používá dva součiny dvou funkcí a nám říká, jak najít jejich integraci.

Nyní se pojďme dozvědět o Integrace po částech, její vzorec, odvození a další podrobně v tomto článku.

Co je integrace podle částí?

Integrace podle částí je technika používaná k nalezení integrace součinu dvou nebo více funkcí, kde integraci nelze provést pomocí běžných technik. Předpokládejme, že máme dvě funkce f(x) a g(x) a musíme najít integraci jejich součinu, tj. ∫ f(x).g(x) dx, kde není možné dále řešit součin tohoto součinu. f(x).g(x).

Této integrace je dosaženo pomocí vzorce:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kde f'(x) je první derivace f(x).

Tento vzorec se čte takto:

Integrace první funkce vynásobená druhou funkcí se rovná (první funkce) vynásobená (integrace druhé funkce) – integrace (diferenciace první funkce vynásobená integrací druhé funkce).

Z výše uvedeného vzorce můžeme snadno vypozorovat, že výběr první funkce a druhé funkce je pro úspěch tohoto vzorce velmi důležitý a jak zvolíme první funkci a druhou funkci, je diskutováno dále v tomto článku.

Co je částečná integrace?

Částečná integrace, známá také jako integrace po částech, je technika používaná v počtu k vyhodnocení integrálu součinu dvou funkcí. Vzorec pro částečnou integraci je dán takto:

∫ u dv = uv – ∫ v du

kde u a v jsou diferencovatelné funkce x. Tento vzorec nám umožňuje zjednodušit integrál součinu jeho rozdělením na dva jednodušší integrály. Cílem je vybrat u a dv tak, aby se nový integrál na pravé straně vyhodnotil snadněji než původní integrál na levé straně. Tato technika je zvláště užitečná při práci s produkty funkcí, které nemají jednoduché primitivní funkce.

Historie částečné integrace

Koncept integrace podle části poprvé navrhl slavný Brook Taylor ve své knize v roce 1715. Napsal, že můžeme najít integraci součinu dvou funkcí, jejichž derivační vzorce existují. Některé důležité funkce nemají integrační vzorce a jejich integrace se dosahuje pomocí integrace jejich částečným převzetím jako součinem dvou funkcí. Například ∫ln x dx nelze vypočítat pomocí běžných integračních technik. Můžeme to ale integrovat pomocí techniky Integrace podle části a vzít to jako součin dvou funkcí, tedy ∫1.ln x dx.

Integrace podle vzorce částí

Vzorec integrace podle částí je vzorec, který nám pomáhá dosáhnout integrace součinu dvou nebo více funkcí. Předpokládejme, že musíme integrovat součin dvou funkcí jako

∫u.v dx

kde u a v jsou funkce x, pak toho lze dosáhnout pomocí,

vlc media player ke stažení z youtube

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Pořadí výběru první funkce a druhé funkce je velmi důležité a koncept používaný ve většině případů k nalezení první funkce a druhé funkce je koncept ILATE.

Pomocí výše uvedeného vzorce a konceptu ILATE můžeme snadno najít integraci součinu dvou funkcí. Vzorec integrace podle části je zobrazen na obrázku níže,

Odvození vzorce integrace podle částí

Integrace podle částí Vzorec je odvozen pomocí pravidla součinu diferenciace. Předpokládejme, že máme dvě funkce v a v a x pak se derivát jejich produktu získá pomocí vzorce,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Nyní k odvození vzorce integrace podle částí pomocí pravidla součinu diferenciace.

Přeskupení podmínek

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrace obou stran vzhledem k x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

zjednodušení,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Tak je odvozen vzorec integrace podle částí.

Pravidlo ILATE

Pravidlo ILATE nám říká, jak zvolit první funkci a druhou funkci při řešení integrace součinu dvou funkcí. Předpokládejme, že máme dvě funkce x u a v a musíme najít integraci jejich součinu, pak zvolíme první funkci a pravidlo by ILATE.

Plná forma ILATE je popsána na obrázku níže,

ILATE Pravidlo částečné integrace

Pravidla ILATE nám dávají hierarchii převzetí první funkce, tedy pokud v daném součinu funkce je jedna funkce logaritmická funkce a další funkce je goniometrická funkce. Nyní vezmeme logaritmickou funkci jako první funkci, jak je výše v hierarchii pravidla ILATE podobně, podle toho zvolíme první a druhou funkci.

POZNÁMKA: Ne vždy je vhodné použít pravidlo ILATE, někdy se k nalezení první a druhé funkce používají i jiná pravidla.

Jak najít integraci podle části?

Integrace podle části se používá k nalezení integrace součinu dvou funkcí. Toho můžeme dosáhnout pomocí kroků uvedených níže,

Předpokládejme, že musíme zjednodušit ∫uv dx

Krok 1: Vyberte první a druhou funkci podle pravidla ILATE. Předpokládejme, že vezmeme u jako první funkci a v jako druhou funkci.

Krok 2: Diferencujte u(x) vzhledem k x, tj. Vyhodnoťte du/dx.

třídicí pole v Javě

Krok 3: Integrujte v(x) s ohledem na x, tj. Vyhodnoťte ∫v dx.

Použijte výsledky získané v kroku 1 a kroku 2 ve vzorci,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Krok 4: Zjednodušte výše uvedený vzorec, abyste získali požadovanou integraci.

Opakovaná integrace po částech

Opakovaná integrace po částech je rozšířením techniky integrace po částech v kalkulu. Používá se, když máte produkt funkcí, který vyžaduje vícenásobnou integraci k nalezení primitivního prvku. Tento proces zahrnuje opakované použití vzorce integrace podle částí, dokud nedosáhnete bodu, kdy lze výsledný integrál snadno vyhodnotit nebo má známý tvar.

Při opakovaném použití tohoto vzorce byste začali s integrálem, který zahrnuje součin dvou funkcí, a poté byste použili integraci po částech, abyste jej rozložili na jednodušší integrály. Poté byste pokračovali v tomto procesu na výsledných integrálech, dokud nedosáhnete bodu, kdy další aplikace nejsou nutné nebo kdy se integrály stanou zvládnutelnými.

Zde je krok za krokem příklad toho, jak funguje opakovaná integrace po částech:

1. Začněte s integrálem součinu dvou funkcí: ∫ u dv.
2. Použijte vzorec integrace podle částí, abyste získali: uv – ∫ v du.
3. Pokud nový integrál získaný na pravé straně stále obsahuje součin funkcí, použijte znovu integraci po částech, abyste jej dále rozčlenili.
4. Pokračujte v tomto procesu, dokud nezískáte jednodušší integrál, který lze snadno vyhodnotit, nebo takový, který odpovídá známému tvaru integrálu.

Tabulková integrace po částech

Tabulková integrace, známá také jako tabulková metoda nebo metoda tabulkové integrace, je alternativní technikou pro vyhodnocování integrálů, které zahrnují opakované použití integrace po částech. Tato metoda je užitečná zejména při práci s integrály, kde lze součin funkcí vícekrát integrovat, aby se dosáhlo jednoduchého výsledku.

Tabulková metoda organizuje proces opakované integrace po částech do tabulky, což usnadňuje sledování pojmů a efektivně zjednodušuje integraci. Jak funguje tabulková metoda:

1. Začněte tím, že zapíšete funkce zahrnuté v integrálu do dvou sloupců: jeden pro funkci k derivaci (u) a druhý pro funkci k integraci (dv).
   • Začněte funkcí pro integraci (dv) v levém sloupci a funkcí pro derivování (u) v pravém sloupci.
2. Pokračujte v derivování funkce ve sloupci u, dokud nedosáhnete nuly nebo konstanty. V každém kroku integrujte funkci do sloupce dv, dokud nedosáhnete bodu, kdy další integrace není nutná.
3. Vynásobte termíny diagonálně a střídejte znaménka (+ a -) pro každý termín. Sečtěte tyto produkty a najděte výsledek integrace.

Zde je příklad pro ilustraci metoda tabulkové integrace :

Vypočítejme integrál ∫x sin(x) dx.

• Krok 1: Vytvořte tabulku se dvěma sloupci pro u (funkce k diferenciaci) a dv (funkce k integraci):

• Krok 2: Diferencujte funkci ve sloupci u a integrujte funkci ve sloupci dv:

• Krok 3: Vynásobte pojmy diagonálně a střídejte znaménka:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Takže výsledek integrálu ∫x sin(x) dx je -x cos(x) + sin(x).

Metoda tabulkové integrace je zvláště užitečná při práci s integrály, které zahrnují funkce, které se opakují při derivaci nebo integraci, což umožňuje systematický a organizovaný přístup k nalezení primitivního prvku.

Aplikace integrace po částech

Integration by Parts má různé aplikace v integrálním počtu, používá se k nalezení integrace funkce tam, kde běžné integrační techniky selhávají. Snadno najdeme integraci inverzních a logaritmických funkcí pomocí konceptu integrace po částech.

Najdeme integraci logaritmické funkce a arktanové funkce pomocí integrace podle pravidla části,

Integrace logaritmické funkce (log x)

Integrace inverzní logaritmické funkce (log x) je dosažena pomocí vzorce Integrace podle části. Integrace je diskutována níže,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Vezmeme-li log x jako první funkci a 1 jako druhou funkci.

Použití ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Což je požadovaná integrace logaritmické funkce.

Integrace inverzní goniometrické funkce (tan^-1X)

Integrace inverzní goniometrické funkce (tan^-1x) je dosaženo pomocí vzorce Integrace podle části. Integrace je diskutována níže,

∫ tak^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Opálení^-1x jako první funkce a 1 jako druhá funkce.

Použití ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. tak^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. tak^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Což je požadovaná integrace inverzní goniometrické funkce.

Reálné aplikace částečné integrace

Některé z běžných aplikací částečné integrace v reálném životě jsou:

• Hledání antiderivátů
  • V inženýrství a fyzice se částečná integrace používá k nalezení primitivních funkcí funkcí, které reprezentují fyzikální veličiny. Například v mechanice se používá k odvození pohybových rovnic z rovnic síly a zrychlení.
• Produkt Wallis
  • Wallisův součin, nekonečná reprezentace součinu pí, lze odvodit pomocí technik částečné integrace. Tento produkt má aplikace v oblastech, jako je teorie čísel, teorie pravděpodobnosti a zpracování signálů.
• Identita funkce gama
  • Funkce gama, která rozšiřuje faktoriál na komplexní čísla, má různé aplikace v matematice, fyzice a inženýrství. Částečná integrace se používá k prokázání identit zahrnujících funkci gama, které jsou klíčové v oblastech, jako je teorie pravděpodobnosti, statistická mechanika a kvantová mechanika.
• Použití v harmonické analýze
  • Částečná integrace hraje významnou roli v harmonické analýze, zejména ve Fourierově analýze. Používá se k odvození vlastností Fourierových transformací, jako je konvoluční teorém a vlastnosti Fourierových řad. Tyto výsledky jsou aplikovány v oblastech, jako je zpracování signálu, analýza obrazu a telekomunikace.

Integrace podle vzorců dílů

Integraci různých funkcí můžeme odvodit pomocí konceptu integrace po částech. Některé z důležitých vzorců odvozených pomocí této techniky jsou

• ∫ a^X(f(x) + f'(x)).dx = e^Xf(x) + C
• ∫√ (x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√ (x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) – a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√ (a²- X²).dx = ½ . x.√(a²- X²) + a²/2. bez^-1x/a + C

Příklady integrace po částech

Příklad 1: Najděte ∫ e ^X x dx.

Řešení:

Nechť I = ∫ e^Xx dx

Výběr u a v pomocí pravidla ILATE

u = x
v = e^X

Rozlišení u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

konverze typu java a casting

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^Xdx = e^X

Pomocí vzorce Integrace podle části

⇒ I = ∫ e^Xx dx

⇒ I = x ∫e^Xdx − ∫1 (∫ e^Xdx) dx

⇒ I = xe^X− a^X+ C

⇒ I = e^X(x − 1) + C

Příklad 2: Vypočítejte ∫ x sin x dx.

Řešení:

Nechť I = ∫ x sin x dx

Výběr u a v pomocí pravidla ILATE

u = x
v = hřích x

Java string nahrazovat

Rozlišení u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Pomocí vzorce Integrace podle části

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Příklad 3: Najděte ∫ sin ⁻¹ x dx.

Řešení:

Nechť I= ∫ hřeším⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.hřích⁻¹x dx

Výběr u a v pomocí pravidla ILATE

u = hřích⁻¹X
v = 1

Rozlišení u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x)/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Pomocí vzorce Integrace podle části

⇒ I = ∫ hřích⁻¹x dx

⇒ I = bez⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√ (1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x hřích⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) dx

Nechť, t = 1 − x²

Odlišení obou stran

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ hřích⁻¹x dx = x hřích⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x hřích⁻¹x + 1/2 t^−1/2dt

⇒ I = x hřích⁻¹x + t^1/2+ C

kdo udělal školu

⇒ I = x hřích⁻¹x + √(1 − x²) + C

Cvičné problémy s integrací po částech

1. Integrujte xe ^X

2. Integrujte x sin(x)

3. Integrujte x ² ln(x)

4. Integrujte e ^X cos(x)

5. Integrujte ln(x)

Časté dotazy k integraci podle částí

Co je integrace po částech?

Integrace po částech je technika pro nalezení integrace součinu dvou funkcí tam, kde běžné techniky integrace selhávají. Integrace pomocí vzorce části je,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Co je integrace podle vzorce částí?

Pro dvě funkce f(x) a g(x) je integrace podle části vzorce:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kde f'(x) je derivace f(x).

Jak odvodit integraci podle vzorce částí?

Integrace podle části vzorce je odvozena pomocí pravidla součinu diferenciace.

Proč používáme vzorec integrace podle částí?

Integrace podle části vzorce se používá k nalezení integrace funkce, když běžné techniky diferenciace selžou. Můžeme najít integraci inverzních goniometrických funkcí a logaritmických funkcí pomocí Integrace podle části vzorce

Jaká je aplikace integrace po částech?

Integrace podle částí má různé aplikace a její základní aplikace spočívá v tom, že se používá k nalezení integrace funkce, když je funkce dána jako součin funkcí, které nelze dále zjednodušit. Například ∫ f(x).g(x) dx je dosaženo pomocí Integrace po částech.