logo

TechCodeview

Integrační vzorce

Integrační vzorce jsou základní vzorce, které se používají k řešení různých integrálních problémů. Používají se k nalezení integrace algebraických výrazů, goniometrických poměrů, inverzních goniometrických funkcí a logaritmických a exponenciálních funkcí. Tyto integrační vzorce jsou velmi užitečné pro nalezení integrace různých funkcí.

Integrace je inverzní proces diferenciace, tj. pokud d/dx (y) = z, pak ∫zdx = y. Integrace libovolné křivky udává plochu pod křivkou. Integraci najdeme dvěma metodami Neurčitá integrace a Jednoznačná integrace. V neurčité integraci neexistuje limit pro integraci, zatímco v určité integraci existuje limit, pod kterým je funkce integrována.



Pojďme se o nich dozvědět integrální vzorce, a jejich klasifikace, podrobně v tomto článku.

Obsah

Integrální počet

Integrální počet je obor počtu, který se zabývá teorií a aplikacemi integrálů. Proces hledání integrálů se nazývá integrace. Integrální počet pomáhá při hledání anti-derivátů funkce. Anti-deriváty se také nazývají integrály funkce. Označuje se tím ∫f(x)dx. Integrální počet se zabývá celkovou hodnotou, jako jsou délky, plochy a objemy. Integrál lze použít k nalezení přibližných řešení určitých rovnic daných dat. Integrální počet zahrnuje dva typy integrace:



  • Neurčitý Integrály
  • Jednoznačné integrály

Co jsou integrační vzorce?

Integrační vzorce byly široce prezentovány jako následující sady vzorců. Vzorce zahrnují základní integrační vzorce, integraci goniometrických poměrů, inverzní goniometrické funkce, součin funkcí a některé pokročilé sady integračních vzorců. Integrace je způsob, jak sjednotit části za účelem nalezení celku. Je to inverzní operace diferenciace. Základní integrační vzorec tedy zní

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrační vzorce



Pomocí toho jsou odvozeny následující integrační vzorce.

Různé vzorce integrálního počtu jsou

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logto je|x| + C
  4. ∫eXdx = eX+ C
  5. ∫aXdx = (aX/ logto jea) + C

Více, integrální vzorce jsou diskutovány níže v článku,

Poznámka:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , kde k je konstantní
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Základní integrační vzorce

Některé ze základních vzorců integrace, které se používají k řešení integračních problémů, jsou diskutovány níže. Jsou odvozeny ze základního teorému integrace. Seznam základních integrálních vzorců je uveden níže:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ aXdx = eX+ C
  • ∫ aXdx = aX/log a+ C
  • ∫ aX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {kde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klasifikace integrálních vzorců

Integrální vzorce jsou klasifikovány do různých kategorií na základě následující funkce.

  • Racionální funkce
  • Iracionální funkce
  • Hyperbolické funkce
  • Inverzní hyperbolické funkce
  • Goniometrické funkce
  • Inverzní goniometrické funkce
  • Exponenciální funkce
  • Logaritmické funkce

Integrační vzorce goniometrických funkcí

Integrační vzorce goniometrických funkcí se používají k řešení integrálních rovnic zahrnujících goniometrické funkce. Níže je uveden seznam integrálních vzorců zahrnujících goniometrické a inverzní goniometrické funkce,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sec2x dx = tan x + C
  • ∫ kosec2x dx = -dětská postýlka x + C
  • ∫ sek x tan x dx = sek x + C
  • ∫ cosec x postýlka x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sec x| +C
  • ∫ postýlka x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – postýlka x| + C

Integrační vzorce inverzních goniometrických funkcí

Níže jsou uvedeny různé integrační vzorce inverzních goniometrických funkcí, které se používají k řešení integrálních otázek,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = hřích-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = tan-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = dětská postýlka-1x + C
  • ∫ 1/x√ (x2– 1) dx = sec-1x + C
  • ∫ -1/x√ (x2– 1) dx = kosec-1x + C

Pokročilé integrační vzorce

Některé další pokročilé integrační vzorce, které jsou velmi důležité pro řešení integrálů, jsou diskutovány níže,

  • ∫1/(x2– a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2- X2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a tan-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– a2)dx = log |x +√(x2– a2)| + C
  • ∫ √ (x2– a2) dx = x/2 √(x2– a2) -a2/2 log |x + √(x2– a2)| + C
  • ∫1/√(a2- X2) dx = hřích-1x/a + C
  • ∫√ (a2- X2) dx = x/2 √(a2- X2) dx + a2/2 bez-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √ (x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Různé integrační vzorce

K řešení různých typů integrálních otázek se používají různé typy integračních metod. Každá metoda je standardním výsledkem a lze ji považovat za vzorec. Některé z důležitých metod jsou popsány níže v tomto článku. Pojďme se podívat na tři důležité integrační metody.

  • Integrace podle vzorce dílů
  • Integrace pomocí substitučního vzorce
  • Integrace pomocí vzorce dílčích zlomků

Integrace podle vzorce dílů

Integrace po částech Vzorec se použije, když je daná funkce snadno popsána jako součin dvou funkcí. Integrace podle Partsových vzorců používaná v matematice je uvedena níže,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Příklad: Vypočítejte ∫ xe X dx

Řešení:

∫ autoXdx má tvar ∫ f(x) g(x) dx

nechť f(x) = x a g(x) = eX

víme, že ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ autoXdx = x ∫eXdx – ∫( 1 ∫eXdx) dx+ c

= autoX- To jeX+ c

Integrace pomocí substitučního vzorce

Integrace pomocí substitučního vzorce se použije, když je funkce funkcí jiné funkce. tj. nechť I = ∫ f(x) dx, kde x = g(t) tak, že dx/dt = g'(t), pak dx = g'(t)dt

Nyní, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Příklad: Ohodnotit ∫ (4x +3) 3 dx

Řešení:

Nechť u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

jiskra tutoriál

= 1/4 ∫(u)3z

= 1/4. v4/5

= u4/dvacet

= 4x ​​+3)4/dvacet

Integrace pomocí vzorce dílčích zlomků

Integrace pomocí dílčích zlomků Vzorec se používá, když je vyžadován integrál P(x)/Q(x) a P(x)/Q(x) je nesprávný zlomek, takže stupeň P(x) je menší než (<) stupně Q(x), pak se zlomek P(x)/Q(x) zapíše jako

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

kde

  • R(x) je polynom v x
  • P 1 (x)/ Q(x) je správná racionální funkce

Nyní integrace R(x) + P1(x)/ Q(x) lze snadno vypočítat pomocí výše uvedených vzorců.

Aplikace integrálů

Integrální vzorce jsou velmi užitečné vzorce v matematice, které se používají pro různé úkoly. Rozličný aplikace integrálů zahrnuje:

  • Zjištění délky křivky
  • Nalezení oblasti pod křivkou
  • Zjištění přibližných hodnot funkce
  • Určení dráhy objektu a další
  • Chcete-li najít oblast pod křivkou
  • K nalezení plochy a objemu nepravidelných tvarů
  • Chcete-li najít těžiště nebo těžiště

Tyto vzorce jsou v zásadě rozděleny do dvou kategorií,

  • Definitivní integrační vzorce
  • Vzorce neurčité integrace

Definitivní integrační vzorec

Určité integrální vzorce se používají, když je dána limita integrace. V určité integraci je řešením otázky konstantní hodnota. Obecně je definitivní integrace řešena jako,

∫ A b f(x) dx = F(b) – F(a)

Vzorec neurčité integrace

Neurčitá integrace Vzorce se používají k řešení neurčité integrace, když není dán limit integrace. Při neurčité integraci používáme integrační konstantu, která se obecně označuje C

∫f(x) = F(x) + C

  • Neurčité integrály
  • Definujte integrální vlastnosti
  • Integrace goniometrických funkcí

Příklady na integrální vzorce

Příklad 1: Vyhodnoťte

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 X dx
  • ∫4e X dx
  • ∫ (sin x/cos 2 x) dx
  • ∫ (1/hřích 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Řešení:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4) (x4/3) + C

(iv) ∫3 X dx

= (3X/ logto je3) + C [ ∫a X dx = (a X / log to je a) + C]

(v) ∫4e X dx

= 4°eXdx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , kde k je konstantní]

= 4 aX+ C [∫e X dx = e X + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x. sek x dx [ ∫tan x .sec x dx = sek x + C]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫cosec2x dx [∫cosec 2 x dx = -dětská postýlka x + C ]

= -dětská postýlka x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22- X2)] dx [to víme, dx = hřích -1 (x/a) + C]

= bez-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [my to víme,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sec-1(x/a) + C]

= (1/3) sec-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [víme, že ∫cosec x dx = log |cosec x – postýlka x| + C]

= log |cosec x – postýlka x| +C

Příklad 2: Vyhodnoťte ∫{e 9log to je X + a 8log to je X }/{To je 6log to je X + a 5log to je X } dx

Řešení:

Od té doby, to je třesení to je X = x A

∫{e 9log to je X + a 8log to je X }/{To je 6log to je X + a 5log to je X } dx

= ∫{x9+ x8}/{X6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/X5dx

= ∫x3dx [to víme, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

Příklad 3: Vyhodnoťte ∫ sin x + cos x dx

Řešení:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [víme, že ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [víme, že ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Příklad 4: Vyhodnoťte ∫4 x+2 dx

Řešení:

∫4 x+2 dx = ∫4X. 42dx

= ∫16. 4Xdx [ víme, že∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , kde k je konstantní]

= 16∫ 4Xdx [∫a X dx = (a X / log to je a) + C]

= 16 (4X/log 4) + C

Příklad 5: Vyhodnoťte ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Řešení:

∫ (x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [To víme, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Příklad 6: Vyhodnoťte ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Řešení:

1 + cos 2x = 2 cos 2 X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/kos2x) dx

= ∫2 s2xdx

= 2 ∫s2x dx [To víme, ∫sec 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Příklad 7: Vyhodnoťte ∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x) dx

Řešení:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5s2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, kde k je konstanta]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫s2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Cvičební problémy s integračními vzorci

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Časté dotazy k integračním vzorcům

Co jsou všechny integrační vzorce?

Integrační vzorce jsou vzorce, které se používají k řešení různých integračních problémů,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ aXdx = eX+ C
  • ∫ aXdx = aX/log a+ C
  • ∫ aX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {kde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Jaké jsou integrační vzorce UV?

Integrační vzorec UV je,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Co znamená integrace v matematice?

Pokud je derivace funkce g(x) f(x), pak integrace f(x) je g(x), tj. ∫f(x)dx = g(x). Integrace je znázorněna symbolem ∫

Jak provedeme integraci pomocí integračních vzorců?

Integrace lze dosáhnout pomocí vzorců,

  • Definujte malou část objektu v určitých rozměrech, které přidáním nekonečně krát vytvoří celý objekt.
  • Pomocí integračních vzorců přes tuto malou část podél různých dimenzí získáme úplný objekt.

Co je integrální vzorec podle části?

Integrální vzorec podle části se používá k řešení integrálu, kde je dán nesprávný zlomek.

Jaké je použití integračních vzorců?

Integrační vzorce se používají k řešení různých integrálních problémů. Pomocí integrace lze snadno vyřešit různé problémy, se kterými se v každodenním životě setkáváme, jako je nalezení těžiště libovolného předmětu, nalezení trajektorie rakety, rakety, letadla a další.