Trigonometrie je důležité odvětví matematiky, které se zabývá vztahem mezi úhly a délkami stran pravoúhlého trojúhelníku. Těchto šest goniometrických poměrů nebo funkcí je sinus, kosinus, tečna, kosekans a sečna a trigonometrický poměr je poměr mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku. Funkce sinus, kosinus a tangens jsou tři důležité goniometrické funkce, protože ostatní tři, tj. funkce kosekans, sekanta a kotangens, jsou reciproké funkce funkcí sinus, kosinus a tangens, v tomto pořadí.

• sin θ = Opačná strana/hypotenuze
• cos θ = Přilehlá strana/hypotenza
• tan θ = Opačná strana/Přilehlá strana
• cosec θ = přepona/Protější strana
• sec θ = přepona/přilehlá strana
• dětská postýlka θ = Přilehlá strana/Protější strana

Funkce tečny je jednou ze 6 goniometrických funkcí používaných v trigonometrické vzorce .

Obsah

• Tangentní vzorec
• Některé základní tečné vzorce
• Funkce tangens z hlediska funkce sinus
• Funkce tečny z hlediska funkce kosinus
• Funkce tangens z hlediska funkce kotangens
• Funkce tečny z hlediska funkce kosekans
• Funkce tečny z hlediska funkce sečny

Tangentní vzorec

Tangenta úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr délky protilehlé strany k délce přilehlé strany k danému úhlu. Funkci tangens zapíšeme jako tan. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník XYZ a jeden z jeho ostrých úhlů je θ. Opačná strana je strana, která je protilehlá k úhlu θ a přilehlá strana je strana, která sousedí s úhlem θ.

Nyní vzorec tečny pro daný úhel θ je,

tan θ = Opačná strana/Přilehlá strana

Některé základní tečné vzorce

Funkce tečny v kvadrantech

Funkce tangens je kladná v prvním a třetím kvadrantu a záporná ve druhém a čtvrtém kvadrantu.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^Svatýkvadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndkvadrant)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdkvadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^čtkvadrant)

Funkce tangens jako negativní funkce

Funkce tangens je záporná funkce, protože tangens záporného úhlu je záporná hodnota tangens kladného úhlu.

tan (-θ) = – tan θ

Funkce tangens z hlediska funkce sinus a kosinus

Funkci tangens z hlediska funkcí sinus a kosinus lze zapsat jako,

tan θ = sin θ/cos θ

Víme to, tan θ = Opačná strana/Přilehlá strana

Nyní rozdělte čitatel i jmenovatel přeponou

tan θ = (opačná strana/hypotenza)/(přilehlá strana/hypotenza)

Víme, že sin θ = opačná strana/hypotenza

cos θ = sousední strana/hypotenza

Tedy tan θ = sin θ/cos θ

Funkce tangens z hlediska funkce sinus

Funkci tangens z hlediska funkce sinus lze zapsat jako,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² i)

Víme, že,

tan θ = sin θ/cos θ

data mining

Z pythagorejských identit máme,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – hřích²i

cos θ = √(1 – sin²i)

Tedy tan θ = sin θ/(√1 – sin²i)

Funkce tečny z hlediska funkce kosinus

Funkci tangens z hlediska funkce kosinus lze zapsat jako,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Víme, že,

tan θ = sin θ/cos θ

Z pythagorejských identit máme,

bez²θ + cos²θ = 1

bez²θ = 1 – cos²i

sin θ = √(1 – cos²i)

Tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Funkce tangens z hlediska funkce kotangens

Funkci tangens z hlediska funkce kotangens lze zapsat jako,

tan θ = 1/dětská postýlka θ

nebo

tan θ = postýlka (90° – θ) (nebo) postýlka (π/2 – θ)

Funkce tečny z hlediska funkce kosekans

Funkci tangens z hlediska funkce kosekans lze zapsat jako,

tan θ = 1/√ (kosec ² já – 1)

Z pythagorejských identit máme,

cosec²θ – dětská postýlka²θ = 1

dětská postýlka²θ = kosec²já – 1

postýlka θ = √ (cosec²já – 1)

Víme, že,

tan θ = 1/dětská postýlka θ

Tan θ = 1/√ (kosec²já – 1)

Funkce tečny z hlediska funkce sečny

Funkce tečny z hlediska funkce sečny může být zapsána jako,

tan θ = √sec ² já – 1

Z pythagorejských identit máme,

sek²θ – tak²θ = 1

tan θ = sec²já – 1

Tudíž tan θ = √ (sec²já – 1)

Funkce tečny ve smyslu dvojitého úhlu

Funkce tečny pro dvojitý úhel je,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² i)

Funkce tečny z hlediska trojitého úhlu

Funkce tečny pro trojitý úhel je,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² i)

Funkce tečny ve smyslu polovičního úhlu

Funkce tečny pro poloviční úhel je,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Funkce tečny ve smyslu sčítání a odčítání dvou úhlů

Součtové a rozdílové vzorce pro tečnou funkci jsou,

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Trigonometrická poměrová tabulka

Řešený příklad na tečných vzorcích

Příklad 1: Najděte hodnotu tan θ, pokud sin θ = 2/5 a θ je úhel prvního kvadrantu.

Řešení:

vzhledem k tomu,

• sin θ = 2/5

Z pythagorejských identit, které máme,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – hřích²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Protože θ je úhel prvního kvadrantu, cos θ je kladné.

cos θ = √21/5

Víme, že,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21/21

Takže hodnota tan θ, když sin θ = 2/5 a θ je v prvním kvadrantu, je (2√21) /(21)

Příklad 2: Najděte hodnotu tan x, pokud sec x = 13/12 a x je úhel čtvrtého kvadrantu.

Řešení:

Dáno, sek x = 13/12

Z pythagorejských identit máme,

sek²x – tak²x = 1

tak²x = sek²x – 1= (13/12)²- 1

tak²x = (169/144) – 1 = 25/144

tan x = ± 5/12

Protože x je úhel čtvrtého kvadrantu, tan x je záporné.

tan x = – 5/12

Proto, tan x = – 5/12

Příklad 3: Pokud tan X = 2/3 a tan Y = 1/2, jaká je hodnota tan (X + Y)?

Řešení:

vzhledem k tomu,

tan X = 2/3 a tan Y = 1/2

Víme, že,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

opálení (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Proto, tan(X + Y) = 7/4

Příklad 4: Vypočítejte funkci tečny, jestliže sousední a protilehlé strany pravoúhlého trojúhelníku jsou 4 cm a 7 cm.

Řešení:

vzhledem k tomu,

Přilehlá strana = 4 cm

Opačná strana = 7 cm

Víme, že,

tan θ = Opačná strana/Přilehlá strana

tan 6 = 7/4 = 1,75

Proto, tan 6 = 1,75

Příklad 5: Muž se dívá na věž s hodinami pod úhlem 60° k vrcholu věže, jejíž výška je 100 m. Jaká je vzdálenost mezi mužem a patou věže?

Řešení:

vzhledem k tomu,

co jsou selektory v css

Výška věže = 100 ma θ = 60°

Nechť vzdálenost mezi člověkem a patou věže = d

My máme,

tan θ = Opačná strana/Přilehlá strana

opálení 60° = 100/d

√3 = 100/d [Protože, tak 60° = √3]

d = 100/√3

Proto je vzdálenost mezi člověkem a patou věže 100/√3

Příklad 6: Najděte hodnotu tan θ, pokud sin θ = 7/25 a sec θ = 25/24.

Řešení:

vzhledem k tomu,

sin θ = 7/25

sec 0 = 25/24

Víme, že,

sec θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

My máme,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Proto, tan 6 = 7/24

Příklad 7: Najděte hodnotu tan θ, pokud cosec θ = 5/3 a θ je úhel prvního kvadrantu.

Řešení:

Je dáno, cosec θ = 5/3

Z pythagorejských identit máme,

string.format java

cosec²θ – dětská postýlka²θ = 1

dětská postýlka²θ = kosec²já – 1

dětská postýlka θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

dětská postýlka θ = ±√16/9 = ± 4/3

Protože θ je úhel prvního kvadrantu, funkce kotangens i tangens jsou kladné.

dětská postýlka θ = 4/3

Víme, že,

postýlka θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tan8

tan 6 = 3/4

Proto, tan 6 = 3/4

Příklad 8: Najděte tan 3θ, pokud sin θ = 3/7 a θ je úhel prvního kvadrantu.

Řešení :

Dáno, hřích θ = 12/13

Z pythagorejských identit, které máme,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – hřích²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Protože θ je úhel prvního kvadrantu, cos θ je kladné.

cos θ = 5/13

Víme, že,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Tan θ = 12/5

Teď víme, že

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)