Povrchová plocha hranolu: V matematice je hranol základním členem rodiny mnohostěnů a je definován jako trojrozměrný tvar se dvěma identickými mnohoúhelníky obrácenými k sobě, které jsou bočně spojeny obdélníkovými nebo rovnoběžníkovými plochami. Identické mnohoúhelníky mohou být trojúhelníky, čtverce, obdélníky, pětiúhelníky nebo jakýkoli jiný n-stranný mnohoúhelník a nazývají se základny hranolu. Ostatní strany hranolu jsou rovnoběžníky nebo obdélníky.

V tomto článku budeme diskutovat různé typy hranolů a povrchová plocha hranolového vzorce s příklady a praktickými problémy.

Obsah

• Jaká je povrchová plocha hranolu?
• Různé typy hranolů
• Trojúhelníkový hranol
• Obdélníkový hranol
• Hranol čtvercový
• Pětiúhelníkový hranol
• Šestihranný hranol
• Plocha povrchu vzorce Prism
• Plocha povrchu hranolu Řešené příklady
• Cvičné úlohy na ploše hranolu

Jaká je povrchová plocha hranolu?

Plocha povrchu hranolu se označuje jako celková plocha ohraničená všemi jeho plochami. Abychom určili povrchovou plochu hranolu, musíme vypočítat plochy každé z jeho ploch a poté sečíst výsledné plochy. Hranol má dva druhy povrchů, jmenovitě boční povrch a celkový povrch. Plocha, kterou zabírají čela hranolu, s výjimkou dvou rovnoběžných čel (základny hranolu), se označuje jako jeho boční plocha.

Boční plocha hranolu = [obvod základny × výška] čtvercové jednotky

Nyní je celková plocha hranolu součtem ploch jeho dvou základen a plochy jeho bočního povrchu.

Obecný vzorec pro výpočet celkové plochy povrchu jakéhokoli typu pravého hranolu je:

Celková plocha hranolu = [2 (Základní plocha) + (Obvod základny × výška)] čtvercové jednotky

Různé typy hranolů

Existují různé typy hranolů podle tvaru podstavy hranolu, jako např

• Trojúhelníkové hranoly,
• čtvercové hranoly,
• Obdélníkové hranoly,
• pětiboké hranoly,
• Šestihranné hranoly,
• Osmiboké hranoly.

Trojúhelníkový hranol

Hranol s trojúhelníkovou základnou se označuje jako trojúhelníkový hranol. Trojúhelníkový hranol se skládá ze tří nakloněných obdélníkových ploch a dvou rovnoběžných trojúhelníkových podstav. Nechť H je výška trojúhelníkového hranolu; a, b a c jsou délky stran a h je výška trojúhelníkových základen.

Obvod trojúhelníkové základny (P) = součet jejích tří stran = a + b + c

Plocha trojúhelníkové základny (A) = ½ × základna × výška = ½ bh

Víme, že obecný vzorec pro boční plocha pravého hranolu je L. S. A. = PH, kde P je obvod základny a A je základní plocha.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme ,

Boční povrch trojúhelníkového hranolu = (a + b +c)H čtvercové jednotky

kde,

a, b, c jsou strany trojúhelníkové základny

H je výška trojúhelníkového hranolu

Víme, že obecný vzorec pro celkový povrch pravého hranolu je T. S. A. = PH+2A, kde P je obvod podstavy, A je plocha podstavy a H je výška hranolu.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme

Celková plocha trojúhelníkového hranolu = (a + b + c)H + 2 × (½ bh)

Kat timpf

Celková plocha trojúhelníkového hranolu = (a + b + c)H + bh čtvercové jednotky

kde,

a, b, c jsou strany trojúhelníkové základny

H je výška trojúhelníkového hranolu

h je výška trojúhelníku

Obdélníkový hranol

Hranol s pravoúhlou základnou se označuje jako pravoúhlý hranol. Obdélníkový hranol se skládá ze čtyř pravoúhlých ploch a dvou rovnoběžných pravoúhlých podstav. Nechť je výška hranolu h a délka a šířka jeho obdélníkových podstav l a w .

Obvod obdélníkové základny (P) = součet jejích čtyř stran = 2 (d + w)

Plocha obdélníkové základny (A) = délka × šířka = l × š

Víme, že obecný vzorec pro plochu bočního povrchu pravého hranolu je L. S. A. = PH, kde P je obvod základny a A je základní plocha.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme ,

Boční plocha pravoúhlého hranolu = 2h(l + w) čtvercové jednotky

kde,

l je délka

w je šířka

h je výška

Víme, že obecný vzorec pro celkový povrch pravého hranolu je T. S. A. = PH+2A, kde P je obvod podstavy, A je plocha podstavy a H je výška hranolu.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme

Celková plocha pravoúhlého hranolu = 2h (d + w) + 2 (d × w)

= 2 lw + 2 wh + 2 lw

Celková plocha pravoúhlého hranolu = 2 (lh + wh + lw) čtvercové jednotky

kde,

l je délka

w je šířka

h je výška

Hranol čtvercový

Hranol se čtvercovou základnou se označuje jako čtvercový hranol. Čtvercový hranol se skládá ze čtyř pravoúhlých ploch a dvou rovnoběžných čtvercových podstav. Nechť výška hranolu je h a délka jeho čtvercových základen je s.

Obvod čtvercové základny (P) = součet jeho čtyř stran = s + s + s + s = 4 s

Plocha čtvercové základny (A) = (délka strany)²= s²

Víme, že obecný vzorec pro plochu bočního povrchu pravého hranolu je L. S. A. = PH, kde P je obvod základny a A je základní plocha.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme,

Boční plocha čtvercového hranolu = 4š čtverečních jednotek

kde,

s je strana čtvercové základny

h je výška čtvercového hranolu

Víme, že obecný vzorec pro celkový povrch pravého hranolu je T.S.A. = PH+2A, kde P je obvod základny, A je základní plocha a H je výška hranolu.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme

Celková plocha čtvercového hranolu = [4sh + 2s ² ] čtvercové jednotky

kde,

s je strana čtvercové základny

h je výška čtvercového hranolu

Pětiúhelníkový hranol

Hranol s pětibokou základnou se označuje jako pětiboký hranol. Pětiboký hranol se skládá z pěti nakloněných obdélníkových ploch a dvou rovnoběžných pětiúhelníkových podstav. Nechť h je výška pětibokého hranolu; aab jsou délka apotému a délky stran pětiúhelníkových základen.

pokud jinak v Javě

Obvod základny pětiúhelníku (P) = součet jejích pěti stran = 5b

Plocha základny pětiúhelníku (A) = 5/2 x (délka apotému) x (délka strany) = 5ab

Víme, že obecný vzorec pro plochu bočního povrchu pravého hranolu je L. S. A. = PH, kde P je obvod základny a A je základní plocha.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme,

Boční povrch pětibokého hranolu = 5bh čtverečních jednotek

kde,

b je strana pětiúhelníkové základny

h je výška pětibokého hranolu

Víme, že obecný vzorec pro celkový povrch pravého hranolu je T. S. A. = PH+2A, kde P je obvod podstavy, A je plocha podstavy a H je výška hranolu.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme,

Celková plocha pětibokého hranolu = [5bh + 5ab] čtvercové jednotky

kde,

b je strana pětiúhelníkové základny

a je délka apotémy.

h je výška pětibokého hranolu

Šestihranný hranol

Hranol s šestihrannou základnou se označuje jako šestiboký hranol. Šestihranný hranol se skládá ze šesti nakloněných obdélníkových ploch a dvou rovnoběžných šestihranných podstav. Nechť h je výška šestibokého hranolu; a jsou délky stran šestiúhelníkových základen.

Obvod šestiúhelníkové základny (P) = součet jejích šesti stran = 6a

Plocha základny šestiúhelníku (A) = 6 x (Plocha rovnostranného trojúhelníku)

A = 6 x (√3a²/4) ⇒ A = 3√3a²/2

Víme, že obecný vzorec pro plochu bočního povrchu pravého hranolu je L. S. A. = PH, kde P je obvod základny a A je základní plocha.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme,

Boční povrch šestibokého hranolu = 6ah čtverečních jednotek

kde,

a je strana šestiúhelníkové základny

h je výška šestihranné základny

Víme, že obecný vzorec pro celkový povrch pravého hranolu je T. S. A. = PH+2A, kde P je obvod podstavy, A je plocha podstavy a H je výška hranolu.

Dosazením všech hodnot v obecném vzorci dostaneme

Celková plocha šestibokého hranolu = [6ah +3√3a²] čtvercové jednotky

kde,

a je strana šestiúhelníkové základny

h je výška šestihranné základny:

Plocha povrchu vzorce Prism

Níže uvedená tabulka poskytuje vzorec pro různé typy hranolů:

Plocha povrchu hranolu Řešené příklady

Úloha 1: Jaká je výška hranolu, jehož základní plocha je 36 čtverečních jednotek, obvod podstavy je 24 jednotek a jeho celkový povrch je 320 čtverečních jednotek?

Řešení:

Vzhledem k údajům,

Základní plocha = 36 čtverečních jednotek

Obvod základny = 24 jednotek

Celková plocha hranolu = 320 čtverečních jednotek

My máme,

Celková plocha hranolu = (2 × základní plocha) + (obvod základny × výška)

⇒ 320 = (2 × 36)+ (24 × h)

⇒ 24h = 248 ⇒ h = 10,34 jednotek

Výška daného hranolu je tedy 10,34 jednotek.

Úloha 2: Najděte celkový povrch čtvercového hranolu, jestliže výška hranolu je 13 cm a délka strany čtvercové podstavy je 4 cm.

Řešení:

Vzhledem k údajům,

Výška čtvercového hranolu (v) = 13 cm

Délka strany čtvercové základny (a) = 4 cm

Víme, že,

Celková plocha čtvercového hranolu = 2a²+ 4ah

= 2 × (4)²+ 4 × 4 × 13

= 32 + 208 = 240 cm²

Celková plocha daného hranolu je tedy 240 cm2.

Úloha 3: Určete základní délku pětibokého hranolu, je-li jeho celková plocha 100 čtverečních jednotek a jeho výška je 8 jednotek a délka apotému je 5 jednotek.

Řešení:

Vzhledem k údajům,

Celková plocha pětibokého hranolu = 100 čtverečních jednotek

Výška hranolu (h) = 8 jednotek

Délka apotému (a) = 5 jednotek

Víme, že,

Celková plocha pětibokého hranolu = 5ab + 5bh

⇒ 100 = 5b (a+ h)

⇒ 100/5 = b (5 + 8)

⇒ 20 = b × (13) ⇒ b = 25/16 = 1,54 jednotek

Základní délka je tedy 1,54 jednotek

Problém 4: Určete výšku pravoúhlého hranolu a celkovou plochu pravoúhlého hranolu, je-li jeho boční povrch 540 cm2 a délka a šířka podstavy 13 cm a 7 cm.

Řešení:

Vzhledem k údajům,

Délka obdélníkové základny (l) = 13 cm

Šířka obdélníkové základny (š) = 7 cm

Boční plocha hranolu = 540 cm2

My máme,

Boční povrch hranolu = obvod základny × výška

⇒ 540 = 2 (d + š) h

⇒ 2 (13 + 7) h = 540

⇒ 2 (20) v = 540 ⇒ v = 13,5 cm

linuxové příkazy vytvořit složku

Víme, že,

Celková plocha pravoúhlého hranolu = 2 (lw + wh + lh)

= 2 × (13 × 7 + 7 × (13,5) + 13 × (13,5))

= 2 × (91 + 94,5 + 175,5) = 722 cm2

Výška a celková plocha daného pravoúhlého hranolu jsou tedy 13,5 cm a 722 cm2.

Úloha 5: Určete povrch pravidelného šestibokého hranolu, pokud je výška hranolu 12 palců a délka strany základny je 5 palců.

Řešení:

Vzhledem k údajům,

Výška hranolu (h) = 12 palců

Délka strany základny (a) = 6 palců

Povrch pravidelného šestibokého hranolu = 6ah + 3√3a²

= 6 × 5 × 12 + 3√3(5)²

= 360 + 75√3

= 360 + 75 × (1,732) = 489,9 čtverečních palců

Plocha povrchu daného hranolu je tedy 489,9 čtverečních palců.

Úloha 6: Vypočítejte boční a celkový povrch trojúhelníkového hranolu, jehož obvod základny je 25 palců, délka a výška základny trojúhelníku jsou 9 palců a 10 palců a výška hranolu je 14 palců.

Řešení:

Vzhledem k údajům,

Výška hranolu (H) = 14 palců

Obvod základny hranolu (P) = 25 palců

Základní délka trojúhelníku = 9 palců

avl rotace stromu

Výška trojúhelníku = 10 palců

Víme, že,

Boční povrch hranolu = obvod základny × výška

= 25 × 14 = 350 čtverečních palců

Plocha trojúhelníkové základny (A) = ½ × základna × výška = 1/2 × 9 × 10 = 45 čtverečních palců

Celková plocha trojúhelníkového hranolu = 2A + PH

= 2 × 45 + 25 × 14 = 90 + 350 = 440 čtverečních palců

Boční a celková plocha hranolu je tedy 350 čtverečních palců a 440 čtverečních palců.

Cvičné úlohy na ploše hranolu

1. Je dán pravoúhlý hranol s rozměry:

• Délka = 6 cm
• Šířka = 4 cm
• Výška = 5 cm

Vypočítejte celkový povrch.

2. Uvažujme trojúhelníkový hranol s rozměry:

• Základna trojúhelníku = 8 cm
• Výška trojúhelníku = 6 cm
• Délka hranolu = 10 cm

Najděte celkovou plochu.

3. Určete povrch pravidelného pětibokého hranolu pomocí:

• Délka strany základny = 7 cm
• Výška hranolu = 9 cm.

4. Vypočítejte povrch šestibokého hranolu pomocí:

• Délka strany pravidelné šestihranné základny = 10 cm
• Výška hranolu = 12 cm.

Povrchová plocha hranolu – FAQ

Co je hranol v geometrii?

Hranol je trojrozměrný tvar se dvěma shodnými rovnoběžnými základnami a pravoúhlými nebo rovnoběžníkovými bočními plochami, které je spojují. Hranoly přicházejí v různých formách, jako jsou pravoúhlé hranoly, trojúhelníkové hranoly a pětiboké hranoly, z nichž každý má jedinečné vlastnosti.

Jak zjistíte povrchovou plochu hranolu?

Chcete-li zjistit povrchovou plochu hranolu, spočítejte plochy všech jeho ploch a poté je sečtěte. Pro pravoúhlý hranol je vzorec plochy povrchu 2lw + 2lh + 2wh, kde l je délka, w je šířka a h je výška. Pro jiné typy hranolů, jako jsou trojúhelníkové nebo pětiboké hranoly, mohou být nutné další vzorce pro základní plochu a boční plochu.

Jaké jsou vlastnosti hranolu?

Hranoly mají několik klíčových vlastností:

• Mají dvě kongruentní paralelní báze.
• Všechny boční plochy jsou rovnoběžníky.
• Nadmořská výška (výška) je kolmá vzdálenost mezi dvěma základnami.
• Základny jsou tvarově i rozměrově shodné.
• Průřez rovnoběžný se základnami má vždy stejný tvar a velikost jako základny.

Jaké jsou některé reálné příklady hranolů?

Hranoly lze nalézt v různých každodenních předmětech a strukturách. Příklady:

• Obdélníkové hranoly: Budovy, krabice na obiloviny, knihy.
• Trojúhelníkové hranoly: Střechy domů, klínovité objekty.
• Pětiboké hranoly: Některé typy sloupů, určité architektonické struktury.
• Šestihranné hranoly: Určité typy krystalů, některé obalové nádoby.

Proč je povrchová plocha u hranolů důležitá?

Plocha povrchu je u hranolů klíčová, protože představuje celkovou plochu všech ploch (čel) hranolu. Pochopení povrchové plochy pomáhá v různých praktických aplikacích, jako je výpočet množství materiálu potřebného ke stavbě nebo zakrytí objektu ve tvaru hranolu, určení rychlosti přenosu tepla a optimalizace designu obalu.