Kubická rovnice je matematická rovnice, ve které se polynom stupně 3 rovná konstantě nebo jinému polynomu maximálního stupně 2. Standardní reprezentace kubické rovnice je sekera ³ +bx ² +cx+d = 0 kde a, b, c a d jsou reálná čísla. Některé příklady kubické rovnice jsou X ³ – 4x ² + 15x – 9 = 0, 2x ³ – 4x ² = 0 atd.

Obsah

• Definice polynomu
• Stupeň rovnice
• Definice kubické rovnice
• Jak řešit kubické rovnice?
• Řešení kubických rovnic
• Řešení kubické rovnice pomocí faktorů
• Řešení kubické rovnice pomocí grafické metody
• Úlohy založené na řešení kubických rovnic
• Cvičební úlohy při řešení kubických rovnic

Abychom se naučili řešit kubické rovnice, musíme se nejprve naučit o polynomech, stupni polynomu a dalších. V tomto článku se podrobně seznámíme s Polynomy, Polynomiálními rovnicemi, Řešením kubických rovnic nebo jak řešit kubické rovnice a dalšími.

Definice polynomu

Polynom je definován následovně:

A polynom je algebraický výraz, ve kterém mocninou proměnné je nezáporné celé číslo. Obecný tvar polynomu je a₀Xⁿ+ a₁X^n-1+ a₂X^n-2+… + a_n. V závislosti na maximální mocnině proměnné lze polynom klasifikovat jako jednočlenný, binomický, trinomický a tak dále.

Co je to rovnice?

Rovnice je definována následovně,

Rovnice je polynom, který se rovná číselné hodnotě nebo jinému polynomu. Například x + 2 je polynom, ale x + 2 = 5 je rovnice. Podobně 2x + 3 = x + 1 je také rovnice, zatímco 2x + 3 a x + 1 jsou polynomy jednotlivě.

bash pokud jinak

Stupeň rovnice

Definice stupně rovnice je uvedena níže:

Stupeň rovnice je definována jako maximální síla, kterou má proměnná v rovnici.

Na základě stupně rovnice lze rovnici klasifikovat takto:

• Lineární rovnice
• Kvadratická rovnice
• Kubická rovnice
• Bikvadratická rovnice

Lineární rovnice

Rovnice, ve které je maximální mocnina proměnné 1, se nazývá lineární rovnice.

• Například 3x +1 = 0

Kvadratický polynom

Rovnice, ve které je maximální mocnina proměnné 2, je kvadratická rovnice.

• Například 3x²+x+1 = 0

Kubická rovnice

Rovnice, ve které je maximální mocnina proměnné 3, se nazývá kubická rovnice.

• Například 5x³+3x²+x+1 = 0

Bikvadratický polynom

Rovnice, ve které je maximální mocnina proměnné 4, se nazývá bikvadratický polynom nebo kvartický polynom.

• Například 5x⁴+4x³+3x²+2x+1 = 0

Definice kubické rovnice

Kubická rovnice je algebraická rovnice, kde nejvyšší stupeň polynomu je 3. Některé příklady kubických rovnic jsou 5x³+3x²+x+1 = 0, 2x³+8 = x ⇒ 2x³-x+8 = 0 atd.

Obecný tvar kubické rovnice je,

sekera ³ + bx ² + cx + d = 0, a ≠ 0

Kde,

• a, b, a C jsou koeficienty proměnné a jejich exponáty a d je konstanta a
• a, b, c a d jsou reálná čísla.

Jak řešit kubické rovnice?

Kubická rovnice je rovnice se stupněm tři. Má tři řešení a lze je snadno vyřešit podle kroků přidaných níže,

Krok 1: Najděte jedno řešení kubické rovnice metodou hit a zkuste. Předpokládejme, že máme kubickou rovnici P(x), pak pro libovolné x = a, P(a) = 0 najděte, x = 0, ±1, ±2, ±3, … atd.

Krok 2: Když dostaneme, P(a) = 0, najděte faktor (x – a) P(x)

Krok 3: Vydělte P(x) (x – a), abyste dostali kvadratickou rovnici, řekněme Q(x) pomocí polynomického dělení.

Krok 4: Faktarizujte kvadratickou rovnici Q(x), abyste získali faktory jako (x – b) a (x – c).

Krok 5: (x – a), (x – b) a (x – c) jsou faktory P(x) a řešením každého faktoru dostaneme kořeny rovnice jako, a, b a c.

Dozvědět se víc o, Dělící polynom

Řešení kubických rovnic

A Kubická rovnice lze řešit dvěma způsoby

• Redukcí na kvadratickou rovnici a jejím řešením buď faktoringem nebo kvadratickým vzorcem
• Grafickou metodou

A Kubická rovnice má tři kořeny. Tyto kořeny mohou být skutečné nebo imaginární. Také mohou existovat odlišné kořeny nebo dva stejné a jeden odlišný kořen a všechny tři stejné kořeny.

Je třeba poznamenat, že pro jakoukoli rovnici, včetně Kubické rovnice , musí být rovnice před řešením rovnice vždy nejprve uspořádána ve standardním tvaru.

Například, pokud je daná rovnice 2x²-5 = x + 4/x, pak to musíme znovu uspořádat do standardního tvaru, tj. 2x³-X²-5x-4 = 0. Nyní můžeme rovnici vyřešit jakoukoliv vhodnou metodou.

Řešení kubické rovnice pomocí faktorů

Řešení kubické rovnice pomocí faktorové věty je vysvětleno na příkladu přidaném níže,

Příklad: Najděte kořeny rovnice f(x) = 3x ³ -16x ² + 23x − 6 = 0.

Řešení:

Daný výraz: f(x) = 3x³-16x²+ 23x − 6 = 0

Nejprve faktorizujte polynom, abyste získali kořeny

Protože konstanta je -6, možné faktory jsou 1, 2, 3, 6

f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0

f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0

f(3) = 81 – 144 + 69 – 6 = 0

f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0

Podle toho to víme Faktorová věta pokud f(a) = 0, pak (x-a) je faktor f(x)

Takže (x – 2) a (x – 3) jsou faktory f(x). Proto součin (x – 2) a (x – 3) bude také faktorem f(x). Nyní k nalezení zbývajících faktorů použijte metodu dlouhého dělení a vydělte f(x) součinem (x – 2) a (x – 3)

Dělitel = (x – 2) (x – 3) = (x²– 5x + 6) a dividenda = 3x³-16x²+ 23x − 6. Nyní rozdělte, jak je uvedeno níže,

Po dělení dostaneme (3x-1) jako podíl a zbytek je 0. Nyní jako per Algoritmus dělení víme, že Dividenda = Dělitel × Podíl + Zbytek.

⇒ f(x) = (3x³-16x²+ 23x − 6) = (x²– 5x + 6) (3x-1)

Protože f(x) = 0

⇒ (x²– 5x + 6) (3x-1) = 0

⇒ x²– 5x + 6 = 0 nebo 3x-1 = 0

Nyní vezmeme 3x-1 = 0 ⇒ x = 1/3, protože již známe dva kořeny z x²– 5x + 6, což jsou 2 a 3

Tak,

Kořeny daného Kubická rovnice jsou 1/3, 2 a 3.

Řešení kubické rovnice pomocí grafické metody

Krychlová rovnice je řešena graficky, když danou rovnici nemůžete vyřešit jinými technikami. Potřebujeme tedy přesné nakreslení dané kubické rovnice. Kořeny rovnice jsou body, ve kterých graf protíná osu X, pokud je rovnice v členu x a pokud je rovnice v členu y, pak kořeny rovnice jsou body, ve kterých je graf odřízne osu Y.

Počet reálných řešení kubické rovnice se rovná počtu, kolikrát graf kubické rovnice protne osu X.

Příklad: Najděte kořeny rovnice f(x) = x ³ − 4x ² − 9x + 36 = 0, pomocí grafické metody.

Řešení:

Daný výraz: f(x) = x³− 4x²− 9x + 36 = 0.

Nyní jednoduše dosaďte náhodné hodnoty za x v grafu pro danou funkci:

X	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f(x)	-56	0	19	40	36	24	10	0	0	16

Vidíme, že graf prořízl osu X ve 3 bodech, takže existují 3 reálná řešení.

Z grafu jsou řešení: x = -3, x = 3 a x = 4.

Kořeny dané rovnice jsou tedy -3, 3 a 4.

Přečtěte si více,

• Lineární rovnice
• Řešení kvadratické rovnice
• Faktorování polynomů

Úlohy založené na řešení kubických rovnic

Úloha 1: Najděte kořeny f(x) = x ³ – 4x ² -3x + 6 = 0.

Řešení:

Daný výraz: f(x) = x³– 4x²-3x + 6 = 0.

Nejprve faktorizujte polynom, abyste získali kořeny.

Protože konstanta je +6, možné faktory jsou 1, 2, 3, 6.

f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0

f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0

f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0

f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0

Tedy podle Faktorová věta (x – 1) je faktor dané rovnice. Nyní k nalezení zbývajících faktorů použijte metodu dlouhého dělení.

Podle Algoritmus dělení můžeme psát,

Takže f(x) = x³– 4x²-3x + 6 = (x – 1) (x²– 3x – 6) = 0

⇒ (x – 1) = 0 nebo (x²– 3x – 6) = 0

Víme, že kořeny kvadratické rovnice ax²+ bx + c = 0 je,

rekurze v Javě

x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Proto pro (x²– 3x – 6) = 0

x = [3 ± √(3²– 4(1)(-6)]/2(1)

x = (3 ± √33)/2

Kořeny dané kubické rovnice jsou tedy 1, (3+√33)/2 a (3–√33)/2.

Úloha 2: Najděte kořeny rovnice f(x) = 4x ³ – 10x ² + 4x = 0.

Řešení:

Daný výraz: f(x) = 4x³– 10x²+ 4x = 0

⇒ x (4x²– 10x + 4) = 0

⇒ x (4x²– 8x – 2x + 4) = 0

⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0

⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0

⇒ x = 0 nebo 4x – 2 = 0, x – 2 = 0

⇒ x = 0 nebo x = 1/2 nebo x = 2

Kořeny dané rovnice jsou tedy 0, 1/2 a 2.

Úloha 3: Najděte kořeny rovnice f(x) = x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Řešení:

Daný výraz: f(x) = x³+ 3x²+ x + 3 = 0.

⇒ x²(x + 3) + 1 (x + 3) = 0

⇒ (x + 3) (x²+1) = 0

⇒ x + 3 = 0 nebo x²+1 = 0

⇒ x = -3, ±i

Daná rovnice má tedy skutečný kořen, tj. -3, a dva imaginární kořeny, tj. ±i.

Úloha 4: Najděte kořeny rovnice f(x) = x ³ – 7x ² – x + 7 = 0.

Řešení:

dané výrazy,

f(x) = x³– 3x²– 5x + 7 = 0

Nejprve faktorizujte rovnici, f(x): x³– 3x²– 5x + 7= 0

Lze to rozdělit na (x-7)(x+1)(x-1) = 0

Po faktorizaci polynomu můžeme najít kořeny tak, že každý faktor přirovnáme k nule. Například:

• x – 7 = 0, takže x = 7
• x + 1 = 0, takže x = -1
• x – 1 = 0, takže x = 1

Takže kořeny rovnice f(x): x³– 3x²– 5x + 7 = 0 are

• x = 7
• x = -1
• x = 1

Úloha 5: Najděte kořeny rovnice f(x) = x ³ - 6x ² + 11x − 6 = 0 pomocí grafické metody.

Řešení:

Daný výraz: f(x) = x³- 6x²+ 11x − 6 = 0.

Nyní jednoduše dosaďte náhodné hodnoty za x v grafu pro danou funkci:

X	1	2	3	4	5
f(x)	0	0	0	6	24

Vidíme, že graf prořízl osu X ve 3 bodech, takže existují 3 reálná řešení.

Z grafu jsou řešení: x = 1, x = 2 a x = 3.

Kořeny dané rovnice jsou tedy 1, 2 a 3.

Cvičební úlohy při řešení kubických rovnic

Níže jsou přidány různé praktické úlohy související s kubickými rovnicemi. Vyřešte tyto problémy, abyste plně pochopili koncept Jak řešit kubickou rovnici?

P1. Vyřešte kubickou rovnici, 3x³+ 2x²– 11x + 7 = 0.

P2. Najděte kořeny kubické rovnice, 4x³– 12x²+ 17 = 0.

P3. Vyřešte kubickou rovnici, x³+ 4x²– x + 3 = 0 pomocí grafické metody.

P4. Najděte číslo, které vyhovuje, -9x³+ 11x²– 8x + 2 = 0.

Často kladené otázky o řešení kubických rovnic

1. Co jsou to kubické rovnice?

Kubické rovnice jsou algebraické rovnice, ve kterých je maximální mocnina proměnné 3

2. Jak vynásobíte kubickou rovnici?

Krychlovou rovnici můžeme faktorizovat dvěma způsoby. Nejprve tím, že vezmeme lineární výraz společný z dané kubické rovnice, pak budeme mít lineární a kvadratický výraz jako součin. Tuto kvadratickou rovnici lze dále faktorizovat, abychom získali všechny faktory. Druhou metodou je nalezení nuly dané kubické rovnice vložením náhodných hodnot. Hodnota, pro kterou dostaneme hodnotu rovnice nulovou, bude jedna z nul dané kubické rovnice. Nyní pomocí faktorové věty vytvořte lineární výraz, řekněme x-a a vydělte danou kubickou rovnici tímto výrazem, čímž získáte kvadratickou rovnici jako kvocient. Takto získanou kvadratickou rovnici lze dále faktorizovat a získat tak všechny faktory.

3. Jak graficky vyřešíte kubickou rovnici?

Chcete-li vyřešit kubickou rovnici graficky, vložte náhodné hodnoty pro x do dané kubické rovnice a vyřešte, dostanete hodnoty y. Tyto získané hodnoty vyneste do grafu. Najděte souřadnice, ve kterých graf protíná osu x. Tyto souřadnice jsou řešením kubické rovnice.

4. Lze přesně vyřešit všechny kubické rovnice?

Každá rovnice, která má lichou mocninu, musí mít jeden skutečný kořen. Kubická rovnice tedy musí mít alespoň jeden skutečný kořen, na rozdíl od kvadratické rovnice, kde oba kořeny mohou být imaginární, když je diskriminant menší než nula.

5. Může mít kubická rovnice více řešení?

Ano, kubické rovnice mohou mít více řešení, protože kubická rovnice může mít až tři odlišné reálné kořeny.

6. Co rozumíte stupněm rovnice?

Maximální výkon, který má proměnná v rovnici, se nazývá stupeň polynomu.

7. Jaký je rozdíl mezi polynomem a rovnicí?

Polynom je jednoduše algebraická rovnice, ve které je mocninou proměnné nezáporné celé číslo. Tento polynom, když je rovnítko (=) s číselnou hodnotou nebo jiným polynomem, pak se nazývá rovnice.

8. Co je to Faktorová věta pro kubické rovnice?

Faktorová věta říká, že jestliže r je kořen (řešení) kubické rovnice ax³+ bx²+ cx + d = 0, pak x – r je faktor rovnice.

9. Co když nemohu najít přesná řešení pomocí vzorců?

Pokud se nalezení přesných řešení zdá nemožné, můžeme použít numerické metody, jako jsou iterační metody (např. Newtonova metoda), k aproximaci kořenů rovnice.

Dozvědět se víc o Newton Raphsonova metoda .